Tabla de Contenidos
I statistikken er det svært vanlig å stå overfor situasjoner der man ønsker å beregne fagforeningssannsynligheten for flere ulike hendelser. For eksempel kan eieren av en godteributikk være interessert i å finne ut hva som er sannsynligheten for at neste barn som kommer inn i butikken hans vil kjøpe en hvit sjokolade eller en melkesjokolade. I dette tilfellet ønsker vi å bestemme sannsynligheten for at en av to mulige hendelser skal skje, som ifølge settteorien er unionssannsynligheten for begge hendelsene, eller P(AUB).
I det beskrevne tilfellet består beregningen av denne sannsynligheten ganske enkelt av summen av de individuelle sannsynlighetene, minus sannsynligheten for skjæringspunktet mellom begge hendelsene, det vil si:
Grunnen til at skjæringssannsynligheten må trekkes fra er at ved å legge til sannsynlighetene for begge hendelsene, telles ethvert skjæringspunkt to ganger. Dette er en relativt enkel prosess å forstå. Det kan imidlertid også skje at vi ønsker å bestemme foreningssannsynligheten ikke for to, men for tre eller flere hendelser. Hva bør gjøres i slike tilfeller? I neste avsnitt vil vi se på en enkel måte å bestemme formelen som skal gjelde i tilfellene med tre hendelser og fire hendelser, og deretter vil vi bruke disse resultatene, sammen med formelen ovenfor, for å generalisere bestemmelsen av unionssannsynligheten for et hvilket som helst antall arrangementer.
Grunnleggende gjennomgang
For å forstå prosessen med å beregne fagforeningssannsynligheter, er det nødvendig å kort huske noen viktige termer som vil bli brukt senere:
eksperiment . Sannsynligvis er et eksperiment en hvilken som helst prosess som kan gjentas flere ganger og alltid gir et resultat. Hvert eksperiment er assosiert med et visst sett med mulige utfall som alltid vil være det samme.
Resultat . Vi vil kalle konsekvensen av et eksperiment for et resultat, for eksempel det spesielle ansiktet som kommer ut når du kaster en terning.
Prøveplass (S) . Settet med alle mulige utfall av et eksperiment.
hendelse . Ethvert sett med mulige utfall.
Venn diagram . Grafisk fremstilling som viser sammenhengene mellom sett av hendelser og mellom sannsynligheten for hendelser i et eksperiment.
Fagforeningens sannsynlighet for tre hendelser
Anta at vi utfører et eksperiment og vi ønsker å bestemme sannsynligheten for at en av 3**3 forskjellige hendelser inntreffer, som kanskje eller ikke kan skje samtidig. Vi vil kalle disse tre hendelsene A, B og C.
I disse tilfellene kan flere ulike situasjoner oppstå. For eksempel kan det hende at ingen av hendelsene deler resultater med noen andre, i så fall sier vi at hendelsene utelukker hverandre, noe som er eksemplifisert i følgende Venn-diagram:
Sirklene A, B og C representerer de tre hendelsene og omslutter et sett med resultater innenfor prøverommet, som er det grå rektangelet identifisert med bokstaven S. I disse tilfellene er unionssannsynligheten ganske enkelt gitt av summen av sannsynlighetene for hver egen begivenhet:
På den annen side kan en av hendelsene også dele resultater med en av de to andre hendelsene, eller til og med med begge. Dette er illustrert i et Venn-diagram som områder som skjærer hverandre.
I disse tilfellene tar summen av sannsynlighetene noen utfall i betraktning mer enn én gang, så det er nødvendig å trekke fra disse sannsynlighetene som har blitt overtællet. Det vil si at vi må trekke fra sannsynligheten for skjæringspunktet mellom hvert hendelsespar. Men i tilfeller der det er utfall tilstede i alle tre hendelsene (slik som de i midten av Venn-diagrammet ovenfor), fjerner subtraksjon av skjæringspunktene mellom parene bidraget fra det sentrale området der parene krysser hverandre. Av denne grunn må vi igjen legge til dette lille området som tilsvarer sannsynligheten for skjæringspunktet mellom A, B og C.
Til slutt er unionssannsynligheten for de tre hendelsene:
MERK: Selv om dette uttrykket ble oppgitt for det spesielle tilfellet der de tre hendelsene krysser hverandre, er dette den mer generelle formen for trehendelsessaken siden den kan konverteres til unionssannsynligheten for ethvert sett med tre hendelser, enten de krysser hverandre eller ikke. For eksempel, i tilfelle av gjensidig utelukkende hendelser, er alle skjæringssannsynligheter null, så uttrykket reduseres til summen av de individuelle sannsynlighetene vist i begynnelsen av denne delen.
Fagforeningens sannsynlighet for fire hendelser
Anta nå at vi utfører et nytt eksperiment og er interessert i sannsynligheten for forening mellom fire hendelser: A, B, C og D. Det mest generelle tilfellet er at de alle kan krysse hverandre, som vist i følgende diagram:
I dette tilfellet teller summen av de fire enkle sannsynlighetene fire ganger sannsynligheten for utfallene i område I, tre ganger de for områdene II, III, IV og V, og to ganger de for områdene VI, VII, VIII og IX. For å korrigere dette må vi først trekke fra skjæringssannsynlighetene til alle parene (A og B, A og C, A og D, B og C, B og D, og C og D). Dette trekker igjen skjæringsområdene for hver gruppe på tre (ABC, ABD, ACD og BCD) for mange ganger, så disse områdene må legges til igjen, og så videre til alle områdene telles én gang.
Resultatet for tilfellet med fire hendelser, enten gjensidig utelukkende eller ikke, er:
Unionssannsynlighet for mer enn fire hendelser
Frem til dette punktet kan vi allerede oppdage et mønster mellom formlene for unionssannsynlighetene for to, tre og fire hendelser. De starter alle med summen av de enkle sannsynlighetene, subtraherer deretter skjæringssannsynlighetene mellom alle mulige hendelsespar, legger deretter til skjæringssannsynlighetene for hver mulig gruppe med tre hendelser, og så videre, vekselvis addere og subtrahere skjæringspunktene. flere arrangementer til vi når skjæringspunktet mellom alle arrangementer. For et partall av hendelser er dette siste skjæringspunktet alltid negativt (trukket fra), mens det for et oddetall hendelser alltid er positivt (tillagt).
Referanser
- Arrizabalaga R., M. (2015, september). SANNSYNLIGHETSTEORI . AUTONOM MEXICO STATSUNIVERSITET. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Sannsynlighet og statistikk for ingeniørvitenskap og vitenskap (5. utg.). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, 1. juli). Sannsynlighet for hendelsesforeningen . Enkel matematikk. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, 27. mars). Sammenslutning av hendelser eller hendelser . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
