Det er mange situasjoner der vi er interessert i å finne sannsynligheten for at to hendelser inntreffer samtidig. Noen av dem er:
- Finn sannsynligheten for å kaste en dobbel sekser når du kaster to terninger samtidig eller etter hverandre.
- Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person fra en gruppe er både kvinnelig og mørkhudet.
- Sannsynligheten for å velge et par elever av det motsatte kjønn fra en del av skolen.
- Sannsynligheten for at to redundante kontrollsystemer svikter samtidig i en romrakettoppskyting.
Denne klassen av problemer kan løses ved hjelp av den generelle regelen om multiplikasjon av sannsynligheter. Denne regelen fastslår at for to hendelser A og B, er sannsynligheten for at de skjer samtidig, det vil si sannsynligheten for skjæringspunktet, gitt av:
I denne ligningen er P(A|B) den betingede sannsynligheten for at hendelse A inntreffer gitt B. Ovenstående er den generelle multiplikasjonsregelen og gjelder for alle hendelsespar. I noen tilfeller er den betingede sannsynligheten ukjent eller vanskelig å fastslå; i tilfelle uavhengige hendelser er imidlertid denne sannsynligheten forenklet for å gi opphav til multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser.
Multiplikasjonsregel for uavhengige hendelser
Hva er uavhengige hendelser?
To hendelser A og B er uavhengige av hverandre dersom forekomsten av en av dem ikke påvirker sannsynligheten for at den andre inntreffer. I matematiske termer innebærer dette at den betingede sannsynligheten for at en av hendelsene skal inntreffe, gitt at vi vet at den andre har skjedd, er lik den enkle sannsynligheten for at den første hendelsen inntreffer. Med andre ord, to hendelser vil være uavhengige bare hvis:
Tolkningen av ovenstående er at sannsynligheten for at A inntreffer gitt at B har inntruffet er lik sannsynligheten for at A inntreffer. Dette innebærer at forekomsten av B ikke påvirket sannsynligheten for at A inntreffer, så begge hendelsene inntreffer. i en uavhengig vei.
Eventuelle hendelser som ikke oppfyller betingelsene ovenfor, vil være avhengige hendelser.
Hvordan påvirkes multiplikasjonsregelen i dette tilfellet?
Som vi kan se, kan det første uttrykket for uavhengighetsbetingelsen brukes til å forenkle den generelle multiplikasjonsregelen, siden den første faktoren kan erstattes av den enkle sannsynligheten for A, og dermed oppnå følgende uttrykk:
Uttrykket ovenfor er kjent som regelen for multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser . Det innebærer at hvis vi vet at to hendelser er uavhengige av hverandre og vi vet sannsynligheten for at de inntreffer, kan vi finne sannsynligheten for at de begge vil skje samtidig ganske enkelt ved å multiplisere disse sannsynlighetene.
Eksempler på uavhengige arrangementer
Mangel på informasjon kan gjøre det vanskelig å identifisere om to hendelser er uavhengige. For eksempel kan vi tro at det å ha brunt hår ikke har noe å gjøre med forekomsten av brystkreft, men fysiologien til menneskekroppen er så kompleks at ingen lege ville våge å komme med den uttalelsen.
Imidlertid er det mange enkle eksperimenter der vi enkelt kan identifisere om to hendelser er uavhengige eller ikke.
- Kast to terninger samtidig. Når du kaster to terninger, påvirker ikke resultatet av den ene på noen måte resultatet som kan vises på den andre, så hendelsen at en terning lander på et gitt tall er uavhengig av hendelsen at den andre terningen lander på et annet tall. eller det samme, til og med.
- Resultatene av å kaste den samme terningen to ganger på rad er også uavhengige av hverandre av de samme grunnene.
- Vend en mynt to ganger. Det at den lander hode eller haler første gang vil ikke påvirke utfallet av neste kast.
- I en kjøleskapsfabrikk som har to uavhengige produksjonslinjer for komponenter som bruker separate råvarer og arbeidskraft, er det akseptabelt å anta at sannsynligheten for at en av de to komponentene svikter er uavhengig av sannsynligheten for at den andre svikter.
- Å trekke et kort eller en kortstokk tilfeldig fra en kortstokk, erstatte det og deretter trekke et tilfeldig kort fra kortstokken er separate hendelser, siden å erstatte det opprinnelige kortet i kortstokken tilbakestiller sjansene for å trekke noen av de originale kortene.
Eksempler på hendelser som ikke er uavhengige
- Å trekke et kort eller en kortstokk tilfeldig fra en kortstokk og deretter trekke et nytt kort fra samme kortstokk uten å erstatte det første er ikke uavhengige hendelser, siden det å trekke det første reduserer det totale antallet kort som finnes i kortstokken, noe som påvirker sannsynligheten for at annet kort kommer ut. Dessuten, hvis vi ikke erstatter det første kortet, blir sannsynligheten for at kortet kommer ut andre gang null.
- I en kjørende bil er sannsynligheten for at bilens motor overopphetes og sannsynligheten for at vannpumpen som kjøler motoren svikter ikke uavhengige hendelser, siden hvis vannpumpen svikter, blir det mye mer sannsynlig at motoren overopphetes.
- Et enda enklere eksempel å forstå er at det å få gode karakterer i statistikk ikke er uavhengig av å studere , siden hvis vi studerer, er det mer sannsynlig at vi får gode karakterer.
Eksempler på sannsynlighetsberegninger ved bruk av multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser
Eksempel 1: Kaste en mynt to ganger
Anta at vi ønsker å beregne sannsynligheten for at når du kaster en mynt to ganger, blir resultatet heads på begge kastene.
Hvis vi kaller A hendelsen der det første kastet lander hoder og B hendelsen der det andre kastet lander hoder, så er sannsynligheten for at vi blir bedt om å beregne sannsynligheten for skjæringspunktet mellom A og B, siden vi vil at begge hendelsene skal skje . Det vil si at det ukjente er P(A∩B).
Siden det bare er to mulige utfall for hvert kast, er sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer den samme:
Nå, siden vi vet at hendelsene er uavhengige, kan vi bruke multiplikasjonsregelen for å bestemme sannsynligheten for kryss:
Eksempel 2: Kaste to terninger
La oss beregne sannsynligheten for at når du kaster to vanlige sekssidige terninger, lander en av dem på en og den andre lander på et partall.
La oss kalle følgende hendelser A og B:
A = en av terningene lander på 1.
B = en av terningene lander på et partall.
Det vi ønsker å beregne er, igjen, P(A∩B).
Siden resultatet av hver terning er uavhengig av tallet som resulterer i den andre, kan vi beregne P(A∩B) ved å bruke multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser. Men først trenger vi sannsynlighetene for A og B.
Terningen har 6 flater med tallene fra 1 til 6, som ikke gjentar seg. Derfor er det bare én 1, og det er tre partall, nemlig 2, 4 og 6. Derfor er sannsynlighetene for at de separate hendelsene skjer:
Ved å bruke disse sannsynlighetene og multiplikasjonsregelen får vi ønsket sannsynlighet:
Eksempel 3: Deler som feiler
En fabrikk som bygger datautstyr bruker blant annet to forskjellige brikker eller integrerte kretser fra to forskjellige produsenter. I følge produsenten av den første brikken er sannsynligheten for at den vil svikte under normale driftsforhold 0,00133. På sin side skryter den andre produsenten av at bare to av brikkene feiler for hver 5000 installerte enheter. Fabrikkeieren ønsker å finne sannsynligheten for at begge komponentene svikter samtidig. Feilen til hvert brikkemerke kan betraktes som uavhengig av det andre.
I dette tilfellet spesifiserer selve utsagnet at de to hendelsene er uavhengige, så vi kan bruke multiplikasjonsregelen ovenfor. I tillegg er sannsynligheten for at den første brikken svikter også gitt, som vi vil kalle hendelse A. Sannsynligheten for at den andre brikken svikter (hendelse B) kan beregnes fra informasjonen fra produsenten:
Så sannsynligheten for at begge komponentene feiler samtidig er:
Referanser
Betinget sannsynlighet og uavhengighet . (nd). University of Florida Health. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/
Devore, JL (1998). SANNSYNLIGHET OG STATISTIKK FOR INGENIØR OG VITENSKAPER . International Thomson Publishers, SA
Frost, J. (2021, 10. mai). Multiplikasjonsregel for beregning av sannsynligheter . Statistikk av Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/
Multiplikasjonsregel, løste oppgaver . (2021, 1. januar). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/
Sannsynlighetsmultiplikasjonsregel . (nd). Varsity veiledere. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability
Multiplikasjonsregel (sannsynlighet) [Eksempler] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html
Den generelle multiplikasjonsregelen . (nd). Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule
