Hva er de mulige resultatene av å kaste tre terninger samtidig?

Å kaste mynter og terninger eller blindt fjerne kuler fra en boks er noen av de enkleste eksperimentene vi kan utføre for å teste vår forståelse av de forskjellige konseptene knyttet til statistikk. De er enkle eksperimenter å utføre, som alle kan gjøre hjemme, de gir klare og entydige resultater, og disse kan enkelt konverteres til numeriske data.

Når det gjelder terningkast, er det også en klar sammenheng mellom dem og sjansespill, noe som gjør bruken av statistikk mer håndgripelig i noe som er en del av hverdagen til mange mennesker eller i det minste noe med det som nesten alle av oss har vært borti minst én gang i livet.

Å kaste tre terninger samtidig kan gi forskjellige typer resultater som vi kan tolke på forskjellige måter. Vi kan være interessert i selve de enkelte resultatene, eller vi kan være interessert i verdien av summen eller i antall partall eller oddetall som kommer opp mellom terningene osv. Av de tre er det vanligste å være interessert i resultatet av summen av verdiene til de tre terningene. I de følgende avsnittene vil vi utforske hvordan vi beregner sannsynligheten for forekomst av hver av summene når du kaster tre terninger samtidig.

Prøveplassen for å kaste tre terninger

Å kaste en enkelt terning er et enkelt eksperiment som bare har seks mulige utfall. Det vil si at det er et eksperiment hvis prøverom er dannet av resultatene S _{1 gitt} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Når du kaster to terninger samtidig, kan det antas at resultatet av hver terning er uavhengig av den andre, slik at hver av dem kan resultere i hvilket som helst av de seks foregående resultatene. ^{Dette fører til at 6 2} = 36 mulige resultater kan gis tilsvarende alle mulige kombinasjoner mellom de 6 verdiene til den ene terningen og de 6 verdiene til den andre.

I dette tilfellet vil vi ha et prøverom på S _{2 gitt} = {11; 12; 1. 3; 14; femten; 16; tjueen; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Av disse 36 resultatene kan antall unike kombinasjoner (uten å ta hensyn til rekkefølgen) beregnes ved hjelp av en kombinatorikk med repetisjon hvor grupper på n = 2 tas (de to terningene som kastes) med m = 6 mulige resultater. :

Disse 21 resultatene tilsvarer {11; 12; 1. 3; 14; femten; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Fire fem; 46; 55; 56; 66}. Sannsynligheten for hvert av disse resultatene tilsvarer 1/36 multiplisert med antall forskjellige permutasjoner som kan opprettes med sifrene til hvert tall (1 hvis tallet gjentas, som i 11, 22 osv., og 2 hvis tallet gjentas ikke, siden vi kan ha 12 eller 21, 13 eller 31 osv.)

Ved terningkast 3 er det totale antallet mulige utfall i prøverommet gitt med 6 ³ = 216. Disse utfallene er S _{3 terninger} = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. I dette tilfellet må sannsynligheten for et individuelt utfall være 1/216.

Sannsynlighet for individuelle resultater når du kaster tre terninger

Nå som vi har godt definert prøverommet for alle mulige resultater av kast med 3 terninger, la oss se hvordan vi beregner sannsynligheten for hvert av de forskjellige resultatene som kan oppnås.

Ved å kaste tre terninger, med tanke på at rekkefølgen resultatene kommer opp i er irrelevant, vil mange av de 216 resultatene faktisk gjentas. Det totale antallet unike resultater kan beregnes igjen som en kombinasjon av grupper på 3 med 6 alternativer hver og med mulighet for repetisjoner, det vil si:

Blant disse 56 resultatene forekommer de som består av tre like tall (la oss kalle dem AAA) bare én gang. På den annen side gjentas de med to identiske figurer og en annen (AAB) 3 ganger hver (tilsvarer permutasjonene AAB, ABA og BAA). Til slutt vil de som har tre forskjellige figurer (ABC) vises 3! = 6 ganger (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA).

Fra denne informasjonen og det totale antallet mulige utfall (216), kan vi beregne sannsynligheten for hvert utfall som

Avhengig av resultatet har den 1, 2 eller 3 forskjellige figurer. De 56 mulige utfallene og deres sannsynligheter er vist i følgende tabell:

Sannsynlighet for summen når du kaster tre terninger

Som nevnt før, når du kaster terningene, er summen av terningene et viktigere resultat enn det spesielle tallet hvert hode lander på. I forsøket der det kastes tre terninger og summen oppnås, er prøverommet bygd opp av alle mulige summer mellom tre tall fra 1 til 6.

Den minste verdien som kan oppstå fra denne summen er den som oppnås når de tre terningene lander på 1, og får en sum på 1+1+1 = 3, mens maksimalverdien tilsvarer 6+6+6 = 18, med mulighet å få noen av de mellomliggende summene. Derfor tilsvarer prøverommet til dette eksperimentet:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; elleve; 12; 1. 3; 14; femten; 16; 17; 18}

Den siste kolonnen i tabellen viser det totale antallet resultater som hver sum gir, inkludert tilsvarende resultater (fra alle permutasjoner av hver unike kombinasjon). For eksempel, for summen av 15, må terningkastet være 366, 356 eller 555. Men det er 3 permutasjoner på 366 (366, 636 og 663) og 6 permutasjoner på 356 (356, 365, 536, 563, 635 og 653) og en enkelt av 555, så det totale antallet mulige utfall som tilsvarer 15 er 10.

Med den forrige tabellen kan vi øve oss på å beregne sannsynligheten for hver sum for kast av tre terninger på to forskjellige måter. Disse er detaljert nedenfor.

Strategi 1: Bruk av sannsynligheten for hvert unikt utfall

Den første strategien er å legge til sannsynligheten for alle unike utfall som hver sum kan gi. Dette innebærer å bruke de unike resultatene fra den tredje kolonnen og den respektive sannsynligheten for hvert utfall presentert ovenfor.

Eksempel

Anta at vi ønsker å beregne sannsynligheten for at summen av de tre terningene er 11 (det vil si P(11)). I dette tilfellet er det 6 unike kombinasjoner (uansett rekkefølge) som gir en sum på 11. Disse resultatene er (i henhold til tredje kolonne i tabellen ovenfor): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

Sannsynligheten for hvert resultat bestemmes basert på det totale antallet mulige permutasjoner i hvert tilfelle, som forklart i forrige avsnitt. I dette tilfellet:

Derfor vil sannsynligheten for at resultatet av summen er 11 være:

Tilsvarende, hvis vi ønsket sannsynligheten for at summen er 16, ville resultatet være summen av sannsynlighetene til 466 og 556, som begge er lik 1/72, så sannsynligheten vil være:

Strategi 2: Bruk av det totale antallet resultater som tilsvarer hver sum

I dette tilfellet tas en enklere vei, så lenge det er en liste over alle mulige resultater for hver summering, inkludert permutasjonene. Da er sannsynligheten for hver sum ganske enkelt det totale antallet utfall for summen delt på det totale antallet mulige utfall (216).

Eksempel

I tilfellet av summen = 11, er det totale antallet mulige resultater som gir nevnte sum 27 (se tredje kolonne i forrige tabell), så sannsynligheten for at summen av 11 vil være:

Som du kan se er resultatet det samme som før, og det er veldig enkelt hvis vi har et bord som det forrige allerede bygget. Men for mer komplekse tilfeller der det er flere mulige utfall (som å kaste 4, 5 eller 4 terninger), kan denne strategien være mindre praktisk og førstnevnte mer praktisk.

Referanser

Graffe, S. (2021, 21. september). Hva er sannsynligheten for at når du kaster tre terninger, får du summen 7? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17. mars). Telleteknikker: typer, hvordan du bruker dem og eksempler . Psykologi og sinn. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

naps. (2017, 16. november). Telleteknikker i sannsynlighet og statistikk . Naps Teknologi og utdanning. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23. november). Kombinasjoner med repetisjon . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q