Hva er øyeblikk i statistikk?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Momenter i beregninger i statistikk er opptatt av å bestemme parametere som gjennomsnittet, variansen eller skjevheten til en sannsynlighetsfordeling. Begrepet moment stammer fra fysikk, fra beregningen av tyngdepunktet til et sett med kropper med forskjellige masser.

definisjon av øyeblikk

Hvis det er et sett med n diskrete data x 1 , x 2 , x 3 , … x n , er ordremomentet s definert som:  

( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n

Rekkefølgen beregningen utføres i er viktig. Først må du gjøre forhøyningen til potensen s , deretter legge til og til slutt dividere med n .

Ved å bruke denne definisjonen har vi det første ordensmomentet når s = 1 og den forrige formelen har formen:

( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n

Dette er uttrykket for formelen for gjennomsnittet av et sett med verdier.

Hvis settet vi analyserer består av de 4 tallene 1, 3, 6, 10, er det første rekkefølgemomentet i dette settet:

(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5

I dette eksemplet er det observert at det første ordensmomentet er gjennomsnittet av settet med verdier som studeres.

Andre ordensmomentet tilsvarer s = 2, og definisjonen blir da som følger:

( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n

Hvis vi bruker det på forrige eksempel, får vi:

(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5

På samme måte tilsvarer det tredje ordensmomentet s = 3 og formelen har formen:

( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n

Og regnestykket i eksemplet vi vurderer har uttrykket:

(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311

Momentene for gjennomsnittet av et sett med verdier

En annen anvendelse av begrepet moment er dets beregning av gjennomsnittet av et sett med verdier. Det vil si til verdiene som oppnås fra forskjellen mellom hver verdi av et sett i forhold til gjennomsnittet. For å gjøre dette må du først beregne gjennomsnittsverdien til settet, deretter definere variabelen som momentene skal beregnes på som forskjellen mellom gjennomsnittet og hver verdi av settet, og til slutt bruke den forrige formelen på denne nye variabelen.

Så, hvis m er gjennomsnittet av settet med verdier x 1 , x 2 , x 3 , … x n , vil øyeblikkene rundt gjennomsnittlig m s av et sett med verdier ha formen:

m s = [( x 1m ) s + ( x 2m ) s + ( x 3m ) s +…+ ( x nm ) s ]/ n

I følge denne beregningen er førsteordensmomentet til gjennomsnittet 0. La oss se hvordan dette resultatet oppnås:

m 1 = [( x 1m )+ ( x 2m ) + ( x 3m ) +…+ ( x nm )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x nn . m )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n

m 1 = mm = 0

Det andre ordensmomentet av gjennomsnittet har følgende uttrykk:

m 2 = [( x 1m ) 2 + ( x 2m ) 2 + ( x 3m ) 2 +…+ ( x nm ) 2 ]/ n

Dette er formelen for variansen til et sett med verdier.

Hvis vi bruker denne formelen på forrige eksempel, har vi at gjennomsnittet som vi allerede har beregnet er 5, så formelen blir

m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5

Dermed ser vi at førsteordensmomentet til et sett med verdier er gjennomsnittet og andreordensmomentet om gjennomsnittet er variansen til det settet. Tredjeordensmomentet til gjennomsnittet ble brukt av Karl Pearson for beregning av skjevheten til verdisettet, mens fjerdeordensmomentet til gjennomsnittet brukes i beregningen av statistisk kurtose.

Kilder

Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics . Tredje utgave, McGraw-Hill, 1974.

Peter H. Westfall, Understanding Advanced Statistical Methods . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.

-Annonse-

Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados