Hva er de reelle tallene?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Tall har forskjellige egenskaper og kan klassifiseres i forskjellige grupper. En av disse gruppene, med bred anvendelse i ulike grener av matematikk, er de reelle tallene. For å forstå dem bedre, la oss først se hva de forskjellige typene tall er.

Tallene

Det første vi lærer om tall er hvordan vi bruker dem til å telle; vi starter med å matche dem med fingrene for å gjøre enkle operasjoner. Dermed er våre ti fingre grunnlaget for desimalsystemet. Derfra teller vi mengder så store vi kan og legger merke til at tallene er uendelige. Og så, ved å legge til null (0) når vi ikke har noe å telle, dannes de naturlige tallene.

Med de naturlige tallene gjør vi aritmetiske operasjoner og når vi trekker et annet tall fra et tall, må vi introdusere de negative tallene. Så ved å legge til de negative tallene til de naturlige, får vi settet med heltall.

Blant de aritmetiske operasjonene vi utfører med tall er divisjon. Og vi finner at det er tilfeller der når man deler ett tall med et annet, er resultatet ikke et heltall; I mange tilfeller kan dette delingsresultatet bare representeres nøyaktig av selve divisjonsuttrykket, det vil si en brøk. Slik er settet med rasjonelle tall konstruert, der alle tall skrives som brøk og heltallene har tallet 1 som nevner.

Det var de gamle sivilisasjonene som observerte at det fantes tall som ikke kunne representeres som brøker. Når de jobbet med geometriske figurer fant de tallet pi, forholdet mellom radius og lengden på en sirkel, et tall som ikke kan uttrykkes som kvotienten mellom to heltall. Det er også tilfellet med kvadratroten av tallet 2 (det vil si at tallet som multiplisert med seg selv ville gitt tallet 2 som et resultat). Og det er mange tall som dukker opp i ulike kunnskapsgrener som ikke er en del av settet med rasjonelle tall. Disse tallene, som ikke kan representeres nøyaktig som kvotienten av to hele tall, kalles irrasjonelle tall. Settet med rasjonelle og irrasjonelle tall utgjør altså settet med reelle tall.

De reelle tallene er en del av et enda større sett med tall: de komplekse tallene. Denne utvidelsen av settet av reelle tall oppstår når vi ønsker å beregne kvadratroten av et negativt tall; Siden produktet av to negative tall alltid er positivt, er det ikke noe reelt tall som multiplisert med seg selv er negativt. Da defineres det imaginære tallet i , som representerer kvadratroten av -1, og settet med komplekse tall oppstår.

desimalrepresentasjon

Alle tall kan uttrykkes i desimalform; For eksempel kan det rasjonelle tallet 1/2 uttrykkes i desimalform som 0,5. I motsetning til det rasjonelle tallet 1/2, som kan representeres nøyaktig med en enkelt desimal, har andre rasjonelle tall et uendelig antall desimaler og har ikkeDe kan uttrykkes nøyaktig med desimalrepresentasjonen. Dette er tilfellet med tallet 1/3; Dens desimalrepresentasjon er 0,33333…, med et uendelig antall desimaler. Disse rasjonelle tallene kalles periodiske desimaltall, siden det i alle tilfeller er en tallrekke som gjentas uendelig mange ganger. I tilfellet med tallet 1/3 er denne sekvensen 3; når det gjelder tallet 1/7, er desimalformen 0,1428571428571…, og sekvensen som gjentas uendelig er 142857. Irrasjonelle tall er ikke periodiske desimaltall; det er ingen sekvens som gjentas uendelig mange ganger i sin desimalrepresentasjon.

Visuell representasjon

De reelle tallene kan visualiseres ved å knytte hver av dem til et av de uendelig mange punktene langs en rett linje, som vist på figuren. I denne grafiske representasjonen er tallet pi, hvis verdi er ca. 3,1416, tallet e , som er ca. 2,7183, og kvadratroten av tallet 2, ca. 1,4142. Fra tallet 0 til høyre er de positive reelle tallene plassert i økende form, og til venstre øker de negative sin absolutte verdi i den retningen.

Visuell representasjon av reelle tall.
Visuell representasjon av reelle tall.

Noen egenskaper ved reelle tall

Reelle tall oppfører seg som heltall eller rasjonelle tall, som vi er mer kjent med. Vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dele dem på samme måte; det eneste unntaket er divisjonen med tallet 0, en operasjon som ikke er mulig. Rekkefølgen på addisjonene og multiplikasjonene er ikke viktig, siden den kommutative egenskapen fortsatt holder, og den distributive egenskapen gjelder på samme måte. På samme måte er to reelle tall x og y ordnet på en unik måte, og bare én av følgende relasjoner er riktig:

x = y , x < y eller x > y

De reelle tallene er uendelige, akkurat som heltallene og de rasjonelle tallene. I prinsippet er dette åpenbart siden både heltall og rasjonal er delmengder av de reelle tallene. Men det er en forskjell: når det gjelder heltall og rasjonelle tall, sies det at de er tellelig uendelige tall; i stedet er de reelle tallene uendelig utallige.

Et sett sies å være tellbart eller tellbart når hver av komponentene kan assosieres med et naturlig tall. Assosiasjonen er åpenbar når det gjelder heltall; når det gjelder rasjonelle tall kan det sees på som assosiasjonen med et par naturlige tall, telleren og nevneren. Men denne assosiasjonen er ikke mulig når det gjelder reelle tall.

Kilder

  • Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetikk og algebra . I Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, red. Matematikk 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
  • Carlos Ivorra. Logikk og settteori . 2011.
-Annonse-

Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados