Hva er De Morgans lover?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Logikk er en gren av matematikken, og en del av den er settteori. De Morgans lover er to postulater om samspillet mellom sett. Disse lovene registrerer antecedenter i Aristoteles og William av Ockham. Augustus De Morgan levde mellom 1806 og 1871 og var den første som inkluderte lovene han postulerte i den formelle strukturen til matematisk logikk.

Operatører i settteori

Før vi går videre til De Morgans postulater, la oss se på noen definisjoner av settteori.

Hvis det er to sett med elementer, som vi vil kalle A og B, er skjæringspunktet mellom disse to settene det settet med elementer som er felles for begge settene. Skjæringspunktet mellom to sett er betegnet med symbolet ∩, og er et annet sett som vi kan kalle C; C = A∩B, og C er settet med elementer som vises i både gruppe A og gruppe B. På samme måte er foreningen av to sett A og B en ny mengde som inneholder alle elementene i A og B, og det er notert med symbolet U. Mengden C, forening av A og B, C = AUB, er en mengde som er integrert med alle elementene i A og B. Den tredje definisjonen som vi må huske er komplementet til et sett: hvis vi har et visst univers av elementer og et sett A av dette universet, er komplementet til A settet av elementer i det universet som ikke tilhører settet A. Komplementsettet til A er betegnet som A C .

Disse tre operatørene mellom sett kan generaliseres til operasjonen mellom flere sett, det vil si til skjæringspunktet, foreningen og komplementet til flere sett. La oss se på et enkelt eksempel. Følgende figur viser Venn-diagrammet med tre sett: fuglene, representert ved papegøyen, strutsen, anda og pingvinen; de levende vesenene som flyr, representert ved papegøyen, anda, sommerfuglen og flyvefisken, og de levende vesenene som svømmer, representert ved anda, pingvinen, flyvefisken og hvalen. Anda er skjæringssettet av de tre settene: foreningen av fugler og levende vesener som flyr består av strutsen, papegøyen, sommerfuglen, anda, pingvinen og flygefisken. Og komplementet til de levende vesenene som flyr og de som svømmer er settet som inneholder strutsen.

Venndiagram over tre sett.
Venndiagram over tre sett.

De Morgans lover

Nå kan vi se postulatene til De Morgans lover. Det første postulatet sier at komplementet til settskjæringspunktet mellom to sett A og B er lik settforeningen av komplementet til A og komplementet til B. Ved å bruke operatorene definert i forrige avsnitt, kan De Morgans første lov skrives som følgende måte:

(A∩B) C = A C UB C

De Morgans andre lov postulerer at komplementet til unionssettet av A og B er lik skjæringspunktet mellom komplementsettet til A og komplementsettet til B, og det noteres som følger:

(AUB) C = A C ∩ B C

La oss se et eksempel. Tenk på settet med heltall fra 0 til 5. Dette er betegnet som [0,1,2,3,4,5]. I dette universet definerer vi to sett A og B. A er settet med tallene 1, 2 og 3; A = [1,2,3]. YB er settet med tall 2, 3 og 4; B = [2,3,4]. De Morgans første lov ville gjelde som følger.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morgans første lov: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Resultatet av bruken av operatørene på begge sider av likestillingen viser at De Morgans første lov er verifisert. La oss se anvendelsen av eksemplet på det andre postulatet.

De Morgans andre lov: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Som med det første postulatet, gjelder i det gitte eksemplet også De Morgans andre lov.

Kilder

AG Hamilton. Logikk for matematikere. Redaksjonell Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logikk og settteori . Åpnet november 2021

-Annonse-

Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados