Formler for å beregne arealer og volumer av geometriske former

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Formlene for å beregne arealet og volumet til en kule er

  • Overflate = 4πr 2
  • Volum = (4/3)πr 3

2. Beregning av areal og volum av en kjegle

Fite
kjegle med basisradius r og høyde h

En kjegle er en pyramide med en sirkulær base, hvis skrå sider møtes i et sentralt punkt på kjeglens akse, en linje vinkelrett på planet til basen som går gjennom midten av omkretsen som utgjør kjeglens base, som vist Du kan se i figuren ovenfor. For å beregne arealet av overflaten eller volumet, må radiusen til basen r og lengden på siden s være kjent . Hvis verdien av sidelengden s ikke er kjent , kan den beregnes ved å kjenne høyden på kjeglen h ( se figuren over).

s = √ (r 2 + h 2 )

Det totale overflatearealet til kjeglen kan beregnes som summen av arealet av basen og arealet av sideoverflaten.

  • Grunnflate: πr 2
  • Sideareal: πrs
  • Totalt areal = πr  + πrs

For å beregne volumet til en kjegle trenger du bare radiusen til basen og høyden.

  • Volum = 1/3 πr 2 timer

3. Beregning av overflateareal og volum av en sylinder

sylinder
sylinder med bunnradius r og høyde h

Overflate- og volumberegninger er lettere for en sylinder enn for en kjegle. Sylinderen har en sirkulær base og linjene som når de roteres genererer sideoverflaten er parallelle og vinkelrette på basen. For å beregne overflatearealet eller volumet er det kun nødvendig med radius r  og høyden h .

Som i tilfellet med kjeglen, er overflatearealet summen av overflatene som utgjør den; summen av arealet av den øvre basen og den nedre basen (som er like), og arealet av sideflaten.

  • Overflate = 2πr 2  + 2πrh
  • Volum = πr 2t

4. Beregning av overflaten og volumet til et rektangulært prisme

rektangulært prisme
rektangulært prisme av sidene a, b og c

Et rektangel brettet ut i tre dimensjoner blir et rektangulært prisme; Eller bare en boks. Når alle sidene i et rektangulært prisme er like, blir prismet en terning. Derfor beregnes både overflatearealet og volumet med de samme formlene. For dette er det nødvendig å vite størrelsen på de tre sidene av prismet; a, b og c, i den øvre figuren.

  • Areal = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
  • volum = abc

Hvis vi har en kube med side a , blir de forrige formlene

  • Arealet av en terning = 6a 2
  • Volum av en terning = en 3

5. Beregning av areal og volum av en pyramide med kvadratisk base

kvadratisk basepyramide
kvadratisk grunnpyramide av side b høyde h

I dette tilfellet ser vi formlene som brukes til å beregne overflatearealet og volumet til en pyramide med en kvadratisk base og likesidede trekanter på flatene. For beregningene er det nødvendig å kjenne siden av kvadratet til basen b og høyden h , dette er avstanden fra midten av kvadratet av basen til toppunktet, som vist i figuren over. Og s vil være høyden på hver likesidet trekant som utgjør flatene til pyramiden, som kan beregnes med følgende formel.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

Som i de foregående tilfellene, er overflatens areal summen av arealet av basen pluss arealet av de fire likesidede trekantene til flatene.

  • Overflate = 2bs + b 2
  • Volum = (1/3) b 2t

6. Beregning av overflateareal og volum av et likebenet trekantet prisme

prisme
likebenet trekantet prisme av side b lengde l

For å bruke formlene for å beregne arealet av overflaten og volumet til et likebenet trekantet prisme, trengs tre parametere, i henhold til figuren ovenfor; bunnen av den likebenede trekanten b , høyden til trekanten h og lengden på prismet l . Definisjonene er komplettert med siden s av den likebente trekanten. Siden s av trekanten kan beregnes fra de andre dataene i trekanten med følgende formel.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

Formlene for beregning av overflateareal og volum er som følger.

  • Areal = bh + 2 l s + l b
  • Volum = (1/2)bh l

Hvis du vil beregne overflatearealet og volumet til et prisme som ikke er en likebenet trekantet, kan du bruke følgende prosedyre. Du kan bestemme arealet A og omkretsen P av basen og bruke følgende formler.

  • Overflate = 2A + Pl
  • Volum = A l

7. Beregning av areal og lengde av en sirkulær sektor

sirkulær sektor
sirkulær sektor med radius r og vinkel θ

Den øvre figuren viser sektoren til en sirkel med radius r definert av vinkelen θ , som kan uttrykkes i grader eller radianer. For å beregne arealet til den sirkulære sektoren og lengden på buen, er det nødvendig at vinkelen θ uttrykkes i radianer, så hvis den er uttrykt i grader, må konverteringen gjøres ved å bruke følgende formel.

vinkel θ i radianer = (vinkel θ i grader) π /180

Arealet av den sirkulære sektoren og lengden på buen beregnes med følgende formler.

  • Areal = (θ/2) r 2  θ i radianer
  • Bue L = θr   θ i radianer

Arealet og omkretsen til en sirkel er et spesielt tilfelle av en sektor, som oppstår når vinkelen θ er lik 2 π . Så arealet og omkretsen til en sirkel beregnes som følger.

  • Arealet av en sirkel = π r 2 
  • Omkrets = 2 π r

8. Beregning av arealet til en ellipse

ellipse
ellipse av halvaksene a og b

En ellipse, også kjent som en oval og som kan identifiseres som en langstrakt sirkel, er settet med punkter hvis summen av avstander til to faste punkter kalt foci er konstant. I figuren over er fokusene representert med to punkter. En ellipse kan defineres ved sine to halvakser, som vist i figuren; semi-hovedaksen a og semi-minoraksen b . Arealet av en ellipse beregnes med følgende formel.

  • Areal = πab

9. Beregning av arealet og omkretsen til en trekant

triangel
trekantbase b høyde h

Trekanten er en av de enkleste geometriske formene, og det er enkelt å beregne omkretsen ved å vite lengden på hver av sidene a, b og c

  • omkrets = a + b + c

For å beregne arealet av trekanten, er lengden på en av sidene nødvendig, for eksempel b  i figuren ovenfor, og høyden h  som tilsvarer den siden, bestemt som lengden på segmentet trukket fra motsatt toppunkt vinkelrett til siden b . Arealet av trekanten beregnes som

  • Areal = (1/2)bh

10. Beregning av areal og omkrets av et parallellogram

Parallelogram
parallellogram av base b høyde h

Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle, som vist i figuren ovenfor. Siden de motsatte sidene er parallelle, vil lengden på de motsatte sidene være lik. Når det gjelder figuren, er de sidene av lengden a og b . Omkretsen til et parallellogram er summen av sidene.

  • Omkrets av et parallellogram = 2a + 2b

For å beregne arealet til et parallellogram, er høyden h nødvendig ; avstanden mellom to parallelle sider. Arealet kan beregnes med høyden og siden som tilsvarer den høyden, b  for figuren.

  • Arealet av et parallellogram = bh

Et rektangel er et spesielt tilfelle av et parallellogram; når høyden h er lik siden a eller, som er den samme, når de tilstøtende sidene er vinkelrette, er parallellogrammet et rektangel og omkrets- og arealformlene er som følger.

  • Omkretsen av et rektangel = 2a + 2b 
  • Arealet av et rektangel = ab

I sin tur er en firkant et spesielt tilfelle av et parallellogram og et rektangel; når sidene a og b er like og tilstøtende sider er vinkelrette. Formlene for omkrets og areal av en firkant med side a er som følger.

  • omkretsen av et kvadrat = 4a 
  • Arealet av et rektangel = en 2

11. Beregning av arealet og omkretsen til en trapes

Se kildebildene
trapes med hovedbase B, mindre base b og høyde h

En trapes er en firkant som har to motsatte sider som er parallelle. Derfor er lengden på de fire sidene forskjellig, i den øvre figuren b , B , c og d , og for å beregne omkretsen er det nødvendig å kjenne de fire verdiene. Omkretsen til en trapes beregnes ved å legge til de fire verdiene.

  • Omkrets = b + B + c + d

For å beregne arealet til en trapes er det nødvendig å vite høyden h  som kan observeres i den øvre figuren, og det er avstanden mellom de to parallelle sidene.

  • Areal = (1/2) (b + B)h

12. Beregning av arealet og omkretsen til en regulær sekskant

vanlig sekskant på side r
vanlig sekskant på side r

En polygon med seks like sider er en vanlig sekskant. Lengden på hver side r er lik avstanden til hvert toppunkt fra midten av sekskanten. Apotemet ( a i den øvre figuren) er den minste avstanden fra midten av sekskanten til en av sidene; er høyden til hver likesidet trekant som utgjør sekskanten. Omkretsen til en vanlig sekskant beregnes som

  • omkrets = 6r

Mens for å beregne arealet til en vanlig sekskant, brukes følgende formel

  • Areal = (3√3/2)r 2

13. Beregning av arealet og omkretsen til en vanlig åttekant

vanlig åttekant
vanlig åttekant

En vanlig åttekant er en polygon med åtte like sider. Hvis lengden på hver side av åttekanten er r , beregnes omkretsen til en vanlig åttekant som

  • omkrets = 8r

Mens for å beregne arealet til en vanlig åttekant, brukes følgende formel

  • Areal = 2(1+√2)r 2

Fontene

Wenninger, Magnus J. Models of Polyhedra Cambridge University Press, 1974.

-Annonse-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados