¿Por qué el factorial de cero es igual a uno?

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El factorial de un número entero positivo es el producto de todos los números enteros menores o iguales que él, y se denota con el símbolo !. Por ejemplo, el factorial del número 4 se expresa como 4! y es igual a 24:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

En particular, el factorial del número 0, (o sea, 0!), se define igual a 1, aunque este valor no surge de la definición de factorial, que es válida solo para cualquier número entero mayor o igual a 1. ¿Por qué el factorial del número 0 se define como 1 si hay una regla matemática que dice que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero?

Mas allá de la confusión a la que pueda dar lugar esta situación, hay que remarcar que el valor del factorial del número 0 es una definición; es decir, matemáticamente se define que 0! = 1. Veamos a continuación los fundamentos de esta definición.

La definición del factorial del número 0

Como ya mencionamos, lo primero que hay que remarcar es que la asignación del valor 1 al factorial del número 0 (0! = 1) es una definición, aunque en principio esto no conlleve una explicación satisfactoria si solo observamos la definición de factorial.

Recordemos que la definición de factorial de un número entero positivo es el producto de todos los números enteros iguales o menores que él. Observemos que esta definición también implica que el factorial tiene asociadas todas las combinaciones posibles de los números menores o iguales al número que consideramos.

El número 0 no tiene números enteros positivos menores que él pero aún así sigue siendo un número y solo hay una combinación posible de este conjunto particular de números compuesto solo por el número 0. Esa combinación es uno, al igual que en el caso del número 1.

Para comprender mejor el sentido matemático de esta definición hay que tener en cuenta que el concepto de factorial también involucra otra información contenida en un número, concretamente las permutaciones posibles de sus factores. Incluso en el conjunto vacío representado por el número 0 se puede pensar que hay una forma de ordenar este conjunto.

Permutaciones y factoriales

El concepto de factorial se utiliza en la rama de las matemáticas llamada combinatoria, disciplina en la que se define el concepto de permutación de elementos. Una permutación es un orden específico y único de los elementos que constituyen un determinado conjunto. Por ejemplo, hay seis permutaciones posibles del conjunto {1, 2, 3}, que contienen tres elementos, ya que podemos escribir estos elementos de las siguientes seis formas:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

También podríamos expresar este concepto mediante la expresión factorial de tres, 3! = 6, que permite calcular el conjunto completo de permutaciones de un grupo de 3 elementos. De la misma forma, hay 24 permutaciones (4!=24) de un conjunto con cuatro elementos y 120 permutaciones posibles (5!= 120) de un conjunto con cinco elementos. Entonces, una forma alternativa de pensar el concepto de factorial es dejar de lado la idea de que se asocia a un número natural n y pensar que n! es el número de permutaciones de un conjunto integrado por n elementos.

Veamos algunos ejemplos considerando ahora esta nueva concepción del factorial de un número. Un conjunto integrado por dos elementos tiene dos permutaciones posibles: {a, b} se puede ordenar como (a, b) o como (b, a). Esto se asocia a la definición de factorial del número 2; 2! = 2. Un conjunto integrado por un solo elemento, {a}, tiene una única permutación posible, y se asocia a la definición de factorial del número 1; 1! = 1.

Volvamos ahora al caso del factorial de 0. El conjunto integrado por cero elementos se denomina conjunto vacío. Para encontrar el valor del factorial de 0 nos podemos preguntar, ¿de cuántas formas podemos ordenar un conjunto sin elementos? Y si bien una respuesta puede ser que no hay nada que ordenar en un conjunto vacío, también tenemos la alternativa de que aún vacío es un conjunto, por lo cual la respuesta podría ser 1, y entonces 0! = 1.

Otras aplicaciones del factorial

Como ya dijimos, el concepto de factorial se utiliza en combinatoria y esta herramienta matemática se utiliza para realizar cálculos en fórmulas que expresan permutaciones y combinaciones de grupos de elementos. Si bien de estas aplicaciones no surge una justificación directa para la asignación de 1 al factorial del número 0, sí se puede entender por qué se lo define de esta manera.

El concepto de combinación de un grupo de elementos se refiere a la cantidad de subgrupos que se puede obtener con ellos, independientemente del orden en que se los considere. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} tiene una sola combinación si se toman tres elementos, independientemente del orden. Pero si los tomáramos de a dos elementos tendríamos tres combinaciones posibles, {1, 3}, {2, 3} y {1, 2}, al igual que si los tomáramos de a un elemento, {1}, {2} y {3}. La fórmula general para calcular el número de combinaciones sin repetición de un determinado conjunto de n elementos tomados en subgrupos de p elementos es C (n, p) = n!/p!(np)!.

Si utilizamos esta fórmula para determinar el número de combinación de tres elementos tomados de a tres vemos que el resultado debe ser 1, expresado por C (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, por lo que es necesario definir el 0! = 1 para que la expresión matemática tenga sentido.

De la misma forma, hay otras situaciones que hacen necesario definir el factorial del número 0 como 1, 0! = 1, como parte de la concepción general en el desarrollo de las matemáticas que indica que cuando se construyen nuevas ideas y se incorporan nuevas definiciones tiene que haber compatibilidad con las estructuras preexistentes.

Bibliografía

Cero factorial o 0!. Khan Academy.

¿Existe el factorial de 0? Canal de YouTube Derivando.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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