Cuándo y cómo usar paréntesis, corchetes y llaves en matemáticas

paréntesis en matemáticas

Entre la combinación de símbolos que involucran los cálculos aritméticos o las expresiones algebraicas es común encontrar tres símbolos, que suelen confundirse en su utilización; los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves { }. Veamos cuál es la aplicación específica de cada uno junto a algunos ejemplos para fijar ideas.

Los paréntesis ( ) se utilizan para agrupar números y variables, en un cálculo o en una ecuación algebraica. Cuando nos encontramos con paréntesis en medio de varias operaciones aritméticas, se nos está indicando el orden en que deben hacerse. Recordemos que, sin otra indicación, la multiplicación y división tienen prioridad frente a la adición y sustracción, y la potenciación frente a la multiplicación y división. Cuando se deben efectuar operaciones con la misma prioridad, el cálculo se desarrolla de izquierda a derecha en la expresión matemática. Veamos el rol de los paréntesis indicando el orden de las operaciones en el siguiente ejemplo.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6

Los paréntesis nos indican que primero debe realizarse la operación que se plantea en dentro de su espacio, sin considerar el orden de prioridades usual en el que se realizan las operaciones aritméticas. En este ejemplo la operaciones de multiplicación y división tendrían que realizarse antes que la resta, sin embargo dado que la operación 8 – 3 se encuentra enmarcada entre paréntesis tenemos que realizar primero éste cálculo. Una vez que se hayan realizado todos los cálculos dentro de los paréntesis, en este caso sólo el 8 – 3, se los elimina y se procede con la otras operaciones con las prioridades usuales. En este caso el (8 – 3) se sustituye por 5, y la secuencia de resolución de éste cálculo sería la siguiente.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6

9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6

9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6

9 – 2 + 6 = 7 + 6

7 + 6 = 13

Los paréntesis también indican en forma implícita que se trata de una operación de multiplicación. Por ejemplo, en la expresión 3(2 + 5) los paréntesis indican que primero debe realizarse la suma dentro del espacio de los paréntesis, 2 + 5. Pero no hay una operación explicita entre el tres y el espacio de los paréntesis, por lo que se asume que es una multiplicación. Un caso más general, con dos paréntesis, sería la expresión (6 –3)(2 + 3). Otra vez, primero hay que resolver los dos cálculos en el espacio de los paréntesis, esto es 6 – 3 y 2 + 3, y luego asumimos que hay que realizar el producto de ambos resultados. Para mayor claridad, desarrollemos el cálculo.

(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)

(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)

(3) × (3) = 3 × 3

3 × 3 = 9

Los corchetes se utilizan también cuando es necesario agrupar números y variables en un cálculo o en una ecuación algebraica, pero cuando ya se usaron los paréntesis. O sea, si es necesario agrupar números y variables en el espacio que ya está agrupado, el grupo interior se señala con paréntesis y el exterior con corchetes. Si fuese necesario otro agrupamiento en el mismo espacio, de tercer orden, se usarían entonces llaves. La secuencia, que también se conoce como paréntesis anidados, seguiría el siguiente orden: { [ ( ) ] }

Veamos un ejemplo de expresión matemática que combina paréntesis y corchetes. Igual que en caso de los paréntesis, si no hay una operación explicita junto a los corchetes se asume que es una multiplicación.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3

En esta expresión, primero tenemos que resolver las operaciones dentro del espacio de los corchetes.

4 – 2(6 – 3)

Esta expresión a su vez tiene indicado un orden de prioridades definido por los paréntesis; en primer término hay que resolver la diferencia 6 – 3. Veamos el desarrollo completo de la secuencia de cálculo.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3

4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3

4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2

4 + 2 = 6

Veamos ahora un ejemplo que combina los tres símbolos.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

Como ya se mencionara, la regla general es resolver los paréntesis anidados de adentro hacia afuera. Veamos la secuencia de cálculo.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}

2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}

2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}

2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}

2 × {1 + [15]} = 2 × {16}

2 × {16} = 32

Los paréntesis, corchetes y llaves también se suelen denominar corchetes redondos, cuadrados y rizados respectivamente. En algunas expresiones sólo se utilizan paréntesis aun cuando haya varios espacios de cálculo anidados. Esto se hace particularmente cuando el anidamiento es mayor a tres niveles, en cuyo caso ya no habría símbolos que diferencien los niveles de anidamiento. Cuando sólo se utilicen paréntesis hay que tener especial cuidado en identificar el primer espacio entre paréntesis en el anidamiento, resolverlo y avanzar luego al siguiente nivel.

Fuente

Samuel Selzer, Álgebra y geometría analítica. Segunda edición. Buenos Aires, 1970.