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확률 및 통계의 덧셈 규칙은 두 개 이상의 서로 다른 사건의 알려진 확률을 결합하여 이러한 사건의 합집합에 의해 형성되는 새로운 사건의 확률을 결정할 수 있는 다양한 방법을 나타냅니다 .
통계와 확률에서 우리는 종종 특정 사건(예: 사건 A와 B)이 개별적으로 발생할 확률을 알고 있지만 동시에 발생하거나 둘 중 하나가 발생할 확률은 알지 못합니다. 이것은 추가 규칙이 유용한 곳입니다.
예를 들어 주사위 2개를 굴릴 때 6이 나올 확률을 P(rolling 6)라고 하고, 두 주사위가 모두 짝수에 나올 확률을 P(짝수)라고 합니다.
이것은 비교적 쉽습니다. 그러나 때때로 우리는 두 개의 주사위를 굴렸을 때 둘 다 짝수가 나오거나 합이 6이 될 확률을 결정하는 데 관심이 있습니다. 통계적 표기법과 군론에서 이 “또는”은 두 사건의 합집합을 나타내는 기호 U로 표시되며 이 경우 이 확률은 다음과 같이 표시됩니다.
이러한 유형의 확률은 추가 규칙을 통해 개별 확률 및 일부 추가 데이터에서 계산할 수 있습니다.
각 경우에 어떤 추가 규칙을 사용해야 하는지는 고려 중인 이벤트의 수와 이러한 이벤트가 상호 배타적인지 여부에 따라 달라집니다. 몇 가지 간단한 경우에 대한 추가 규칙은 아래에 설명되어 있습니다.
사례 1: 분리되거나 상호 배타적인 이벤트에 대한 추가 규칙
두 사건 중 하나의 발생이 다른 하나의 발생 가능성을 배제할 때 상호 배타적이라고 합니다. 즉 동시에 일어날 수 없는 사건들이다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 4가 나오는 결과는 다른 5개의 가능한 결과 중 하나가 나온 것을 제외합니다.
둘 이상의 사건(A, B, C…)이 상호 배타적이라고 생각하면 합집합 확률은 단순히 이러한 각 사건의 개별 확률의 합으로 구성됩니다. 즉, 이 경우 합집합 확률은 다음과 같이 지정됩니다.
이것은 Venn 다이어그램을 통해 가장 쉽게 이해할 수 있습니다. 여기서 샘플 공간은 직사각형 영역으로 표시됩니다. 한편, 각 이벤트의 확률은 이 더 큰 영역 내의 섹터로 표시됩니다. 벤다이어그램에서 상호 배타적인 이벤트는 서로 닿거나 겹치지 않는 별도의 영역으로 표시됩니다.
이러한 유형의 다이어그램에서 합집합 확률 계산은 확률을 고려 중인 모든 이벤트가 차지하는 전체 영역을 구하는 것으로 구성됩니다. 이전 이미지의 경우 이는 섹터 A, B 및 C의 전체 면적, 즉 다음 그림의 파란색 영역을 구하는 것을 의미합니다.
위의 두 이미지의 경우처럼 이벤트가 서로소인 경우 합체 확률은 단순히 세 영역의 합이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
예시 1: 주사위를 던질 때 짝수 결과를 얻을 확률 계산
주사위를 굴려 짝수가 나올 확률을 알고 싶다고 가정해 보겠습니다. 6면체 주사위에서 가능한 유일한 짝수는 2, 4, 6이므로 우리가 정말로 알고 싶은 것은 주사위가 2, 4, 6에 떨어질 확률입니다. 짝수에 빠졌습니다.
6개의 앞면이 나올 확률은 1/6입니다(공평한 주사위인 경우). 또한 조금 전에 본 것처럼 세 가지 결과는 상호 배타적인 사건입니다. 2번 굴리면 4번이나 6번 굴릴 수 없기 때문입니다. 이러한 조건에서 결합 확률은 다음과 같이 지정됩니다.
사례 2: 상호 배타적이지 않은 두 이벤트에 대한 추가 규칙
A와 B가 서로 결과를 공유하는 사건, 즉 동시에 발생할 수 있는 사건이라면 상호 배타적이지 않다고 합니다. 이 경우 Venn 다이어그램은 다음과 같습니다.
보시다시피 샘플 공간에는 두 이벤트가 동시에 발생하는 영역이 있습니다. 결합의 확률, 즉 P(AUB)를 결정하려면 앞의 그림에서 오른쪽 벤다이어그램에 표시된 영역을 찾아야 합니다.
이 경우 A와 B의 영역만 더하면 공통 영역을 두 번 계산하므로 원하는 것보다 더 큰 영역(읽기, 확률)을 얻게 된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 이 초과 오류를 수정하려면 교차 확률에 해당하는 이벤트 A와 B가 공유하는 영역을 빼기만 하면 됩니다.
결합 확률에 대한 이 표현은 이전 사례에도 적용되는데, 상호 배타적이기 때문에 이들이 동시에 발생할 확률(교차 확률)이 0이기 때문입니다.
예시 2: 주사위를 던질 때 짝수 결과를 얻거나 4보다 작은 숫자를 얻을 확률 계산
이 경우 두 사건 모두 짝수이고 4보다 작은 결과 2를 공유하므로 합집합 확률은 다음과 같습니다.
사례 3: 상호 배타적이지 않은 세 가지 이벤트에 대한 추가 규칙
약간 더 복잡한 또 다른 경우는 다음 벤 다이어그램에 표시된 것과 같이 상호 배타적이지 않은 3개의 이벤트가 발생하는 경우입니다.
이 경우 세 영역의 합은 A와 B 사이, B와 C 사이, C와 D 사이의 교차 영역을 두 배로 계산하고 세 이벤트 A, B, C의 교차 영역을 세 번 계산합니다. 이전과 마찬가지로 세 영역의 합에서 각 쌍의 이벤트 사이의 교차 영역을 빼면 중심 영역의 세 배를 빼므로 세 이벤트의 교차 확률로 더해야합니다. 마지막으로, 배타적이지 않은 세 가지 사건에 대한 일반적인 추가 규칙은 다음과 같습니다.
이전과 마찬가지로 이 표현식은 세 이벤트 집합에 대해 일반적입니다. 이 경우에는 교차가 비어 있고 결과는 첫 번째 경우와 동일한 표현식이 되기 때문입니다.
예 3: 20면체 주사위에서 짝수, 10보다 작은 숫자 또는 소수가 나올 확률 계산
이 경우 결과를 공유하는 세 가지 이벤트가 있고 공유되지 않는 결과도 포함하므로 결합 확률은 앞서 언급한 식으로 제공됩니다.
개별 사건의 확률은 다음과 같습니다.
이제 교차 확률은 다음과 같습니다.
이제 통합 확률에 대한 방정식을 적용합니다.
참조
- 멋진. (일차). 확률 – 합계의 규칙 | 뛰어난 수학 및 과학 위키 . https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/ 에서 가져옴
- 루멘. (일차). 확률 규칙 | 무한한 통계 . https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen 에서 가져왔습니다 .
- 메이트모바일. (2021년 1월 1일). 확률의 합계 또는 추가 규칙 | 마더모빌 . https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/ 에서 가져옴
- 웹스터, A. (2001). 비즈니스 및 경제에 적용되는 통계(스페인어판) . 캐나다 토론토: Irwin Professional Publishing.
