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통계 및 확률에서 보완 규칙은 모든 사건 A가 발생할 확률이 항상 단위에서 A에 반대되는 또는 보완적인 사건이 발생할 확률을 뺀 값과 같다고 설정합니다 . 즉, 사건과 그 여집합의 확률이 다음과 같은 식으로 관련되어 있음을 나타내는 규칙입니다.
이 규칙은 확률의 기본 속성 중 하나이며, 여집합의 확률을 알면 모든 사건의 확률을 항상 계산할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지임을 알려줍니다. 이벤트의 확률을 계산해야 하는 많은 실제 상황에서 이벤트의 보수 확률을 직접 계산하는 것이 훨씬 쉽기 때문에 이것은 특히 중요합니다. 그런 다음 이것이 계산되면 보수 규칙을 사용하여 처음에 원했던 확률을 결정합니다.
이 규칙을 적용하는 몇 가지 간단한 예는 다음과 같습니다.
- 레알 마드리드가 챔피언스 리그 축구 경기에서 승리할 확률이 34/57 또는 0.5965인 경우 챔피언스 리그 경기에서 승리하지 못할 확률은 1-34/57 = 23/57 또는 0.4035입니다.
- 일반적인 6면체 주사위가 6보다 작은 짝수가 나올 확률은 1/3이므로 주사위가 6보다 작은 짝수가 나오지 않을 확률은 2/3입니다.
보완 규칙 증명
보완 규칙은 여러 가지 다른 방법으로 설명할 수 있으며, 어떤 방법을 사용하든 독자가 더 쉽게 기억할 수 있습니다. 이 데모를 수행하려면 이벤트란 무엇이며 이벤트를 보완하는 요소와 같은 몇 가지 기본 용어를 정의하는 것부터 시작해야 합니다. 또한 확률이 기반으로 하는 몇 가지 주요 공리를 설명해야 합니다.
실험, 결과, 샘플 공간 및 이벤트
통계 및 확률에서 우리는 동전 던지기, 주사위 굴리기, 무작위로 섞인 덱에서 카드 또는 덱 선택 등과 같은 실험 수행에 대해 이야기합니다. 우리는 실험을 할 때마다 스페인어 카드 덱에서 클럽 2개를 선택하는 것과 같은 결과를 얻습니다 .
실험이 제공할 수 있는 가능한 모든 다른 결과의 총 집합을 표본 공간 이라고 하며 일반적으로 문자 S로 표시됩니다.
반면에 실험의 특정 결과 또는 일련의 결과를 이벤트 라고 합니다 . 이벤트는 개별 결과일 수 있으며 이 경우 단순 이벤트라고 합니다. 또는 둘 이상의 요소 또는 결과로 구성된 복합 이벤트일 수 있습니다.
이벤트 플러그인이란?
이벤트의 보완 은 이벤트 자체의 결과를 포함하지 않는 샘플 공간의 다른 모든 가능한 결과 집합에 지나지 않습니다 . 주사위를 굴리는 예의 경우, 예를 들어 주사위가 5에 도달하는 이벤트의 보완은 주사위가 1, 2, 3, 4 또는 6에 도달하는 또 다른 이벤트입니다. 5번에 빠지지 않고 똑같습니다.
플러그인은 종종 다른 방식으로 표현됩니다. 가장 일반적인 두 가지 형식은 다음과 같습니다.
- 이벤트 이름 위에 슬래시를 배치합니다(예: A̅는 이벤트 A의 보완을 나타냄).
- C를 위 첨자(A C )로 배치합니다.
두 경우 모두 “A-complement”, “A의 보완” 또는 “Not A”로 표시됩니다.
플러그인 개념과 플러그인 규칙 자체를 이해하는 쉬운 방법은 Venn 다이어그램을 사용하는 것입니다 . 다음 그림은 모든 실험과 A라고 부르는 단일 이벤트의 간단한 다이어그램을 보여줍니다.
이와 같은 벤 다이어그램에서 전체 사각형은 실험의 샘플 공간을 나타내고 사각형의 전체 영역(이 경우 회색 및 파란색 영역 모두)은 샘플 공간의 확률을 나타냅니다. 정의 는 1과 같습니다. 실험을 수행하면 가능한 모든 결과가 포함되어 있으므로 샘플 공간에 포함된 일부 결과가 얻어질 것이 절대적으로 확실하기 때문입니다.
파란색 원은 이벤트 A의 모든 가능한 결과가 있을 것으로 예상되는 쇼 공간 영역을 둘러쌉니다. 예를 들어 이벤트 A가 짝수를 롤링하는 경우 이 파란색 영역에는 결과 2, 4 및 6이 포함되어야 합니다. 반면에 이벤트 A 외부에 있는 모든 영역(즉, 회색 영역)은 다른 결과(1, 3 및 5)를 포함하므로 A의 보수입니다.
보수 규칙 및 벤 다이어그램
벤 다이어그램을 사용하여 보완 규칙을 이해하는 핵심은 이러한 다이어그램 내의 이벤트 영역이 확률에 비례한다는 것입니다. 사각형의 총 면적은 확률 1에 해당합니다. 분명히 알 수 있듯이 이벤트 A(파란색 원)와 그 여집합인 A̅(회색 영역)가 함께 전체 사각형을 형성합니다.
이러한 이유로 각각의 확률을 나타내는 영역의 합은 샘플 공간 S의 영역인 1과 같아야 합니다. 이를 다시 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
이것은 보완 규칙입니다.
확률 공리의 보완 규칙
모든 사건과 그 보완은 한 쌍의 분리된 또는 상호 배타적인 사건을 형성합니다. 하나가 발생하면 다른 하나가 발생하는 것은 정의상 불가능하기 때문입니다. 이러한 조건에서 이 두 사건의 결합 확률은 단순히 개별 확률의 합으로 제공됩니다. 즉 말하자면:
또한 앞에서 말했듯이 사건 A와 그 여집합인 A C 의 합집합 은 다음과 같은 표본 공간을 만듭니다.
P(AUC C )를 위의 방정식에 대입한 다음 정의에 따라 1인 S의 확률을 대입하면 다음을 얻습니다.
마지막 두 멤버를 재정렬하면 보수 규칙을 얻습니다.
플러그인 규칙 적용 문제의 예
다음은 플러그인 규칙의 사용이 특히 유용한 일반적인 문제의 예입니다.
성명
직렬로 연결된 5개의 동일한 칩으로 구성된 회로가 있다고 가정합니다. 칩이 제조된 첫해에 고장날 확률은 0.0002입니다. 5개의 칩 중 하나라도 실패하면 전체 시스템이 실패합니다. 시스템이 첫 해에 실패할 확률을 찾고자 합니다.
해결책
구성 요소 또는 시스템 칩이 실패한 결과를 F(실패)라고 하고 구성 요소가 실패하지 않거나 작동하는 결과를 E(성공)라고 합니다. 그런 다음 진술에서 제공하는 데이터는 다음과 같습니다.
전체 시스템의 고장 여부를 확인하는 실험은 실제로 구성 요소 중 하나의 고장 여부를 확인하는 5개의 동시 실험을 수행하는 것과 같습니다. 따라서 이 실험의 표본 공간은 5개 구성 요소 각각에 대한 성공 또는 실패 결과의 모든 조합으로 구성됩니다. 직렬로 연결되어 있으므로 순서가 중요하다는 것을 알고 있습니다. 따라서 샘플 공간은 다음과 같이 구성됩니다.
이 표본 공간 에는 Es와 Fs의 모든 가능한 조합에 해당하는 2 5 =32개의 가능한 결과가 포함되어 있습니다. 우리는 시스템이 실패할 확률을 계산하기를 원하기 때문에 이벤트 A라고 부르는 우리가 관심을 갖는 이벤트는 구성 요소 중 적어도 하나가 실패하는 모든 결과에 의해 제공됩니다. 즉, 다음과 같은 결과 집합으로 제공됩니다.
사실, 5개 구성 요소 중 적어도 하나가 실패하는 가능한 결과는 2 5 -1=31개입니다. A의 확률(즉, P(A))을 계산하려면 이러한 각 결과의 확률을 계산해야 합니다. 상당한 작업이 될 것입니다.
그러나 이제 A의 보완적 사건, 즉 시스템이 작동하는 사건(우리는 A C 라고 부름 ) 을 고려해 봅시다 . 보시다시피 전체 시스템이 작동하는 유일한 방법은 회로의 다섯 가지 구성 요소가 모두 작동하는 것입니다.
이 확률을 계산하는 것은 이전 확률을 계산하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 그런 다음 이 확률이 주어지면 보수 규칙을 사용하여 A의 확률을 계산합니다. 각 칩의 결과는 서로 독립적인 이벤트이므로 A C 의 확률은 단순히 각 칩이 작동할 확률의 곱입니다. :
그러나 E의 확률은 얼마입니까? 각 칩은 작동하거나 작동하지 않으므로 E는 F의 보수입니다. 따라서 F의 확률이 있는 경우(연습에서 제공됨) 보수 규칙을 사용하여 E의 확률을 계산할 수 있습니다.
이제 전체 시스템이 작동할 확률을 계산할 수 있습니다.
그리고 다시 보수 규칙을 적용하여 시스템이 실패할 확률을 계산합니다.
답변
시스템이 첫해에 실패할 확률은 0.010 또는 1.0%입니다.
참조
Devore, JL (1998). 공학과 과학을 위한 확률과 통계 . International Thomson Publishers, SA
보완 규칙 . (일차). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html
확률의 보완 규칙 . (2021년 1월 1일). 메이트모바일. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/
