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통계에서 계산의 순간은 확률 분포의 평균, 분산 또는 왜도와 같은 매개변수를 결정하는 것과 관련이 있습니다. 모멘트라는 용어는 질량이 다른 일련의 몸체의 무게 중심 계산에서 물리학에서 파생됩니다.
순간의 정의
n개의 불연속 데이터 x 1 , x 2 , x 3 , … xn 세트 가 있는 경우 순서 s 의 순간은 다음과 같이 정의됩니다.
( x 1s + x 2s + x 3s + … + xns ) / n _ _
계산이 수행되는 순서가 중요합니다. 먼저 거듭제곱 s 로 상승을 수행 한 다음 더하기를 수행하고 마지막으로 n 으로 나누기를 수행해야 합니다 .
이 정의를 적용하면 s = 1 인 1차 모멘트가 있고 이전 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
( x 1 + x 2 + x 3 + … + xn )/ n
이것은 값 집합의 평균에 대한 공식의 표현입니다.
우리가 분석하고 있는 집합이 4개의 숫자 1, 3, 6, 10으로 구성되어 있는 경우 이 집합의 1차 모멘트는 다음과 같습니다.
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
이 예에서 1차 모멘트는 연구 중인 값 집합의 평균임을 알 수 있습니다.
2차 모멘트는 s = 2에 해당하며 정의는 다음과 같습니다.
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +… + xn 2 ) / n
이전 예제에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36.5
마찬가지로 3차 모멘트는 s = 3에 해당하며 공식은 다음과 같은 형식입니다.
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +… + xn 3 ) / n
그리고 우리가 고려하는 예의 계산에는 다음과 같은 표현이 있습니다.
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
값 집합의 평균 순간
모멘트 개념의 또 다른 적용은 일련의 값의 평균을 계산하는 것입니다. 즉, 평균에 대한 집합의 각 값의 차이에서 얻은 값입니다. 이를 위해서는 먼저 세트의 평균값을 계산한 다음 모멘트를 계산할 변수를 세트의 평균과 각 값의 차이로 정의하고 마지막으로 이 새 변수에 이전 공식을 적용해야 합니다.
그런 다음 m이 값 집합 의 평균 인 경우 x 1 , x 2 , x 3 , …
m s = [ ( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( xn – m ) s ]/ n
이 계산에 따르면 평균의 1차 모멘트는 0입니다. 이 결과가 어떻게 얻어지는지 살펴보겠습니다.
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 + …+ xn – n . 엠 )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ xn ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
평균의 2차 모멘트는 다음과 같은 식을 갖습니다.
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( xn – m ) 2 ] / n
이것은 값 집합의 분산에 대한 공식입니다.
앞의 예에 이 공식을 적용하면 이미 계산한 평균이 5이므로 공식은 다음과 같습니다.
m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11.5
따라서 우리는 값 집합의 1차 모멘트가 평균이고 평균에 대한 2차 모멘트가 해당 집합의 분산임을 알 수 있습니다. 평균의 3차 모멘트는 값 집합의 왜도 계산을 위해 Karl Pearson에 의해 사용되었으며 평균의 4차 모멘트는 통계적 첨도 계산에 사용되었습니다.
출처
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, 통계 이론 소개 . 제3판, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, 고급 통계 방법 이해 . 보카 라톤, 플로리다: CRC Press, 2013.
