수학에서 평균이란?

수학에서 평균이라고도 하는 평균은 일련의 숫자 또는 데이터 값을 하나로 요약한 숫자입니다 . 그것은 어떤 방식으로 데이터 모음의 중심에 있는 값을 나타내기 때문에 중심 경향의 척도로 알려져 있습니다.

평균은 무엇입니까?

평균은 각 개별 값의 세부 사항에서 길을 잃지 않고 많은 데이터의 동작을 광범위하게 볼 수 있기 때문에 매우 유용합니다. 비유하자면 평균을 계산하면 나무에 집중하는 대신 숲 전체를 볼 수 있습니다.

예를 들어, 교육 기관의 같은 학년 학생 100명의 키 값이 있는 테이블을 가질 수 있습니다. 대부분의 사람들은 정확히 같은 키가 아니므로 테이블의 대부분의 값이 다를 것입니다.

누군가 그 캠퍼스에서 그 학년 학생들의 키가 얼마나 되는지 묻는다면 어떻게 될까요? 그들 중 하나의 높이를 답변으로 제공하는 것은 올바르지 않습니다. 여기에서 평균이 도움이 되기 시작합니다. 100개의 서로 다른 키를 보고하는 대신 평균을 통해 모든 정보를 단일 숫자로 요약할 수 있습니다. 그렇다면 우리는 캠퍼스에 있는 학생들의 평균 키가 1.67m라고 말할 수 있습니다(그 경우라면).

이것은 모든 학생들이 1.67을 측정하지 않는다는 것을 의미하지 않으며, 그들 중 누구라도 이 키를 가지고 있지 않다는 것을 의미하지 않습니다. 해당 캠퍼스에서 해당 학년 학생의 키를 가장 잘 나타내는 숫자는 1.67m입니다.

평균 계산으로 인한 정보 손실

분명히 데이터를 평균으로 요약하면 많은 정보가 누락됩니다. 명확성을 위해 정보가 희생되었습니다. 평균 계산은 기술 통계라고 알려진 것의 일부이며, 이는 대규모 데이터 컬렉션의 동작 또는 특성을 소수의 숫자로 설명할 수 있는 일련의 기술 및 계산에 지나지 않습니다.

평균 자체는 일반적으로 우리가 제공하는 많은 응용 프로그램에 대한 충분한 정보를 제공하지 않습니다. 누락된 정보 중 일부를 복구하기 위해 분산 또는 표준 편차와 같은 평균 주변의 개별 데이터 분산 측정과 함께 평균이 보고되는 경우가 많습니다.

평균의 종류와 공식

데이터 모음에서 평균을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 이것은 다른 유형의 평균 또는 오히려 평균을 발생시킵니다.

• 산술 평균(X̅ 또는 AM)
• 가중 산술 평균(WAM)
• 기하 평균(GM)
• 고조파 평균(HM)
• 평균 제곱근(RMS)

산술 평균(X̅ 또는 AM)

산술 평균 또는 AM은 일상 생활에서 가장 일반적으로 사용되는 평균 형태입니다. 평균화할 요소의 단순 합계를 요소 또는 데이터의 총 수로 나눈 값입니다.

산술 평균은 많은 수학적 맥락에서 그 위에 있는 막대로 평균화되는 변수를 나타내는 기호로 표시됩니다. 예를 들어, 변수 X의 산술 평균은 X̅(X-bar)로 표시됩니다. 때로는 AM _X 로 표시되기도 합니다 . 공식은 다음과 같습니다.

이 방정식에서 X _i는 i번째 개별 데이터 항목을 나타내고 n 은 평균화되는 데이터 항목의 총 수입니다.

이 평균은 모든 개별 데이터의 평균에 대한 편차의 합이 항상 0이 되는 방식으로 모든 데이터의 중심에 있다는 특징이 있습니다.

산술 평균은 이상값이나 극단적인 데이터에 매우 민감합니다. 즉, 데이터 세트에 다른 데이터의 대다수보다 훨씬 크거나 훨씬 작은 값이 있는 경우 이러한 극단적인 데이터는 다른 데이터의 대다수에서 멀리 떨어진 평균을 해당 값으로 가져옵니다.

가중 산술 평균(WAM 또는 W)

산술 평균은 평균화되는 모든 데이터에 동일한 중요도 또는 가중치를 부여합니다. 그러나 일부 데이터가 다른 데이터보다 더 중요할 수 있으므로 이것이 항상 편리한 것은 아닙니다. 이 경우 가중 산술 평균 또는 가중 평균이 사용되며 일반적으로 기호 W(영어 ” 가중 평균” 에서 유래 )로 표시됩니다.

가중 평균에서 각 데이터 항목의 상대적 중요도는 각 데이터 항목( X _i )에 대한 특정 가중치 계수( wi ₎ 의 형태로 계산에 입력됩니다 . 데이터의 중요성이 클수록 가중치가 커지므로 최종 평균에 미치는 영향이 커집니다. 가중 평균을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

가중 계수는 임의로 선택할 수 있으며 경우에 따라 필요에 따라 적절한 가중 함수를 사용하여 계산할 수도 있습니다.

단순평균보다 가중평균이 더 적합한 경우의 예로 학생의 학점평균을 계산하는 경우를 들 수 있다. 산술 평균이나 단순 평균은 다른 과목보다 훨씬 더 많은 노력과 헌신이 필요한 과목이 있고 학생의 학업 미래를 위해 다른 과목보다 더 중요한 과목도 있기 때문에 이러한 경우에는 적합하지 않습니다. 이러한 이유로 그들은 덜 중요한 과목보다 GPA에 더 많은 기여를 해야 합니다.

이 경우, 일반적으로 과목의 학점 단위 수를 가중치로 사용합니다.

기하 평균(GM)

기하 평균을 계산할 때 데이터의 합계를 데이터 수로 나누는 대신 n 개의 개별 데이터를 곱하고 연접의 n제곱근을 취합니다.

이 평균은 평균화되는 데이터 중 하나라도 0인 경우 0이 되는 속성을 갖습니다. 또한 데이터 항목의 수가 짝수이면 음수 데이터에 대해 기하 평균이 정의되지 않으므로 그 유용성은 엄격하게 양수로 제한됩니다.

이 유형의 평균은 백분율 평균을 계산할 때 자주 사용됩니다.

고조파 평균(HM)

조화 평균 또는 HM은 곱 또는 몫으로 계산되는 수량을 평균화하는 데 자주 사용되는 평균 유형입니다. 몇 가지 중요한 예는 동일한 길이의 여행에 대한 평균 속도 계산, 주식 시장 투자의 가격/수익 비율(PER) 등입니다.

조화 평균을 계산하는 공식은 개별 데이터의 역수 중 산술 평균의 역수로 구성됩니다. 즉, 다음 방정식으로 제공됩니다.

평균 제곱근(RMS)

평균 제곱근이라고도 하는 RMS는 양수 값과 음수 값이 모두 있는 데이터에 적합한 평균 유형을 나타냅니다. 개별 데이터의 제곱의 산술 평균의 제곱근에 해당하기 때문입니다. 각 데이터 조각을 제곱하면 얻은 결과가 항상 양수이므로 평균 계산에 대한 이 부호의 영향이 제거됩니다.

RMS는 다음과 같이 제공됩니다.

RMS의 가장 일반적인 적용은 정현파로 AC 전류의 유효 전압을 계산하는 것입니다. 이때 가장 중요한 것은 전압의 평균값이 아닌 파동의 진폭의 평균값으로 0V 부근에서 대칭성으로 인해 0이 된다.

중심 경향의 기타 척도: 중앙값 및 최빈값

이전에 본 다른 수단 외에도 통계에서 주로 사용되는 중심 경향에 대한 다른 척도가 있습니다. 중앙값과 최빈값입니다.

중앙값(X̃)

가장 작은 것에서 가장 큰 것 순으로 정렬된 정량적 데이터 세트에서 중앙값은 중앙 데이터 또는 데이터 시리즈를 두 개의 절반으로 나누는 변수의 값 또는 데이터 수가 동일한 세트를 나타냅니다. 이러한 방식으로 관심 변수의 기호 위에 물결표 또는 물결표를 배치하여 표시되는 중앙값의 결정(예: ṽ은 일련의 속도 데이터의 중앙값을 나타낼 수 있음)의 총 수에 따라 달라집니다. 데이터를 사용할 수 있습니다.

중앙값은 반드시 계산되는 것이 아니라 데이터 세트에서 식별됩니다. 중앙값을 식별하기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 모든 데이터를 작은 것부터 큰 것까지 정렬한 다음 1부터 순서대로 번호를 매기는 것입니다. 다음 단계는 존재하는 총 데이터 수(n)가 짝수인지 홀수인지에 따라 달라집니다.

홀수 데이터 수: 시리즈에 홀수 데이터가 포함된 경우 중앙값은 숫자 (n+1)/2로 식별되는 데이터가 됩니다. 예를 들어 총 15개의 데이터 포인트가 있는 경우 중앙값은 데이터 포인트 (15+1)2=8이 됩니다. 중앙값 아래에 7개의 데이터 포인트가 있고 위에 7개의 데이터 포인트가 있기 때문입니다.

짝수 데이터의 수: 이 경우 시리즈를 2등분하는 중앙 데이터가 없으므로 중앙값은 두 중앙 데이터, 즉 데이터 번호 n/2와 데이터의 산술 평균으로 계산됩니다. (n/2) +1. 예를 들어 데이터 계열에 24개의 데이터 항목이 포함된 경우 중앙값은 데이터 항목 2/2=12와 데이터 항목 (2/24)+1=13 사이의 단순 평균입니다.

중앙값은 평균보다 극단값에 덜 민감하다는 이점을 제공합니다. 그러나 데이터가 왜곡되어 있으면 중심 경향을 잘 측정하지 못합니다.

모드(Mo _X )

최빈값은 단순히 데이터 세트에서 가장 자주 발생하는 값 또는 범주입니다. 계열의 “가장 뜨거운” 값과 같은 것으로 데이터를 히스토그램 형태로 나타낼 때 가장 높은 피크를 나타냅니다.

다른 평균 계산의 예

수도에 있는 한 학교의 수학 섹션에 있는 학생 30명의 키에 해당하는 다음과 같은 일련의 데이터가 있다고 가정합니다. 모든 높이는 미터 단위입니다.

이러한 데이터로부터 a) 산술 평균을 결정합니다. b) 기하 평균; c) 조화 평균; d) RMS 및 e) 중앙값.

해결책

중앙값을 결정해야 하고 이를 위해 데이터를 정렬하고 식별해야 하므로 일반적으로 다른 계산을 용이하게 하기 때문에 중앙값에서 시작합니다.

이제 이 표를 사용하여 계산하도록 요청받은 평균을 계산합니다. 두 경우 모두 위에 표시된 방정식을 적용하기만 하면 됩니다.

산술 평균

기하 평균

조화 평균

RMS

중앙값

짝수 데이터이므로 중앙값은 데이터 30/2=15 및 (30/2)+1=16의 산술 평균, 즉 1.58과 1.59 사이의 평균이 됩니다.

참조

Conthe, M. (2017년 7월 21일). 산술 평균 또는 기하 평균? 확장. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

수학을 즐기세요. (2011). 정의: 평균 . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020년 9월 9일). 수학의 평균은 얼마입니까? 집에서 배우기 II . 할리스코 연합. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

로페즈, JF (2021년 2월 2일). 기하 평균 . 이코노미피디아. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

수학, M. (2020년 6월 25일). 평균; 산수; 기하학적 및 고조파; 속성; 응용 프로그램 . 수학. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J., & Merino, M. (2011). 평균의 정의 . 의 정의. https://definicion.de/average/

열린대학. (2020). 기초 과학: 숫자 이해 . OpenLearn. https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview 에서 이용 가능합니다 .