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숫자는 서로 다른 속성을 가지며 다양한 그룹으로 분류될 수 있습니다. 수학의 다양한 분야에 광범위하게 적용되는 이러한 그룹 중 하나는 실수입니다. 더 잘 이해하기 위해 먼저 다양한 유형의 숫자가 무엇인지 살펴보겠습니다.
숫자들
우리가 숫자 에 대해 배우는 첫 번째 것은 숫자를 세는 데 사용하는 방법입니다. 간단한 작업을 수행하기 위해 손가락으로 일치시키는 것으로 시작합니다. 따라서 우리의 열 손가락은 십진법의 기초입니다. 거기에서 우리는 가능한 한 많은 양을 세고 그 수가 무한하다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 셀 수 없을 때 영(0)을 더하면 자연수가 만들어진다.
자연수로 우리는 산술 연산을 하고 숫자에서 다른 숫자를 뺄 때 음수를 도입해야 합니다. 따라서 자연수에 음수를 더하면 정수 집합을 얻습니다.
우리가 숫자로 수행하는 산술 연산 중에는 나눗셈이 있습니다. 그리고 우리는 한 숫자를 다른 숫자로 나눌 때 결과가 정수가 아닌 경우가 있음을 발견했습니다. 많은 경우에 이 나눗셈 결과는 나눗셈식 자체, 즉 분수로만 정확하게 표현할 수 있습니다. 이것은 모든 숫자가 분수로 쓰여지고 정수가 분모로 숫자 1을 갖는 유리수 집합이 구성되는 방식입니다.
분수로 나타낼 수 없는 숫자가 있다는 것을 관찰한 것은 고대 문명이었습니다. 기하학적 도형으로 작업할 때 그들은 원의 반지름과 길이 사이의 관계인 파이라는 숫자를 발견했습니다. 이 숫자는 두 정수 사이의 몫으로 표현할 수 없습니다. 숫자 2의 제곱근의 경우도 마찬가지입니다(즉, 자신을 곱한 숫자는 결과적으로 숫자 2가 됩니다). 그리고 유리수 집합의 일부가 아닌 다양한 지식 분야에서 나타나는 많은 숫자가 있습니다. 두 정수의 몫으로 정확하게 나타낼 수 없는 이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 유리수와 무리수 집합은 실수 집합을 구성합니다.
실수는 더 큰 숫자 집합인 복소수에 속합니다. 실수 집합의 확장은 음수의 제곱근을 계산할 때 발생합니다. 두 음수의 곱은 항상 양수이므로 자신을 곱한 수가 음수인 실수는 없습니다. 그런 다음 -1의 제곱근을 나타내는 허수 i 가 정의되고 복소수 집합이 발생합니다.
십진수 표현
모든 숫자는 십진법으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 유리수 1/2은 십진법으로 0.5로 표현될 수 있습니다. 소수점 이하 한 자리로 정확하게 표현할 수 있는 유리수 1/2와 달리 다른 유리수는 소수점 이하 자릿수가 무한대 이며소수점 표현으로 정확하게 표현할 수 있습니다. 이것은 숫자 1/3의 경우입니다. 소수점 표현은 0.33333…이며 소수점 이하 자릿수는 무한합니다. 모든 경우에 무한히 여러 번 반복되는 일련의 숫자가 있기 때문에 이러한 유리수를 주기 십진수라고 합니다. 숫자 1/3의 경우 시퀀스는 3입니다. 숫자 1/7의 경우 십진수 형태는 0.1428571428571…이고 무한히 반복되는 수열은 142857입니다. 무리수는 주기 십진수가 아닙니다. 십진수 표현에서 무한히 여러 번 반복되는 시퀀스는 없습니다.
시각적 표현
실수는 그림과 같이 직선을 따라 무한히 많은 점 중 하나에 각 실수를 연결하여 시각화할 수 있습니다. 이 그래픽 표현에는 값이 약 3.1416인 숫자 pi, 약 2.7183인 숫자 e 및 숫자 2의 제곱근인 약 1.4142가 있습니다. 숫자 0에서 오른쪽으로 양의 실수는 증가하는 형태로 위치하고 왼쪽에는 음의 실수가 그 방향으로 절대값을 증가시킵니다.
실수의 일부 속성
실수는 우리에게 더 친숙한 정수나 유리수처럼 동작합니다. 같은 방식으로 더하고, 빼고, 곱하고, 나눌 수 있습니다. 유일한 예외는 숫자 0으로 나누는 것인데, 이 연산은 불가능합니다. 덧셈과 곱셈의 순서는 중요하지 않습니다. 교환 속성이 여전히 유지되고 분배 속성이 같은 방식으로 적용되기 때문입니다. 같은 방식으로 두 개의 실수 x 와 y는 고유한 방식으로 정렬되며 다음 관계 중 하나만 정확합니다.
x = y , x < y 또는 x > y
실수는 정수와 유리수처럼 무한합니다. 원칙적으로 이것은 정수와 유리수 모두 실수의 부분집합이기 때문에 명백합니다. 그러나 차이점이 있습니다. 정수와 유리수의 경우 셀 수 있는 무한수라고 합니다. 대신, 실수는 무수히 많습니다.
각 구성 요소가 자연수와 연결될 수 있을 때 집합을 셀 수 있거나 셀 수 있다고 합니다. 정수의 경우 연관성이 분명합니다. 유리수의 경우 자연수 쌍, 분자 및 분모와의 연관성으로 볼 수 있습니다. 그러나 실수의 경우에는 이 연결이 불가능합니다.
출처
- 아리아스 카베자스, 호세 마리아, 마자 사에즈, 일데폰소 산술 및 대수 . Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. 수학 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
- 카를로스 이보라. 논리 및 집합 이론 . 2011.
