가장 흔한 셀 수 없는 집합

일련의 숫자는 모든 요소에 고유한 자연수를 할당할 수 없을 때 셀 수 없습니다 . 즉, 셀 수 없는 집합은 자연수와 일대일 대응이 없는 집합입니다.

우리는 일반적으로 자연수를 직관적으로 사용하여 계산하며, 계산하려는 그룹의 각 요소에 순차적으로 자연수를 할당하여 계산합니다. 예를 들어 손에 있는 손가락의 수를 세는 경우 각 손가락에 1부터 시작하여 5로 끝나는 고유한 자연수를 할당합니다. 그런 다음 가장 높은 값이기 때문에 손에 5개의 손가락이 있음을 알 수 있습니다. 우리는 손가락에 할당합니다. 즉, 우리는 손가락을 센다.

이 아이디어는 일부 숫자 집합에는 적용할 수 없습니다. 경우에 따라 집합이 너무 커서 무한 자연수를 사용하더라도 집합의 모든 요소에 번호를 매기기에 충분하지 않습니다. 자연수의 집합이 무한하기 때문에 셀 수 없는 집합이 있다는 생각은 다른 것보다 더 큰 어떤 무한대가 있고 자연수 집합과 같은 ” 크기”의 무한대를 가진 집합 만이 있다는 생각을 암시합니다 셀 수 있습니다. 자연수입니다. 집합의 원소의 수를 기수(cardinal)라고 부르므로 불가산 집합은 기수가 자연수보다 큰 집합입니다.

셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합의 일부 속성

일부 집합은 셀 수 있고 일부는 셀 수 없는 이유를 이해하려면 집합의 일부 속성을 아는 것이 도움이 됩니다.

• A가 B의 부분집합이고 A가 셀 수 없는 경우 B도 셀 수 없습니다. 즉, 셀 수 없는 집합을 포함하는 모든 집합은 그 자체로 셀 수 없는 집합이어야 합니다.
• A가 셀 수 없고 B가 임의의 집합(가산 가능 여부)이면 합집합 AUB도 셀 수 없습니다.
• A가 셀 수 없고 B가 집합이면 데카르트 곱 A x B도 셀 수 없습니다.
• A가 무한이면(심지어 셀 수 있는 무한) A의 멱집합은 셀 수 없습니다.

가장 일반적인 셀 수 없는 집합의 예

실수 집합(R)

실수 집합은 셀 수 없는 집합의 첫 번째 예입니다. 그러나 그것들이 무한한 요소를 가지고 있고 할당할 무한한 자연수도 있다면 그것들이 셀 수 없다는 것을 어떻게 알 수 있습니까? Cantor의 대각선 인수 덕분에 가능합니다.

칸토어의 대각선

칸토어의 대각선 논증은 잘 정의된 두 극한 사이, 예를 들어 0과 1 사이에 있는 실수의 부분 집합이 셀 수 없는 집합이라는 것을 보여줍니다. 결과적으로 이미 언급한 셀 수 없는 집합의 속성에 의해 모든 실수의 완전한 집합도 셀 수 없는 집합이어야 합니다.

0과 1 사이의 무한 실수 목록을 생성한다고 가정합니다. 이 목록이 구성되는 방식은 전혀 관련이 없습니다. 중요한 것은 모든 숫자가 고유하다는 것입니다. 이제 각 숫자에 1부터 시작하여 순차적으로 작동하는 고유한 자연수를 할당할 것입니다. 이 목록의 예는 다음 표에 나와 있습니다.

이 시점에서 목록의 모든 숫자에 고유한 자연수를 할당합니다. 이 목록은 무한하고 각 실수는 자연수에 해당하므로 이 테이블의 모든 자연수를 “소비”합니다. Canto가 한 것은 이 목록에 없고 따라서 계산할 수 없는 추가 실수가 하나 이상 있음을 보여준 것입니다. 이 숫자는 표를 가로지르는 대각선의 모든 요소를 ​​취한 다음 1을 더하여 만들어집니다. 두 번째 숫자는 1 단위로 증가한 다음 세 번째 숫자의 세 번째 숫자 등입니다.

다음 표에서 대각선의 요소는 굵게 강조 표시되고 작업 결과 숫자는 마지막 행에 추가됩니다.

결과 숫자는 0.33198226…

알 수 있듯이 새 숫자의 첫 번째 숫자(3)가 목록의 첫 번째 숫자(2)의 첫 번째 숫자와 다르기 때문에 첫 번째 숫자와 다른 숫자가 됩니다. 다른 모든 숫자 숫자는 정확히 동일합니다. 두 번째 숫자(3)는 두 번째 숫자(2)의 두 번째 숫자와 다르기 때문에 두 번째 숫자와도 다를 것입니다.

이 동일한 인수는 대각선을 따라 진행하여 무한정 계속될 수 있으며, 결과 숫자가 테이블의 모든 무한 숫자와 적어도 한 자릿수만큼 다를 수 있습니다.

그러나 이 새 숫자를 만들기 전에 이미 “사용”하거나 모든 자연수를 할당했기 때문에 할당할 고유한 자연수가 남아 있지 않으므로 0과 1 사이의 실수 집합이 따라서 모든 실수의 확장은 셀 수 없는 집합입니다.

초월수 집합

초월수는 실수 집합에 속하지만 대수는 아닙니다. 이는 다음 형식의 다항식 방정식의 근이 아님을 의미합니다.

여기서 모든 계수는 정수입니다. A를 모든 대수 실수의 집합이라고 하고 T 를 나머지 실수, 즉 초월수라고 하자 . 총 실수 집합 R 이 집합 A 와 T 의 합집합이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다 .

대수 집합이 셀 수 있음을 보여줄 수 있습니다. 또한 우리는 실수가 셀 수 없다는 것을 이미 증명했습니다. R은 셀 수 없기 때문에 셀 수 있는 두 집합의 합집합으로 만들 수 없습니다. A 가 셀 수 있다는 것을 알면 T 는 셀 수 없다는 결론을 내립니다 .

이진수 시퀀스 집합

일련의 이진수는 길이에 관계없이 0과 1의 문자열입니다. 가능한 모든 이진수 시퀀스를 결합하면 이진수 시퀀스 집합을 얻습니다. 이것은 유일한 숫자가 0과 1인 실수의 부분 집합에 지나지 않습니다.

R이 셀 수 없음을 보여주는 동일한 Cantor 인수를 사용하여 이 숫자 집합이 셀 수 없음을 표시하는 것은 매우 쉽습니다. 주의할 점은 대각선에 있는 숫자에 1을 더하는 대신 단순히 값을 뒤집어서 0을 1로 바꾸고 그 반대도 한다는 것입니다.

이전과 마찬가지로 결과 이진 시퀀스는 원래 목록에 포함했을 수 있는 시퀀스의 무한한 집합과 다르므로 셀 수 없는 집합입니다.

밑이 다른 다른 숫자 시퀀스

이진수 시퀀스와 실수로부터의 인수는 임의의 밑수 시퀀스로 확장될 수 있습니다. 이런 의미에서 모든 16진수 시퀀스 집합은 셀 수 없습니다. 3진수, 4진수 등의 시퀀스 집합도 마찬가지입니다.

참조

셀 수 없는 집합의 일반적인 예 . (2020년 3월 16일). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets

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