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그리스 문자 σ(시그마) 또는 문자 S 로 표시되는 표준 편차 는 데이터 계열의 변동성을 측정합니다. 보다 정확하게는 모집단 평균에 대한 표본 또는 모집단 데이터의 평균 편차 측정을 나타내므로 데이터가 상기 중심 경향 값 주변에 얼마나 분산되어 있는지 나타냅니다.
높은 표준 편차는 평균적으로 데이터가 양방향에서 평균에서 멀리 떨어져 있음을 나타내고(데이터가 매우 분산되어 있음) 작은 표준 편차는 그 반대를 나타냅니다.
표준 편차는 항상 분산이라고 하는 다른 변동성 측정값의 제곱근으로 계산됩니다. 사용 가능한 데이터 유형(표본 또는 모집단)에 따라 분산을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있으며 이로 인해 표준 편차를 계산하는 방법은 여러 가지가 됩니다.
두 경우 모두 다음 섹션에서 설명하는 약간 다른 공식이 사용됩니다. 이하에서는 이들 각각을 단계별로 그리고 “손으로” 계산하는 방법을 설명한다. 또한 이 중요한 통계 변수를 계산하기 위해 Excel 또는 Google 스프레드시트와 같은 통계 기능 및 스프레드시트와 함께 계산기를 사용하는 방법을 설명합니다.
표준 편차에는 두 가지 유형이 있습니다.
통계에는 모집단의 모든 데이터를 사용할 수 있는지 아니면 샘플의 데이터만 사용할 수 있는지에 따라 데이터 계열에 대한 두 가지 종류의 설명 측정이 있습니다. 모집단을 설명하는 데 사용되는 측정값을 모집단 매개변수라고 하며 일반적으로 그리스 문자로 표시됩니다. 한편, 샘플을 설명하는 매개변수를 통계라고 하며 일반적으로 소문자로 표시됩니다.
이를 고려하여 두 가지 유형의 표준 편차가 있습니다.
- 모집단 표준 편차 는 그리스 문자 σ (소문자 시그마)로 표시되는 모집단 매개변수입니다.
- 표본 표준 편차 는 문자 S 로 표시되는 통계 매개변수입니다.
다음은 두 가지 유형의 표준 편차를 계산하는 공식입니다.
모집단 표준 편차 σ를 계산하는 공식
이 방정식에서 x i는 각 개별 데이터 항목의 값을 나타내고 μ는 모집단 평균이며 n 은 모집단의 총 데이터 항목 수입니다.
표본 표준 편차 S 를 계산하는 공식
이 방정식에서 xi 는 샘플의 각 개별 데이터 항목 값을 나타내고 ¯x는 샘플 평균이며 n 은 샘플의 총 데이터 항목 수입니다.
두 표준 편차가 계산되는 방식의 유일한 실제 차이점은 한 경우에는 n 으로 나누고 다른 경우에는 n – 1 로 나눈다는 것입니다 . 후자는 일반적으로 동일하지 않은 표본 평균과 모집단 평균의 차이를 수정하는 것입니다.
어떤 공식을 사용해야 합니까?
사용할 공식을 결정할 때 고려해야 할 유일한 사항은 표준 편차를 계산할 데이터가 모집단의 모든 데이터를 나타내는지 또는 샘플만 나타내는지 여부입니다. 이는 일반적으로 진술(통계 문제가 해결되는 경우) 또는 데이터를 얻은 방식에서 분명합니다.
팁: 모집단에 대한 모든 데이터를 거의 가지고 있지 않기 때문에 확실하지 않은 경우 이것이 샘플이라고 가정하는 것이 가장 안전합니다.
σ 또는 S에 대해 첫 번째(왼쪽에 있는 것) 또는 두 번째(오른쪽에 있는 것) 공식을 사용하는 경우 두 경우 모두 표시된 두 방정식은 동일한 결과를 제공합니다. 그러나 더 복잡해 보일 수 있지만 오른쪽의 수식을 사용하는 것이 더 실용적입니다. 그 이유는 매우 간단합니다. 왼쪽 공식보다 오른쪽 공식을 사용하여 표준 편차를 계산하는 데 필요한 단계가 더 적습니다.
“손으로” 표준 편차를 계산하는 방법
아래에서는 프로세스를 설명하는 예를 사용하여 표준 편차를 계산하기 위해 수행해야 하는 단계를 제시합니다.
문제
15대의 자동차 샘플이 주유소에서 연료 탱크를 채우는 데 걸리는 시간을 결정했습니다. 초 단위로 측정된 데이터는 다음과 같습니다.
| 71 | 65 | 48 | 76 | 80 |
| 64 | 42 | 55 | 80 | 66 |
| 53 | 49 | 70 | 67 | 42 |
표준 편차를 결정합니다.
솔루션: 이 경우 문은 데이터가 샘플에 해당함을 지정하므로 표준(샘플) 편차를 결정하는 데 사용할 방정식은 다음과 같습니다.
이 공식을 적용하려면 데이터의 합(∑X i ), 데이터의 제곱의 합(∑X i 2 ) 및 전체 데이터 수(n) 만 계산하면 됩니다 . 이는 다음 단계를 통해 쉽게 수행할 수 있습니다.
1단계: 데이터를 세로로 구성
데이터를 세로 목록으로 정렬하면 다음 단계가 더 쉬워지므로 표준 편차를 계산하는 것이 더 쉽습니다. 반드시 필요한 것은 아니지만 수식이 사용하는 데 필요한 총 데이터 항목 수(n)를 쉽게 제공하므로 각 데이터 항목을 숫자로 식별하는 데 도움이 됩니다. 데이터는 어떤 식으로든 정렬할 필요가 없습니다.
| # | 사이 _ | x 나는 2 |
| 1 | 71 | |
| 2 | 65 | |
| 삼 | 48 | |
| 4 | 76 | |
| 5 | 80 | |
| 6 | 64 | |
| 7 | 42 | |
| 8 | 55 | |
| 9 | 80 | |
| 10 | 66 | |
| 열하나 | 53 | |
| 12 | 49 | |
| 13 | 70 | |
| 14 | 67 | |
| 열 다섯 | 42 |
2단계: 각 데이터의 제곱 계산
다음 단계는 각 개별 데이터 항목을 제곱한 다음 그 옆에 있는 열에 결과를 쓰는 것입니다.
| # | 사이 _ | x 나는 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 삼 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764년 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| 열하나 | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| 열 다섯 | 42 | 1764년 |
3단계: 모든 원본 데이터 합계
X i 로 식별되는 열에 나타나는 모든 값을 추가하고 해당 열 끝에 결과를 기록합니다.
4단계: 데이터의 모든 제곱을 더하고 결과를 열 맨 아래에 씁니다.
X i 2 로 식별되는 열에 나타나는 모든 값을 추가하고 해당 열 끝에 결과를 기록합니다. 3단계와 4단계를 수행하면 테이블이 다음과 같이 표시됩니다.
| # | 사이 _ | x 나는 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 삼 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764년 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| 열하나 | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| 열 다섯 | 42 | 1764년 |
| 데이터 수(n) | 데이터 합계 ( ∑X i ) | 제곱합 ( ∑X i 2 ) |
| 열 다섯 | 928 | 59750 |
5단계: 표준 편차 공식 적용
마지막 단계는 단순히 각 수식에서 표 끝에 있는 값을 바꾸는 것입니다.
통계 계산기로 표준 편차를 계산하는 방법
대부분의 과학 및 금융 계산기에는 통계에 사용되는 모든 중심 경향 및 분산 측정값의 계산을 용이하게 하는 특수 기능이 있습니다. 계산기 모델에 관계없이 절차는 항상 동일합니다.
1단계 – 통계 모드로 들어가기
계산기에는 일반적으로 통계 기능을 위한 특수 모드가 있습니다. 일반적으로 STAT , SD ( 표준편차 ) 또는 이와 유사한 것 옆에 화면에 나타나는 숫자 다음에 MODE 버튼을 눌러 액세스합니다 .
2단계 – 메모리 정리
구형 계산기에서는 계산기 메모리에 데이터가 이미 저장되어 있는지 여부가 표시되지 않으므로 시작하기 전에 항상 메모리를 지우는 것이 좋습니다. 이렇게 하려면 CLR 또는 MCL 키를 누른 다음 MODE 옵션을 선택합니다 (통계 모드에 저장된 데이터만 삭제됨). 대부분의 경우 이 단계 후에 통계 모드로 다시 들어가야 합니다.
3단계: 모든 데이터 입력
모든 데이터는 중간에 DT , DATA 키 등을 누르면 하나씩 순차적으로 입력됩니다 .
4단계: 결과 얻기
마지막 단계는 단순히 계산기에 표준편차를 묻는 것입니다. 결과가 있는 위치는 계산기 모델과 브랜드에 따라 크게 다릅니다. 일부에서는 SHIFT 키를 누른 다음 위의 S-VAR 키를 눌러야 하지만 다른 경우에는 다릅니다. 계산기의 설명서를 참조하는 것이 좋습니다.
올바른 메뉴를 얻었으면 두 가지 표준 편차 중 필요한 것을 선택해야 합니다. 모집단 데이터인 경우 σ 또는 σ(n)이라고 표시된 옵션을 선택합니다. 샘플 데이터인 경우 σ(n-1) 또는 S라고 표시된 옵션을 선택합니다.
Microsoft® Excel™에서 표준 편차를 계산하는 방법
표준 편차를 계산하는 가장 쉬운 방법은 Excel 또는 Google Sheets와 같은 스프레드시트를 사용하는 것입니다. 이러한 프로그램에는 필요할 수 있는 다양한 통계 변수를 계산하기 위한 모든 프로토콜이 이미 있습니다. 이는 두 가지 간단한 단계로 수행됩니다.
1단계: 데이터 붙여넣기 또는 추가
이는 데이터를 개별 셀에 하나씩 직접 복사하는 것만큼 간단합니다(열, 행 또는 행렬의 형태로 무엇이든 상관 없음). 이 예의 경우:
2단계: 필요한 표준 편차 공식 작성
이는 사용 중인 스프레드시트와 설정된 언어에 따라 다릅니다. Microsoft® Excel™, 스페인어 버전의 경우 표준 편차 공식은 다음과 같습니다.
| 샘플 표준 편차(S): | =STDEV.M(데이터 1; 데이터 2;…;데이터 n) |
| 인구 표준 편차(σ): | =STDEV.P(데이터 1; 데이터 2;…;데이터 n) |
개별 데이터를 입력할 필요 없이 데이터가 이미 붙여넣어진 셀을 선택하기만 하면 됩니다. 이 예제에서 데이터는 셀 B1에서 셀 F3까지의 범위에 있으며 B2:F3으로 작성됩니다.
마지막으로 ENTER 키를 누르면 READY! 표준 편차가 얻어집니다.
참조
- Bhandari, P. (2021년 1월 21일). 표준 편차 이해 및 계산 . https://www.scribbr.com/statistics/standard-deviation/ 에서 가져옴
- Espinoza, CI, & Echecopar, AL(2020). 단계별 예제와 함께 MS Excel을 사용한 통계 응용 프로그램(스페인어판) (1st ed .). 페루 리마: Luis Felipe Arizmendi Echecopar 및 Duo Negocios SAC.
- 웹스터, A. (2001). 비즈니스 및 경제에 적용되는 통계(스페인어판) . 캐나다 토론토: Irwin Professional Publishing.
- DEVESTA (데베스타 기능) . 마이크로소프트 오피스 지원. https://support.microsoft.com/es-es/office/desvesta-funci%C3%B3n-desvesta-5ff38888-7ea5-48de-9a6d-11ed73b29e9d 에서 가져왔습니다 .
