포아송 분포의 분산 계산 방법

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

랜덤 변수의 분산 은 평균 주변의 분포를 측정한 것입니다 . 이것은 확률 분포의 평균 또는 진폭의 양쪽에서 해당 변수 값의 평균 분산을 나타내는 양임을 의미합니다. 이 매개변수는 확률 분포에 관계없이 임의 변수에 중요한 수량입니다.

한편, 아송 분포는 시간 간격 내에서 이산 사건이 발생하는 빈도를 모델링하는 이산 확률 분포 이지만 와이어 길이와 같은 다른 연속 변수와 관련하여 참조할 수도 있습니다. , 표면 등

푸아송 분포는 ATM 매표소에 줄을 서 있는 사람들의 수만큼 매일 모델링 프로세스를 허용할 뿐만 아니라 주어진 시간 간격에서 방사성 붕괴의 수만큼 복잡한 프로세스를 가능하게 하기 때문에 매우 중요합니다. 핵폐기물 샘플에서

푸아송 분포의 수학적 정의

확률 질량 함수 또는 PMF의 형식이 다음과 같은 경우 확률 변수 X는 푸아송 분포를 따릅니다.

푸아송 분포

공식에서 λ는 항상 분포의 양수 매개변수이고 x는 확률 변수가 취할 수 있는 다양한 값을 나타냅니다. 푸아송 프로세스에서 매개변수 λ는 일반적으로 단위 시간당, 단위 면적당 등의 속도 또는 주파수를 나타냅니다.

나중에 설명하겠지만 λ 는 푸아송 분포의 평균이자 분산입니다.

이제 이 분포 함수가 무엇이고 무엇을 위한 것인지 알았으므로 분산의 보다 공식적인 정의, 분산을 계산하는 일반적인 방법, 마지막으로 포아송 분포의 특정 경우에 분산이 계산되는 방법을 살펴보겠습니다.

차이는 무엇입니까?

수학적으로, 통계에서 Var(X) 로 표시되는 랜덤 변수 X의 분산은 평균에서 해당 변수의 편차 제곱의 예상 값에 해당하며 다음 공식으로 표시됩니다.

변화

위의 정의를 사용하여 임의의 임의 변수의 분산을 계산할 수 있지만 다음 과 같이 첫 번째 및 두 번째 일반 모멘트 또는 원점 주변의 모멘트(m 1 , m 2 ) 를 사용하여 더 쉽게 계산할 수도 있습니다 .

푸아송 분포의 분산

분산을 계산하는 이 방법은 첫 번째 방법보다 더 편리하므로 이 문서에서 푸아송 분포의 분산을 계산하는 데 사용할 것입니다.

포아송 분포의 분산 계산

평균 또는 최초 정상 모멘트 계산

이산 분포의 경우 X의 평균 또는 기대값은 첫 번째 모멘트를 정의하는 다음 식을 통해 결정될 수 있음을 기억하십시오.

푸아송 분포의 기대값

첫 항이 0이므로 x=1부터 이 합계를 구할 수 있습니다. 또한 이제 모든 것을 λ 로 곱하고 나누고 x !/x를 ( x-1)! , 우리는 다음을 얻습니다.

푸아송 분포의 분산

이 식은 변수 y = x – 1 을 변경하여 단순화할 수 있습니다 .

푸아송 분포의 분산

합계 내부의 함수는 다시 푸아송 확률 함수이며, 이는 정의에 따라 1과 같아야 하는 모든 확률 함수의 0에서 무한대까지의 모든 확률의 합계입니다.

우리는 이미 포아송 함수의 첫 번째 모멘트 또는 평균을 가지고 있습니다. 이제 이 결과와 X 의 제곱 기대값을 사용하여 분산을 찾습니다.

제2평상시 계산

두 번째 모멘트는 다음과 같이 제공됩니다.

푸아송 분포의 분산

x 2를 x(x-1)+x 로 바꾸는 것으로 구성된 이 합을 풀기 위해 약간의 트릭을 사용할 수 있습니다 .

푸아송 분포의 분산

푸아송 분포의 분산

푸아송 분포의 분산

합산의 두 번째 항에서 이전 결과를 사용하는 경우 λ 2 로 곱하고 나누어 지수 λ x-2 를 얻고 변수 y = x – 2 의 변화를 적용합니다 .

이제 남은 것은 분산 공식에서 이 두 모멘트를 대체하는 것이며 예상 결과를 얻을 수 있습니다.

푸아송 분포의 분산

푸아송 분포의 분산

참조

Devore, J. (2021). 공학과 과학을 위한 확률과 통계 . CENGAGE 학습.

Rodó, P. (2020년 11월 4일). 푸아송 분포 . 이코노미피디아. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html

UNAM [루이스 링콘]. (2013년 12월 16일). 0625 포아송 분포 [비디오]. 유튜브. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ

Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados