3つのサイコロを同時に振った場合、どのような結果が得られるでしょうか?

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コインやサイコロを投げたり、やみくもに箱からボールを​​取り除いたりすることは、統計に関連するさまざまな概念の理解をテストするために実行できる最も簡単な実験の一部です。誰でも自宅でできる簡単な実験であり、明確で明確な結果が得られ、これらは簡単に数値データに変換できます。

さいころ投げの場合、それらと偶然のゲームの間にも明確な関係があり、多くの人々の日常生活の一部である何か、または少なくともほとんどすべてのものに統計の適用がより具体的になります。私たちの人生で少なくとも一度は出くわしたことがあります。

3 つのサイコロを同時に振ると、さまざまな方法で解釈できるさまざまな種類の結果が得られます。個々の結果自体に関心がある場合もあれば、合計の値やサイコロの間に出てくる偶数または奇数の結果の数に関心がある場合もあります。3 つのうち、最も一般的なのは、3 つのサイコロの値の合計の結果に関心を持つことです。次のセクションでは、同時に 3 つのサイコロを振ったときに、それぞれの合計が発生する確率を計算する方法について説明します。

3 つのサイコロを振るためのサンプル空間

1 つのキューブ サイコロを振ることは、可能な結果が 6 つしかない単純な実験です。すなわち、S 1 与えられた結果S={1.2; 3; 4; 5; 6}。

2 つのサイコロを同時に振る場合、各サイコロの結果は互いに独立していると見なすことができるため、それぞれのサイコロが前の 6 つの結果のいずれかになる可能性があります。これにより、1 つのサイコロの 6 つの値ともう 1 つのサイコロの 6 つの値の間のすべての可能な組み合わせに対応する 6 2 = 36 の可能な結果を​​得ることができます。

この場合、与えられた S 2のサンプル空間が得られます= {11; 12; 13; 14; 15; 16; 21; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}。これらの 36 の結果のうち、ユニークな組み合わせ (順序を考慮しない) の数は、m = 6 の可能な結果で n = 2 のグループ (投げられる 2 つのサイコロ) が取られる反復を伴う組み合わせ論によって計算できます。 :

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

これらの 21 の結果は {11; に対応します。12; 13; 14; 15; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3.4; 35; 36; 44; 4.5; 46; 55; 56; 66}。これらの結果のそれぞれの確率は、1/36 に、各数字の桁で作成できるさまざまな順列の数を掛けた値に対応します (数字が 11、22 などのように繰り返される場合は 1、2 が繰り返される場合は 2)。 12 または 21、13 または 31 などを使用できるため、番号は繰り返されません)。

3 つのサイコロを振る場合、サンプル空間で可能な結果の総数は 6 3 = 216 で与えられます。これらの結果は、S 3 サイコロ= {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}。この場合、個々の結果の確率は 1/216 でなければなりません。

3つのサイコロを振ったときの個々の結果の確率

3 つのサイコロを投げた結果のすべての可能な結果のサンプル空間を明確に定義したので、取得できるさまざまな結果のそれぞれの確率を計算する方法を見てみましょう。

サイコロを 3 つ振る場合、結果が出る順番は関係ないことを考慮すると、実際には 216 個の結果の多くが繰り返されます。一意の結果の総数は、3 つのグループとそれぞれ 6 つのオプションの組み合わせとして再計算でき、繰り返しの可能性があります。つまり、次のようになります。

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

この 56 の結果の中で、3 つの等しい数 (AAA としましょう) からなる結果は 1 回だけ発生します。一方、2 つの同じ数字と 1 つの数字が異なるもの (AAB) は、それぞれ 3 回繰り返されます (順列 AAB、ABA、BAA に対応)。最後に、3種類のフィギュア(ABC)をお持ちの方は 3が登場!= 6 回 (ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、および CBA)。

この情報と可能な結果の総数 (216) から、各結果の確率を次のように計算できます。

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

結果に応じて、1 つ、2 つ、または 3 つの異なる数字があります。56 の可能な結果とその確率を次の表に示します。

結果 確率 結果 確率 結果 確率 結果 確率
111 1/216 136 1/36 235 1/36 346 1/36
112 1/72 144 1/72 236 1/36 355 1/72
113 1/72 145 1/36 244 1/72 356 1/36
114 1/72 146 1/36 245 1/36 366 1/72
115 1/72 155 1/72 246 1/36 444 1/216
116 1/72 156 1/36 255 1/72 445 1/72
122 1/72 166 1/72 256 1/36 446 1/72
123 1/36 222 1/216 266 1/72 455 1/72
124 1/36 223 1/72 333 1/216 456 1/36
125 1/36 224 1/72 334 1/72 466 1/72
126 1/36 225 1/72 335 1/72 555 1/216
133 1/72 226 1/72 336 1/72 556 1/72
134 1/36 233 1/72 344 1/72 566 1/72
135 1/36 2. 3. 4 1/36 3. 4. 5 1/36 666 1/216

サイコロを3つ振ったときの和の確率

前述のように、サイコロを振るとき、それぞれの表が出る特定の数字よりも重要な結果は、サイコロの合計です。3 つのサイコロを振って合計を求める実験では、標本空間は 1 から 6 までの 3 つの数字の間のすべての可能な合計で構成されます。

この合計から得られる最小値は、3 つのサイコロが 1 に着地したときに得られる値であり、1+1+1 = 3 の合計が得られます。最大値は 6+6+6 = 18 に対応し、次の可能性があります。中間合計のいずれかを取得します。したがって、この実験のサンプル空間は次のようになります。

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 十一; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18}

3つのサイコロの合計 ユニークな結果の数 特定のユニークな結果 可能な結果の総数
3 1 111 1
4 1 112 3
5 2 113; 122 6
6 3 114; 123; 222 10
7 4 115; 124; 133; 223 15
8 5 116; 125; 134; 224; 233 21
9 6 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 25
10 6 136; 145; 226; 235; 244; 334 27
十一 6 146; 155; 236; 245; 335; 344 27
12 6 156; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 25
13 5 166; 256; 346; 355; 445 21
14 4 266; 356; 446; 455 15
15 3 366; 456; 555 10
16 2 466; 556 6
17 1 566 3
18 1 666 1

表の最後の列は、(一意の各組み合わせのすべての順列からの) 同等の結果を含む、各合計が与える結果の総数を示しています。たとえば、合計が 15 の場合、サイコロの出目は 366、356、または 555 でなければなりません。ただし、366 の 3 つの順列 (366、636、および 663) と 356 の 6 つの順列 (356、365、536、 563、635、および 653) であり、555 のうちの 1 つであるため、15 に等しい可能な結果の総数は 10 です。

前の表を使用して、2 つの異なる方法で 3 つのサイコロを投げた場合の各合計の確率を計算する練習をすることができます。これらについては、以下で詳しく説明します。

戦略 1: それぞれの固有の結果の確率を使用する

最初の戦略は、各合計が与える可能性のあるすべての固有の結果の確率を加算することです。これには、3 列目の一意の結果と、上記の各結果のそれぞれの確率を使用することが含まれます。

3 つのサイコロの合計が 11 になる確率 (つまり、P(11)) を計算するとします。この場合、合計が 11 になる 6 つの一意の組み合わせ (順序に関係なく) があります。これらの結果は (上記の表の 3 番目の列によると)、次のとおりです。155; 236; 245; 335; 344}。

前のセクションで説明したように、各結果の確率は、それぞれのケースで可能な順列の総数に基づいて決定されます。この場合:

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

したがって、合計の結果が 11 になる確率は次のようになります。

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

同様に、合計が 16 になる確率が必要な場合、結果は 466 と 556 の確率の合計になり、どちらも 1/72 に等しいので、確率は次のようになります。

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

戦略 2: 各合計に対応する結果の総数を使用する

この場合、順列を含む各合計のすべての可能な結果のリストがある限り、より単純なパスが使用されます。次に、各合計の確率は、合計の結果の合計数を可能な結果の合計数で割ったものです (216)。

合計 = 11 の場合、合計が 11 になる可能性のある結果の総数は 27 であるため (前の表の 3 列目を参照)、合計が 11 になる確率は次のようになります。

サイコロを 3 つ振ったときの予想結果は?

ご覧のとおり、結果は以前と同じで、以前のようなテーブルが既に作成されている場合は非常に簡単です。ただし、より多くの結果が考えられるより複雑なケース (4 つ、5 つ、または 4 つのサイコロを振るなど) では、この戦略はあまり便利ではなく、前者の方が実用的です。

参考文献

Graaffe, S. (2021 年 9 月 21 日)。サイコロを3つ振ったとき、合計が7になる確率は? クオラ。https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022 年 3 月 17 日)。数え方のテクニック: 種類、使い方、例. 心理学と心。https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

昼寝。(2017 年 11 月 16 日)。確率と統計の数え方. 昼寝の技術と教育。https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016 年 11 月 23 日)。繰り返しとの組み合わせ。ユーチューブ。https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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