統計における補数規則

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統計と確率では、補数規則は、任意のイベント A が発生する確率が常に 1 から A の反対または補足イベントが発生する確率を引いたものになることを確立します。つまり、ある事象の確率とその補数が次の式で関係付けられていることを示すルールです。

統計確率の補数規則の例

この規則は、確率の基本的な性質の 1 つであり、補数の確率がわかっている場合はいつでも任意のイベントの確率を計算でき、その逆も可能であることを示しています。イベントの確率を計算する必要がある多くの現実世界の状況では、その補数の確率を直接計算する方がはるかに簡単であるため、これは特に重要です。次に、これが計算されたら、補数規則を使用して、最初に必要な確率を決定します。

この規則を適用する簡単な例を次に示します。

  • レアル マドリードがチャンピオンズ リーグのサッカーの試合に勝つ確率が 34/57 または 0.5965 である場合、チャンピオンズ リーグの試合に勝てない確率は 1-34/57 = 23/57 または 0.4035 です。
  • 一般的な 6 面ダイスが 6 未満の偶数に出る確率は 1/3 であるため、サイコロが 6 未満の偶数に出ない確率は 2/3 です。

補数規則の証明

補数規則は、いくつかの異なる方法で示すことができますが、いずれの方法も読者にとって覚えやすくなります。このデモンストレーションを行うには、イベントとは何か、その補足とは何かなど、いくつかの基本的な用語を定義することから始めなければなりません。さらに、確率が基づいている主要な公理のいくつかを述べる必要があります。

実験、結果、サンプル空間、イベント

統計と確率では、コインを投げる、サイコロを振る、ランダムにシャッフルされたデッキからカードまたはデッキを選択するなどの実験の実行について話します。実験を行うたびに、スペインのトランプのデッキから 2 つのクラブを選ぶなどの結果が得られます。

実験で得られる可能性のあるすべての異なる結果の合計セットはサンプル空間と呼ばれ、通常は文字 S で表されます。

一方、実験の特定の結果または一連の結果はイベントとして知られています。イベントは、単純なイベントと呼ばれる個々の結果である場合もあれば、複数の要素または結果で構成される複合イベントである場合もあります。

イベントのプラグインとは何ですか?

イベントの補数は、イベント自体の結果を含まない、サンプル空間内の他のすべての可能な結果のセットにすぎません。サイコロを振る例の場合、たとえばサイコロが 5 に出た場合の補数は、サイコロが 1、2、3、4、または 6 に出た場合などです。同じです、5に落ちません。

プラグインは、多くの場合、さまざまな方法で表されます。最も一般的な 2 つの形式は次のとおりです。

  • イベント名の上にスラッシュを置きます (たとえば、A̅ はイベント A の補数を表します)。
  • C を上付き文字として配置 (A C )。

いずれの場合も、「A-補数」、「A の補数」、または「A ではない」と表示されます。

プラグインの概念とプラグインのルール自体の両方を理解する簡単な方法は、ベン図を使用することです。次の図は、任意の実験と、A と呼ぶ単一のイベントの簡単な図を示しています。

統計確率の補数規則の例

このようなベン図では、長方形全体が実験のサンプル空間を表し、長方形の全領域 (この場合、灰色と青色の領域の両方) がサンプル空間の確率を表します。定義 , は 1 に等しいです。これは、実験を実行すると、可能な結果がすべて含まれているため、サンプル空間に含まれる何らかの結果が得られることが絶対に確実だからです。

青い円は、イベント A のすべての可能な結果が存在することになっているショー スペースの領域を囲みます. たとえば、イベント A が偶数を転がしている場合, この青い領域には結果が含まれている必要があります 2, 4 と 6 . 一方、イベント A の外側にあるすべての領域 (つまり、グレー ゾーン) は、他の結果 (1、3、および 5) を含むため、A の補数です。

補数規則とベン図

ベン図を使用して補数規則を理解する鍵は、これらの図内のイベントの面積がその確率に比例することです。四角形の総面積は確率 1 に対応します。はっきりとわかるように、イベント A (青い円) とその補数である A̅ (灰色の領域) が一緒になって四角形全体を形成します。

このため、それぞれの確率を表す面積の合計は、サンプル空間 S の面積である 1 に等しくなければなりません。これを並べ替えると、次のようになります。

統計確率の補数規則の例

これが補数の法則です。

確率公理からの補数規則

いずれかのイベントとその補数は、互いに素な、または相互に排他的なイベントのペアを形成します。これは、一方が発生した場合、定義上、もう一方が発生することは不可能であるためです。これらの条件下では、これら 2 つのイベントの結合確率は、個々の確率の合計によって単純に与えられます。つまり、次のようになります。

統計確率の補数規則の例

また、前に述べたように、イベント A とその補集合 A Cの和集合は、サンプル空間になります。

統計確率の補数規則の例

統計確率の補数規則の例

上記の式にP(AUC C ) を代入し、定義により 1 である S の確率を代入すると、次のようになります。

統計確率の補数規則の例

最後の 2 つの要素を並べ替えると、補数規則が得られます。

プラグイン ルール適用の問題の例

以下は、プラグイン ルールの使用が特に役立つ典型的な問題の例です。

声明

直列に接続された、つまり次々に接続された5つの同一のチップで構成される回路があるとします。チップが製造から 1 年以内に故障する確率は 0.0002 です。5 つのチップのいずれかが故障すると、システム全体が故障します。システムが最初の 1 年で故障する確率を求めます。

解決

F (失敗) をコンポーネントまたはシステム チップが失敗した結果と呼び、E (成功) をコンポーネントが失敗しなかった、または同じであるが動作した結果と呼びましょう。次に、ステートメントによって提供されるデータは次のとおりです。

統計における補数規則の例

システム全体が故障するかどうかを決定する実験は、実際には、コンポーネントのいずれかが故障するかどうかを決定する 5 つの同時実験を実行することに相当します。したがって、この実験のサンプル空間は、5 つの各コンポーネントの成功または失敗の結果のすべての組み合わせで構成されます。直列に接続されているため、順序が重要であることがわかります。したがって、サンプル空間は次のように形成されます。

統計における補数規則の例

このサンプル空間には、Es と Fs のすべての可能な組み合わせに対応する2 5 =32 の可能な結果が含まれています。システムが故障する確率を計算したいので、関心のあるイベント (イベント A と呼びます) は、コンポーネントの少なくとも 1 つが故障するすべての結果によって与えられます。つまり、次の結果セットによって得られます。

統計における補数規則の例

実際、5 つのコンポーネントのうち少なくとも 1 つが故障する結果は2 5 -1=31 通りあります。A の確率 (つまり、P(A)) を計算するには、これらの結果のそれぞれの確率を計算する必要があります。かなりの作業になります。

しかし、ここで、A の補足イベント、つまりシステムが機能するイベント (これを A Cと呼びます) を考えてみましょう。ご覧のとおり、システム全体が機能する唯一の方法は、回路の 5 つのコンポーネントすべてが機能することです。つまり、次のようになります。

統計における補数規則の例

この確率の計算は、前の確率の計算よりもはるかに簡単です。次に、この確率が与えられると、補数規則を使用して A の確率を計算します。各チップの結果は互いに独立したイベントであるため、A Cの確率は単に各チップが機能する確率の積です。 :

統計における補数規則の例

しかし、Eの確率は? 各チップは機能するか機能しないかのどちらかであるため、E は F の補数であることに注意してください。したがって、F の確率 (演習で与えられる) がある場合、E の確率は補数規則を使用して計算できます。

統計における補数規則の例

統計における補数規則の例

これで、完全なシステムが機能する確率を計算できます。

統計における補数規則の例

そして、再び補数規則を適用して、システムが故障する確率を計算します。

統計における補数規則の例

統計における補数規則の例

答え

システムが最初の 1 年で故障する確率は 0.010 または 1.0% です。

参考文献

Devore、JL(1998)。工学と科学のための確率と統計。インターナショナル トムソン パブリッシャーズ SA

補足規則。(nd)。ファイベア。https://www.fhybea.com/complement-rule.html

確率における補数の規則。(2021年1月1日)。メイトモバイル。https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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