統計におけるモーメントとは?

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統計における計算の瞬間は、確率分布の平均、分散、歪度などのパラメーターの決定に関係しています。モーメントという用語は、質量の異なる一連の物体の重心の計算から、物理学に由来します。

モーメントの定義

n 個の離散データx 1x 2x 3、… x nのセットがある場合、次数sのモーメントは次のように定義されます。  

( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n

計算が実行される順序は重要です。最初にs乗への昇格を行う必要があり、次に加算を行い、最後にnによる除算を行います。

この定義を適用すると、 s = 1のときに一次モーメントがあり、前の式は次の形式になります。

( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n

これは、一連の値の平均を求める式の式です。

分析している集合が 1、3、6、10 の 4 つの数字で構成されている場合、この集合の一次モーメントは次のようになります。

(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5

この例では、一次モーメントが調査対象の一連の値の平均であることがわかります。

2 次モーメントはs = 2 に対応し、定義は次のようになります。

( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n

これを前の例に適用すると、次のようになります。

(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36.5

同様に、3 次モーメントはs = 3 に対応し、式は次の形式になります。

( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n

そして、私たちが考える例の計算には、次の式があります。

(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311

一連の値の平均のモーメント

モーメントの概念のもう 1 つの応用は、一連の値の平均の計算です。つまり、セットの各値の平均に対する差から得られる値に。これを行うには、最初にセットの平均値を計算し、次に平均値とセットの各値の差としてモーメントを計算する変数を定義し、最後に前の式をこの新しい変数に適用する必要があります。

次に、m が一連の値x 1x 2x 3、… x nの平均である場合、一連の値の平均m s付近のモーメントは次の形式になります。

m s = [( x 1m ) s + ( x 2m ) s + ( x 3m ) s +…+ ( x nm ) s ]/ n

この計算によると、平均の一次モーメントは 0 です。この結果がどのように得られるか見てみましょう。

m 1 = [( x 1m )+ ( x 2m ) + ( x 3m ) +…+ ( x nm )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x nn . m )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n

m 1 = mm = 0

平均の 2 次モーメントには、次の式があります。

m 2 = [( x 1m ) 2 + ( x 2m ) 2 + ( x 3m ) 2 +…+ ( x nm ) 2 ]/ n

これは、一連の値の分散の式です。

この式を前の例に適用すると、すでに計算した平均が 5 であるため、式は次のようになります。

m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11.5

したがって、一連の値の 1 次モーメントが平均であり、平均に関する 2 次モーメントがそのセットの分散であることがわかります。平均の 3 次モーメントは Karl Pearson が一連の値の歪度の計算に使用し、平均の 4 次モーメントは統計的尖度の計算に使用されました。

ソース

Alexander Mood、Franklin A. Graybill、Duane C. Boes、統計理論の紹介。第 3 版、McGraw-Hill、1974 年。

Peter H. Westfall 著、高度な統計手法の理解。フロリダ州ボカラトン: CRC プレス、2013 年。

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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