確率と統計における加算規則

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


確率と統計の加算規則は、2 つ以上の異なるイベントの既知の確率を組み合わせて、それらのイベントの結合によって形成される新しいイベントの確率を決定するさまざまな方法を指します

統計と確率では、特定のイベント (たとえば、イベント A と B) が別々に発生する確率はわかっていますが、それらが同時に発生する確率や、どちらか一方が発生する確率はわかっていません。ここで足し算のルールが役に立ちます。

たとえば、2 つのサイコロを振ったときに 6 が出る確率を P(6 を振る)、両方のサイコロが偶数になる確率を P(偶数) と呼ぶことができます。

これは比較的簡単です。しかし、2 つのサイコロを振ったときに両方とも偶数が出る確率、または合計が 6 になる確率を知りたい場合があります。統計表記法および群論では、この「または」は、2 つの事象の結合を示す記号 U で表されます。この場合、この確率は次のように表されます。

見つからない

これらのタイプの確率は、個々の確率といくつかの追加データから加算規則によって計算できます。

それぞれのケースでどの追加ルールを使用する必要があるかは、考慮しているイベントの数と、これらのイベントが相互に排他的であるかどうかの両方に依存することに注意してください。単純な場合の追加規則を以下に示します。

ケース 1: ばらばらまたは相互に排他的なイベントの追加規則

2 つのイベントは、一方のイベントが発生すると他方のイベントが発生する可能性が排除される場合、相互に排他的であると呼ばれます。つまり、それらは同時に発生することのできないイベントです。たとえば、サイコロを投げるとき、4 が出た結果は、他の 5 つの可能な結果のいずれかが出たことを除外します。

2 つ以上のイベント (A、B、C…) が相互に排他的であると考える場合、結合確率は、これらの各イベントの個々の確率の合計から単純に構成されます。つまり、この場合、結合確率は次のように与えられます。

ばらばらまたは相互に排他的なイベントの追加規則

これは、ベン図を使用すると最も簡単に理解できます。ここで、サンプル空間は長方形の領域で表されます。一方、各イベントの確率は、このより大きな領域内のセクターで表されます。ベン図では、相互に排他的なイベントは、接触も重複もしない別個の領域として表示されます。

ばらばらまたは相互に排他的なイベントの加算規則 ベン図

このタイプのダイアグラムでは、結合確率の計算は、確率を考慮しているすべてのイベントが占める総面積を取得することで構成されます。前の画像の場合、これはセクター A、B、および C の合計面積、つまり次の図の青色の面積を取得することを意味します。

結合確率

上の 2 つの画像のようにイベントがばらばらである場合、結合確率は単純に 3 つの領域の合計になることが簡単にわかります。

例1:サイコロを振って出目が偶数になる確率の計算

サイコロを振って、偶数になる確率を知りたいとします。6 面体のサイコロで偶数になる可能性があるのは 2、4、および 6 のみであるため、実際に知りたいのは、サイコロが 2、4、または 6 のいずれかになる確率です。偶数になりました。

6 つの表のいずれかが出る確率は 1/6 です (公正なサイコロである限り)。また、先ほど見たように、3 つの結果は相互に排他的なイベントです。これらの条件下では、結合確率は次のように与えられます。

互いに素な事象の和集合確率の例

互いに素な事象の和集合確率の例

ケース 2: 相互に排他的ではない 2 つのイベントの追加規則

A と B が互いに結果を共有するイベント、つまり、同時に発生する可能性があるイベントである場合、イベントは相互に排他的ではないと言われます。この場合、ベン図は次のようになります。

相互に排他的でないベン図の 2 つのイベントの加算規則

ご覧のとおり、両方のイベントが同時に発生するサンプル空間の領域があります。結合確率、つまり P(AUB) を求めたい場合は、前の図の右側のベン図に示されている領域を見つける必要があります。

この場合、A と B の面積を足すだけで、共通面積を 2 回数えることになるため、必要な面積 (読み取り、確率) よりも大きな面積が得られることは簡単にわかります。この過剰な誤差を修正するには、イベント A と B が共有する領域を差し引くだけで済みます。これは、交差の確率に対応します。

相互に排他的でない 2 つのイベントの加算規則

この結合確率の式は前のケースにも適用されます。これは、相互に排他的であるため、それらが同時に発生する確率 (交差確率) がゼロであるためです。

例2:サイコロを振って偶数または4未満になる確率の計算

この場合、両方のイベントが結果 2 を共有します。これは偶数で 4 未満であるため、結合確率は次のようになります。

相互に排他的でない 2 つのイベントの加算規則

相互に排他的でない 2 つのイベントの加算規則

ケース 3: 相互に排他的でない 3 つのイベントの追加ルール

もう 1 つの少し複雑なケースは、次のベン図に示すような、相互に排他的ではない 3 つのイベントが発生した場合です。

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算規則

この場合、3 つのエリアの合計は、A と B、B と C の間、および C と D の間の交差ゾーンの 2 倍をカウントし、3 つのイベント A、B、C の交差ゾーンの 3 倍をカウントします。前と同じように、3 つの領域の合計から各イベント ペア間の交差領域を減算します。中心の領域の 3 倍を減算するため、3 つのイベントの交差確率として追加する必要があります。最後に、3 つの非排他的イベントの一般的な加算規則は次のように与えられます。

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算規則

前述のように、この式は、互いに素であるかどうかに関係なく、3 つのイベントの任意のセットに対して一般的です。この場合、交差は空になり、結果は最初のケースと同じ式になるためです。

例 3: 20 面のサイコロで偶数、10 未満の数、素数が出る確率の計算

この場合、結果を共有し、共有しない結果を含む 3 つのイベントがあるため、結合確率は前述の式で与えられます。

個々のイベントの確率は次のとおりです。

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

さて、交差確率は次のとおりです。

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

ここで、結合確率の方程式を適用します。

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

相互に排他的でない 3 つのイベントの加算ルールの例

参考文献

-広告-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

実数は?

確率の公理

円周の計算