相互に排他的 – 意味、アプリケーション、および例

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相互に排他的なイベントの定義は、さまざまな方法で指定できます。まず、2 つのイベントは、一方の発生によって他方の発生の可能性が排除される場合、相互に排他的またはばらばらであると言われます。これは、それらが同時に発生できないイベントであることを意味します。たとえば、サイコロを 1 回だけ振った場合、6 つの面のいずれかに着地した結果は、他の 5 つの面のいずれにも着地できなくなります。したがって、サイコロが 4 と 3 の両方に同時に着地することはできないため、4 が着地するイベントと、たとえば 3 が着地するイベントは相互に排他的です。

一方、確率の分野では、結果を共有しない限り、2 つのイベントは相互に排他的であると言われています。これは、確率的に、イベントが実験の可能な結果のセットと見なされるという事実に由来します。結果を共有する、または共有しないさまざまなイベントを定義することができ、結果を共有しないイベントは相互に排他的であると見なされます。

より正式な数学用語で、集合論の表記法を使用すると、イベント A と B は、それらの交差が空集合 である場合、つまり交差しない場合、相互に排他的になります。つまり、A ∩ B = Ø である限り、A と B は相互に排他的です。

2 つのイベントが相互に排他的であるのはいつですか?

2 つの事象が相互に排他的であるかどうかをロジックで事前に判断できない場合は、集合論と確率が解決策を提供します。2 つのイベントが相互に排他的またはばらばらであることを疑いの余地なく判断する 3 つの簡単な方法を次に示します。

各セットの要素を観察する

2 つのイベントに有限で小さな要素のセットが含まれている場合、共通の要素が含まれているかどうかを確認するだけで、それらが互いに素であるかどうかを判断するのは非常に簡単です。

たとえば、2 つのサイコロを同時に振る実験を考えてみましょう。次に、次の 2 つのイベントを定義します。

  • 2 つのサイコロの合計が 10 以上になるイベントを A とします。
  • 2 つのサイコロの合計がちょうど 8 になるイベントを B とします。

各イベントに含まれる結果を簡単に判断できます。最初は、結果 (5,5) のみです。(5,6) と (6,6) の合計は 10 以上になります。(5,3) と (6,2) は 8 を生成します。これで、集合論的シンボルを使用して次のように記述できます。

次のものと無関係または相互に排他的なイベント

前のイベントと無関係または相互に排他的なイベント

相互に排他的なイベントの条件

共通の要素がないため、交差は空のセットであり、イベントは相互に排他的です。

ベン図の使用

2 つのイベントが相互に排他的かどうかを判断するもう 1 つの非常に簡単な方法は、それらをベン図で表すことです。これらの図では、サンプル空間は長方形 (またはその他の形状) で表され、すべてのイベントはサンプル空間の内部領域として表されます。

ベン図では、相互に排他的なイベントは、接触も重なりもしない長方形内の領域として簡単に認識されます。

相互に排他的な 2 つのイベントのベン図

合体確率で

場合によっては、上記の 2 つの方法を適用できないことがあります。2 つのイベントが相互に排他的であるかどうかを確認する別の方法は、確率を使用することです。各イベントの個々の確率、つまり P(A) と P(B)、およびいずれかのイベントが発生する確率、つまり P(AUB) がわかっている場合、2 つのイベントが次の条件を満たす場合:

結合確率に基づく相互排他条件

別の方法は、交差確率を使用することです。P(A ∩ B) = 0である限り、2 つのイベントは相互に排他的です

相互に排他的なイベントの例

単純なイベントは常に相互に排他的です

単純なイベントは、単一の結果を含むイベントです。六面体のサイコロを振ったとき、6 が出たというイベントは 6 の出目だけで成り立っているので単純なイベントです。 2、4、6 の 3 つの結果で構成されます。

実験のすべての単純なイベントは、常に相互に排他的です。

ある研究で、ある病院で 1 週間に生まれる男性の数が決定されたとします。この実験の標本空間S は次のとおりです。

相互に排他的なイベントを表示するサンプル スペース

いくつかの単純なイベントは次のとおりです。

単純なイベントは常に相互に排他的です。

ご覧のとおり、これらのイベントには複数の結果がなく、すべてが異なるため、これらのイベントはいずれも別の要素と要素を共有することはできません。したがって、これらのイベントは常に相互に排他的です。

サイコロを3つ同時に振る

同時に 3 つのサイコロを投げることは、36 の異なる結果が得られる実験です。サイコロの順序は関係ありません。(1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) と (3,2,1) はすべて同じ結果を表します。

次の 3 つのイベントが発生したとします。

  • = すべてのサイコロが同じ結果になるイベント。
  • B = 2 つのサイコロだけが同じ結果になるイベント。
  • C = すべてのサイコロが異なる結果を出すイベント。

常識だけでは、A、B、および C はすべて相互に排他的なイベントであると結論付けることができます。なぜなら、すべてのサイコロが同じ結果を出す (イベント A が発生する) 場合、2 つだけが同じで 1 つが異なるということは不可能だからです。すべてが異なること。

トランプゲーム

52 枚のポーカー カードのデッキから 2 枚のカードが無作為に引き出される実験を想像してみてください。次に、次のイベントを定義しましょう。

  • A = 赤い点のみが描画されます。
  • B = 黒い点のみが描画されます。

これらのイベントは相互に排他的です。カードが両方とも赤の場合、両方を黒にすることはできず、その逆も成り立たないからです。

相互に排他的ではないイベントの例

サイコロを3つ同時に振る

上記と同じ 3 つのサイコロの実験を行いますが、次のイベントを定義します。

  • A = すべてのサイコロが等しいイベント = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
  • B = すべてのサイコロが偶数のイベント = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}

A と B の内部の要素を比較すると、一致する要素があり、A と B の共通部分が次のようになることが簡単にわかります。

空ではない交差点、ばらばらでないイベント

交差は空集合ではないため、これらのイベントはばらばらではありません。

トランプゲーム

デッキから 2 枚のカードを引くという同じ実験を繰り返して、次の新しいイベントを考えてみましょう。

  • A = 少なくとも 1 枚のカードがハートです。
  • B = 少なくとも 1 枚のカードがキングです。

この場合、ハートのキングが描かれるたびに、A と B が同時に発生します。実際、スペードのキングとハートのエースが描かれた場合、A と B も同時に発生するため、これが唯一の結果ではありません。したがって、A と B は相互に排他的なイベントではありません。

相互に排他的なイベントの重要性と適用

数学では、複数のイベントの確率の計算は、それらが相互に排他的であるかどうかに大きく依存します。たとえば、確率の公理の 1 つは、すべてのイベントが相互に排他的である場合にのみ、複数のイベントの結合確率が各イベントの個々の確率の合計に等しいと 述べています。言い換えると、

互いに素な 2 つのイベントの和集合確率

A と B が互いに素であるか相互に排他的なイベントである場合のみ。

それらが相互に排他的でない場合、確率の合計は、両方のイベントに共通の結果の確率、つまり交差の確率の 2 倍になります。このため、これらの場合、結合確率は別の方法で計算されます。

相互に排他的ではない 2 つのイベントの結合確率

相互に排他的ではなく、互いに交差する 3 つのイベント A、B、C の場合、事態はさらに複雑になります。

素ではない 3 つのイベントの和集合確率

この場合、3 つのイベントの交差確率P( A ∩ B ∩ C)を最後に追加する必要があります。これは、イベントの異なるペアの交差を減算することによって 3 回減算されるためです。

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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