幾何学的形状の面積と体積を計算するための式

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球の面積と体積を計算する式は次のとおりです。

  • 表面 = 4πr 2
  • ボリューム = (4/3)πr 3

2. 円錐の面積と体積の計算

プッシー
底面の半径 r と高さ h の円錐

円錐は円形の底面を持つピラミッドであり、その傾斜した側面は、円錐の底面を構成する円周の中心を通る底面の平面に垂直な線である円錐の軸上の中心点で交わります。上の図でわかるように。その表面またはその体積の面積を計算するには、底辺の半径rと辺の長さsを知る必要があります。辺の長さsの値がわからない場合は、円錐の高さhを知ることで計算できます(上の図を参照)。

s = √ (r 2 + h 2 )

円錐の総表面積は、底面の面積と側面の面積の合計として計算できます。

  • 基底面積: πr 2
  • 側面積: πrs
  • 総面積 = πr  + πrs

円錐の体積を計算するには、底面の半径と高さだけが必要です。

  • ボリューム = 1/3 πr 2 h

3. 円柱の表面積と体積の計算

シリンダー
底面の半径 r と高さ h の円柱

サーフェスとボリュームの計算は、円錐よりも円柱の方が簡単です。円柱は円形のベースを持ち、回転したときに側面を生成する線は、ベースに対して平行および垂直です。その表面積または体積を計算するには、半径r と高さhのみが必要です。

円錐の場合と同様に、表面積はそれを構成する表面の合計です。上底と下底の面積の合計(等しい)、および側面の面積。

  • 表面 = 2πr 2  + 2πrh
  • ボリューム= πr 2h

4. 直角プリズムの表面積と体積の計算

直角プリズム
辺 a、b、c の直角プリズム

三次元に展開された長方形は直角柱になります。もしくはただの箱。直角プリズムのすべての辺が等しい場合、プリズムは立方体になります。したがって、表面積と体積の両方が同じ式で計算されます。このためには、プリズムの 3 辺の大きさを知る必要があります。上図のa、b、c。

  • 面積 = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
  • ボリューム = abc

辺がa の立方体がある場合、前の式は次のようになります。

  • 立方体の面積= 6a 2
  • 立方体の体積= 3

5.底面が正方形のピラミッドの面積と体積の計算

正方形の基本ピラミッド
辺b高さhの正四角錐

この場合、底面が正方形で面が正三角形であるピラミッドの表面積と体積を計算するために使用される式が表示されます。計算には、底辺bの辺と高さhを知る必要があります。これは、上の図に示すように、底辺の正方形の中心から頂点までの距離です。sは、ピラミッドの面を構成する各正三角形の高さになり、次の式で計算できます。

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

前の場合と同様に、表面の面積は、底面の面積と面の 4 つの正三角形の面積の合計です。

  • 表面 = 2bs + b 2
  • ボリューム = (1/3) b 2h

6. 二等辺三角柱の表面積と体積の計算

プリズム
辺bの長さlの二等辺三角柱

表面の面積と二等辺三角柱の体積を計算する式を適用するには、上の図によると、3 つのパラメーターが必要です。二等辺三角形の底辺b、三角形の高さh、角柱の長さl . 定義は、二等辺三角形の辺sで完了します。三角形の辺sは、三角形の他のデータから次の式で計算できます。

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

表面積と体積の計算式は次のとおりです。

  • 面積 = bh + 2 l s + l b
  • 出来高 = (1/2)bh l

二等辺三角形ではないプリズムの表面積と体積を計算する場合は、次の手順を適用できます。ベースの面積Aと周囲長Pを決定し、次の式を使用できます。

  • 表面 = 2A + P l
  • ボリューム = A l

7. 扇形の面積と長さの計算

円形セクター
半径 r と角度θ の扇形

上の図は、角度θで定義される半径rの円の扇形を示しています。角度は度またはラジアンで表すことができます。扇形の面積と弧の長さを計算するには、角度θをラジアンで表す必要があるので、度で表す場合は次の式で換算する必要があります。

角度θ (ラジアン) = (角度θ (度)) π /180

扇形の面積と弧の長さは以下の式で計算されます。

  • 面積 = (θ/2) r 2  θ (ラジアン単位)
  • 円弧 L = θr   θ (ラジアン単位)

円の面積と円周は扇形の特定のケースであり、角度θが 2 πに等しい場合に発生します。したがって、円の面積と円周は次のように計算されます。

  • 円の面積= π r 2 
  • 円周 = 2 π r

8.楕円の面積の計算

楕円
半軸 a と b の楕円

楕円とも呼ばれ、細長い円として識別できる楕円は、焦点と呼ばれる 2 つの固定点までの距離の合計が一定である点の集合です。上の図では、病巣は 2 つの点で表されています。図に示すように、楕円は 2 つの半軸によって定義できます。長半径aと短半径b。楕円の面積は以下の式で計算されます。

  • 面積=πab

9. 三角形の面積と周長の計算

三角形
三角形の底辺 b 高さ h

三角形は最も単純な幾何学的形状の 1 つであり、辺a、b、cのそれぞれの長さが分かれば、周長の計算は簡単です。 

  • 周長 = a + b + c

三角形の面積を計算するには、その辺の 1 つの長さが必要です。 たとえば、上の図のbと、その辺に対応する高さh は 、反対側の頂点から垂線を引いた線分の長さとして決定されます。横に. b . 三角形の面積は次のように計算されます。

  • 面積 = (1/2)bh

10. 平行四辺形の面積と周長の計算

平行四辺形
底辺bの高さhの平行四辺形

平行四辺形は、上の図のように対辺が平行な四角形です。対辺は平行なので、対辺の長さは等しくなります。図の場合、長さabの辺です。平行四辺形の周囲は、その辺の合計です。

  • 平行四辺形の周長 = 2a + 2b

平行四辺形の面積を計算するには、高さhが必要です。2 つの平行な辺の間の距離。面積は、高さとその高さに対応する辺、 図の場合はbで計算できます。

  • 平行四辺形の面積= bh

長方形は、平行四辺形の特定のケースです。高さhが辺aに等しい場合、または隣接する辺が垂直である場合、平行四辺形は長方形で、周囲の長さと面積の公式は次のとおりです。

  • 長方形の周囲 = 2a + 2b 
  • 長方形の面積=ab

同様に、正方形は平行四辺形と長方形の特定のケースです。辺abが等しく、隣接する辺が垂直な場合。一辺がaの正方形の周囲長と面積の公式は以下の通りです。

  • 正方形の周囲 = 4a 
  • 長方形の面積= a 2

11. 台形の面積と周長の計算

ソース画像を見る
長底B、短底b、高さhの台形

台形は、平行な 2 つの対辺を持つ四角形です。したがって、上図のbBcdの 4 つの辺の長さが異なり、周囲の長さを計算するには 4 つの値を知る必要があります。台形の周長は、4 つの値を加算して計算されます。

  • 周長 = b + B + c + d

 台形の面積を計算するには、上の図で観察できる高さhを知る必要があります。これは、2 つの平行な辺の間の距離です。

  • 面積 = (1/2) (b + B)h

12. 正六角形の面積と周囲の長さの計算

辺rの正六角形
辺rの正六角形

6辺が等しい多角形は正六角形です。各辺の長さrは、六角形の中心から各頂点までの距離に等しくなります。アポセム (上の図のa ) は、六角形の中心から辺の 1 つまでの最小距離です。六角形を構成する各正三角形の高さです。正六角形の周囲の長さは、次のように計算されます。

  • 周長 = 6r

正六角形の面積を計算するには、次の式が使用されます

  • 面積 = (3√3/2)r 2

13. 正八角形の面積と周長の計算

正八角形
正八角形

正八角形は、8 つの辺が等しい多角形です。八角形の各辺の長さがrの場合、正八角形の周囲は次のように計算されます。

  • 周長 = 8r

正八角形の面積を計算するには、次の式が使用されます

  • 面積 = 2(1+√2)r 2

噴水

Wenninger、Magnus J.多面体のモデル、ケンブリッジ大学出版局、1974 年。

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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