母標準偏差の計算例

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母集団標準偏差は、母集団内のデータの変動性または分散を測定するための最も重要な母集団パラメーターの 1 つです。統計の他のパラメーターと同様に、ギリシャ文字、この場合は文字 σ (シグマ) で表されます。これにより、類似しているが同じではなく、同じ式で計算されていないサンプルの標準偏差と簡単に区別できます。

次に、例を使用して、母集団の標準偏差を計算するさまざまな方法を見ていきます。母集団標準偏差を計算するためには、母集団データをすべて知ることが不可欠であることに注意してください。これは実際のコンテキストではめったに発生しませんが、この重要なパラメーターの数学的特性のいくつかを理解するのに役立つため、計算方法を理解することは依然として重要です。

人口標準偏差の式

利用可能なデータに応じて、母標準偏差は 3 つの異なる式を使用して決定できます。

母標準偏差の数学的定義

標準偏差は、分散の平方根 σ 2として定義されます。つまり、母集団の分散がわかっていれば、次の式を使用して標準偏差を計算できます。

人口標準偏差の計算例

このようなケースはめったに発生しませんが、覚えておくとよいでしょう。

その他の母標準偏差式

母集団の分散を知る代わりに、母集団を構成する N 個のデータ項目がすべてわかっている場合、平均からの偏差の 2 乗の平均の平方根として母集団の標準偏差を計算できます。つまり、次のようになります。

人口標準偏差の計算例

この式で、x i は母集団内の各データ項目の値を表し、N は母集団内のデータ項目の数 (または母集団のサイズ、同じです) を表し、μ は母集団の平均です。母集団平均もギリシャ文字で表されることに注意してください。これは別の母集団パラメーターであり、母集団のサイズは、通常サンプルのサイズに関連付けられているn と区別するために N (大文字) で表されます。

母集団の平均 μ は、次の式で与えられます。

人口標準偏差の計算例

式 2 を展開、並べ替え、単純化すると、次のようになります。

人口標準偏差の計算例

母集団の個々のデータではなく、度数分布表にグループ化されたデータがある場合、前の式はわずかに変更されて次のようになります。

人口標準偏差の計算例

上記の方程式では、ルート内にある量は母分散にすぎません。式 4 は、式 2 および 5 の場合のように、一部の母集団パラメーターではなく、母集団データに関して排他的に確立されるという利点があります。

母標準偏差の計算例

世界中で 20 例しか存在しないことが知られている特定の自動車モデルの重量の変動性を判断したいとします。これらの 20 台の車のキログラム単位の重量のデータを次の表に示します。

410 408 408 405 391 390 402 397 397 395
390 404 397 394 399 397 405 408 410 400

このモデルの車は 20 台しかないことがわかっているため、これらは母集団全体を表しているため、母集団の標準偏差を決定するために必要なすべてのデータが得られています。この標準偏差を決定する 3 つの異なる方法を見てみましょう

方法 1: 分散の定義に基づく計算

この方法は、上記の式 2 の使用に基づいています。ご覧のとおり、この方程式では、母集団の平均と、以下に詳述する別の一連の計算を使用する必要があります。

ステップ 1: 母平均を決定する

母平均または μ は、方程式 3 を使用して計算され、すべてのデータを加算し、データの総数 (この場合は 20) で割ります。

人口標準偏差の計算例

ステップ 2: 平均からの偏差を計算する

このステップには、減算 (x i – μ) の計算が含まれます。例えば:

x 1 – μ = 410 – 400.35kg = 9.65kg

x 2 – μ = 408 – 400.35kg = 7.65kg

x 3 – μ = 408 – 400.35kg = 7.65kg

X 20 – μ = 400kg – 400.35kg = – 0.35

結果を次の表に示します。

x i – μ
410 9.65
408 7.65
408 7.65
405 4.65
391 -9.35
390 -10.35
402 1.65
397 -3.35
397 -3.35
395 -5.35
390 -10.35
404 3.65
397 -3.35
394 -6.35
399 -1.35
397 -3.35
405 4.65
408 7.65
410 9.65
400 -0.35

ステップ 3: 平均からのすべての偏差を二乗する

(x 1 – μ) 2 = (9.65) 2 = 93.1225 kg 2

(x 2 – μ) 2 = (7.65) 2 = 58.5225 kg 2

(x 3 – μ) 2 = (7.65) 2 = 58.5225 kg 2

(x 20 – μ) 2 = (– 0.35) 2 = 0.1225 kg 2

結果を次の表に示します。

x i / kg (xi μ)/ kg (x i – μ ) 2 / kg 2
410 9.65 93.1225
408 7.65 58.5225
408 7.65 58.5225
405 4.65 21.6225
391 -9.35 87.4225
390 -10.35 107.1225
402 1.65 2.7225
397 -3.35 11.2225
397 -3.35 11.2225
395 -5.35 28.6225
390 -10.35 107.1225
404 3.65 13.3225
397 -3.35 11.2225
394 -6.35 40.3225
399 -1.35 1.8225
397 -3.35 11.2225
405 4.65 21.6225
408 7.65 58.5225
410 9.65 93.1225
400 -0.35 0.1225

ステップ 4: すべての二乗偏差を合計する

人口標準偏差の計算例

ステップ 5: 式 2 の式を適用する

この合計が得られたので、残りはこの値と、式 2 のデータ数 (20) を置き換えるだけです。

人口標準偏差の計算例

したがって、20 台の自動車の母集団の重量の標準偏差は約 1 であることがわかります。6.5kg。

方法 2: 再編成された方程式を使用する

ここで、同じ計算を実行しますが、方程式 4 を使用します。これは、今使用した方程式と同等ですが、特に多数のデータを扱う場合はより実用的です。主な利点は、偏差を計算できるようにするために追加のパラメーター (母平均) を計算する必要がないことですが、すべては元の個別データに基づいて計算されます。また、負の数を使用する必要はありません。負の数は、学生の間でエラーの主な原因となります。

ステップ 1: 個々のデータの 2 乗を計算する

つまり、次の計算が実行されます。

(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168,100 kg 2

(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166.464 kg 2

(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166.464 kg 2

(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160,000 kg 2

結果を次の表に示します。

x i 2
410 168,100
408 166,464
408 166,464
405 164,025
391 152,881
390 152,100
402 161,604
397 157,609
397 157,609
395 156,025
390 152,100
404 163,216
397 157,609
394 155,236
399 159,201
397 157,609
405 164,025
408 166,464
410 168,100
400 160,000

ステップ 2: すべての個別データを合計する

人口標準偏差の計算例

ステップ 3: すべての正方形を追加する

人口標準偏差の計算例

ステップ 4: 式 4 の式を適用する

最後のステップは、母集団の標準偏差を取得するために、式 4 にこれら 2 つの値とデータ数を導入することです。

人口標準偏差の計算例

方法 3: スプレッドシートを使用する

Microsoft Excel、Apple Numbers、Google Sheets などのスプレッドシートには、標準偏差 (サンプルと母集団の両方) を直接計算する基本機能が含まれています。これらの関数は、引数としてデータ セットを取り、前のメソッドで示したすべての計算を実行して、数式が入力されたセルの標準偏差を直接返します。

手順は次のとおりです。

ステップ 1: スプレッドシートにデータを入力する

スプレッドシートのどこにでも、列、行、または行列の形式でデータを入力できます。次のスクリーンショットは、この問題のデータが Excel 2016 でどのように表示されるかを示しています。

人口標準偏差の計算例

ステップ 2: 数式を使用して標準偏差を計算する

データが追加されたら、標準偏差関数を使用して、データが見つかったセルを引数として配置します。

スプレッドシートで関数を呼び出すには、通常、等号 (=) の後に使用する関数の名前を入力することから始めます。名前はアプリケーションごとにわずかに異なり、場合によっては、使用している言語によっても異なります。

Excel(スペイン語版)の場合、母標準偏差を計算する関数はSTDEV.Pと呼ばれますが、GoogleスプレッドシートではSTDEVP(ポイントなし)です。次に、括弧の間に関数の引数を入力する必要があります。この例では、データが配置されているセルの範囲 (セル A3 から J4 の範囲) を引数として渡します。

人口標準偏差の計算例

Enter キーを押すと、プログラムは関数を実行して母集団の標準偏差を計算し、以下に示すようにそれぞれのセルに結果を表示します。

人口標準偏差の計算例

ご覧のとおり、ここで実践した 3 つの方法のいずれでも同じ結果が得られます。同じことを別の方法で行うだけです。

その他の方法

上記の 3 つの方法に加えて、科学計算機や財務計算機には、サンプルや母集団など、データセットの標準偏差を決定する機能が備わっていることがよくあります。データの入力方法と得られる結果は、製造元によって異なり、電卓のモデルによっても異なるため、ここで具体的な手順を示すことは現実的ではありません。

代わりに、最も重要な一般的な手順について詳しく説明することなく説明します。関数電卓でこの機能を使用したい場合は、電卓に付属のユーザー マニュアルを参照するか、オンラインで検索して、それぞれの場合の特定のキーの組み合わせを確認してください。

ステップ 1: メモリをクリアする

多くの電卓では、以前に保存されたデータは表示されません。すでに保存されている他のデータを知らないうちに入力すると、計算機は間違った結果を出します。これが起こらないようにするために、新しいデータの入力を開始する前に、電卓のすべてのメモリ (または少なくとも統計分析モード) をクリアすることをお勧めします。

ステップ 2: 統計モードにアクセスする

標準偏差を計算する関数は、ほとんどの計算機の「統計」、「統計」、または単に「S」モードの一部であるため、この操作モードに入ることから始めなければなりません。

ステップ 3: データを入力する

これは計算機によって異なります。表形式でデータを追加できる場合と、DT(またはDAT)キーを押してデータを1つずつ入力する場合があります。このステップの最後に入力されたデータの数をチェックして、欠落がないことを確認することが重要です。

ステップ 4: 母集団の標準偏差を計算する

データが入力されたら、計算機に求めている結果を求めるだけです。多くの計算機では、標本標準偏差と母集団標準偏差の両方が記号 σ で表されます (標本偏差の場合は誤差ですが)。ただし、標本偏差は n-1 を伴う (つまり、σ n-1として現れる) のに対し、母集団偏差は s nとして現れるため、標本偏差と母集団偏差を区別することができます。これは、標本標準偏差の計算において、母集団の場合のように n ではなく n-1 で除算されるという事実を指します。

参考文献

Devore、JL(2019)。確率と統計(第 1 版)。センゲージ学習。

メイトモバイル。(2021年1月1日)。ビニングされたデータの分散と標準偏差 | 物質移動https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Google テクニカル サポート。(nd)。STDEV (STDEV) – Google ドキュメント エディタのヘルプ. Google – Google ドキュメント エディタのヘルプ。https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=en-419

超教授。(nd)。標準偏差。数学辞典 | 超教授。https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.digital. (nd)。グループ化されたデータの標準偏差https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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