独立事象の乗法規則

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2 つのイベントが同時に発生する確率を求める状況は数多くあります。それらのいくつかは次のとおりです。

  • 2 つのサイコロを同時に、または交互に振ったときに、ダブル 6 が出る確率を求めます。
  • あるグループから無作為に選ばれた人が女性で肌の色が濃い人である確率を求めます。
  • 学校のセクションから異性の生徒のペアを選択する確率。
  • 宇宙ロケットの打ち上げで、2 つの冗長制御システムが同時に故障する確率。

このクラスの問題は、確率の乗算の一般規則によって解決できます。このルールは、2 つのイベント A と B について、それらが同時に発生する確率、つまり交差確率が次の式で与えられることを確立します。

独立事象の乗法規則

この式で、P(A|B) は、B が与えられたときにイベント A が発生する条件付き確率です。上記は、一般的な乗法規則であり、イベントの任意のペアに適用されます。場合によっては、条件付き確率が不明または決定が困難です。ただし、独立したイベントの場合、この確率は単純化されて、独立したイベントの乗算ルールが生じます。

独立事象の乗法規則

独立したイベントとは?

2 つのイベント A と B は、一方の発生が他方の発生確率に影響しない場合、互いに独立しています。数学的に言えば、これは、どちらかのイベントが発生する条件付き確率が、もう一方のイベントが発生したことがわかっている場合、最初に発生する単純な確率に等しいことを意味します。つまり、2 つのイベントが独立しているのは、次の場合のみです。

独立事象の乗法規則

上記の解釈は、B が発生した場合に A が発生する確率は、A が発生する確率と等しいということです.これは、B の発生が A の発生確率に影響を与えなかったことを意味します.したがって、両方のイベントが発生します.道。

上記の条件を満たさないイベントのペアは依存イベントになります。

この場合、乗算規則はどのように影響を受けますか?

ご覧のとおり、独立条件の最初の式を使用して、一般的な乗算規則を単純化できます。これは、最初の因子を A の単純な確率で置き換えることができるため、次の式が得られるためです。

独立事象の乗法規則

上記の式は、独立したイベントの確率の乗法として知られています。これは、2 つのイベントが互いに独立していることと、それらの発生確率がわかっている場合、これらの確率を乗算するだけで、両方が同時に発生する確率を求めることができることを意味します。

独立したイベントの例

情報が不足していると、2 つのイベントが独立しているかどうかを識別するのが難しくなる場合があります。例えば、乳がんの発生と茶髪は関係ないと考えるかもしれませんが、人体の生理機能は非常に複雑であるため、あえてそれを断言する医師はいません。

ただし、2 つのイベントが独立しているかどうかを簡単に識別できる簡単な実験はたくさんあります。

  • サイコロを2つ同時に投げる。2 つのサイコロを振る場合、一方の結果が他方の結果に影響を与えることはありません。そのため、一方のサイコロが特定の数字に当たるイベントは、もう一方のサイコロが別の数字に当たるイベントとは無関係です。同じです。
  • 同じサイコロを 2 回続けて振った結果も、同じ理由で互いに独立しています。
  • コインを 2 回投げます。最初に表または裏が着地しても、次のトスの結果には影響しません。
  • 別々の原材料と労働力を使用するコンポーネント用に 2 つの独立した生産ラインを持つ冷蔵庫工場では、2 つのコンポーネントのうちの 1 つが故障する確率は、もう 1 つが故障する確率とは無関係であると仮定しても問題ありません
  • デッキからカードまたはデッキをランダムに引き、それを交換し、デッキから別のカードをランダムに引き抜くことは、別のイベントです。デッキ内の元のカードを交換すると、元のカードを引く可能性がリセットされるためです。

独立していないイベントの例

  • デッキからカードまたはデッキをランダムに引き、同じデッキから最初のカードを交換せずに別のカードを引くことは、独立したイベントではありません。他のカードが出てきます。また、最初のカードを交換しなければ、そのカードが2回目に出る確率はゼロになります。
  • 走行中の車では、自動車のエンジンが過熱する確率とエンジンを冷却するウォーター ポンプが故障する確率は独立したイベントではありません。
  • さらに理解しやすい例は、統計学で良い成績を取ることは勉強と無関係ではないということです。

独立事象の乗法則を用いた確率計算例

例 1: コインを 2 回投げる

コインを 2 回投げて、2 回とも表が出る確率を計算したいとします。

独立事象の乗法規則

A を最初のトスが表になるイベント、B を 2 回目のトスが表になるイベントと呼ぶ場合、計算するよう求められる確率は、A と B が交差する確率です。 . つまり、未知数は P(A∩B) です。

各トスの結果は 2 つしかないため、どちらのイベントが発生する確率も同じです。

独立した事象に対する乗法規則の使用例

これで、イベントが独立していることがわかったので、乗算規則を使用して交差の確率を決定できます。

独立した事象に対する乗法規則の使用例

例 2: サイコロを 2 つ投げる

一般的な 6 面ダイスを 2 つ振ったときに、そのうちの 1 つが 1 つに出て、2 つ目が偶数に出る確率を計算してみましょう。

次のイベントを A および B と呼びましょう。

       A =サイコロの 1 つが 1 に出た。

       B =サイコロの 1 つが偶数に出た。

計算したいのは、やはり P(A∩B) です。

独立事象の乗法規則

各サイコロの結果は、他のサイコロの結果とは無関係であるため、独立したイベントの乗算規則を使用して P(A∩B) を計算できます。しかし、まず、A と B の確率が必要です。

サイコロには、1 から 6 までの数字が繰り返されない 6 つの面があります。したがって、1 は 1 つだけで、偶数は 2、4、6 の 3 つです。したがって、それぞれのイベントが発生する確率は次のようになります。

独立した事象に対する乗法規則の使用例

これらの確率と乗算規則を使用して、目的の確率を取得します。

独立した事象に対する乗法規則の使用例

例 3: 失敗する部品

コンピュータ機器を製造する工場では、他のコンポーネントとともに、2 つの異なるメーカーの 2 つの異なるチップまたは集積回路を使用します。最初のチップのメーカーによると、通常の動作条件下で故障する確率は 0.00133 です。一方、2 番目のメーカーは、5,000 ユニットを取り付けるごとに故障するチップは 2 つだけだと自慢しています。工場の所有者は、両方のコンポーネントが同時に故障する可能性を見つけたいと考えています。各チップブランドの失敗は、他とは無関係と見なすことができます。

この場合、ステートメント自体が 2 つのイベントが独立していることを指定しているため、上記の乗算規則を使用できます。さらに、最初のチップが故障する確率も提供されます。これをイベント A と呼びます。2 番目のチップが故障する確率 (イベント B) は、製造元から提供された情報から計算できます。

独立した事象に対する乗法規則の使用例

したがって、両方のコンポーネントが同時に故障する確率は次のとおりです。

独立した事象に対する乗法規則の使用例

独立した事象に対する乗法規則の使用例

参考文献

条件付き確率と独立性。(nd)。フロリダ大学健康. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore、JL(1998)。工学と科学のための確率と統計。インターナショナル トムソン パブリッシャーズ SA

Frost, J. (2021 年 5 月 10 日)。確率を計算するための乗算規則。ジムによる統計。https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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