3 つ以上のセットが結合する確率

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


統計では、いくつかの異なるイベントの結合確率を計算する必要がある状況に直面することは非常に一般的です。たとえば、キャンディー ストアのオーナーは、次に彼の店に来る子供がホワイト チョコレート バーまたはミルク チョコレート バーを購入する確率を判断することに関心があるとします。この場合、2 つの可能なイベントのうちの 1 つが発生する確率を決定したいと考えています。これは、集合論によれば、両方のイベントの結合確率、つまり P(AUB) です。

説明されているケースでは、この確率の計算は、個々の確率の合計から、両方のイベント間の交差の確率を差し引いた単純なものです。つまり、次のようになります。

3 つ以上のセットが結合する確率

交差確率を減算する必要がある理由は、両方のイベントの確率を加算すると、交差が 2 回カウントされるためです。これは、理解するのが比較的簡単なプロセスです。ただし、2 つではなく 3 つ以上のイベントの結合確率を決定したい場合もあります。そのような場合はどうすればよいですか?次のセクションでは、3 つのイベントと 4 つのイベントの場合に適用する式を決定する簡単な方法を見ていきます。次に、これらの結果を上記の式と共に使用して、結合確率の決定を一般化します。イベント数に制限はありません。

基本のおさらい

結合確率を計算するプロセスを理解するには、後で使用するいくつかの重要な用語を簡単に思い出す必要があります。

実験。確率的には、実験とは、複数回繰り返すことができ、常に結果を生成するプロセスです。各実験は、常に同じになる可能性のある結果の特定のセットに関連付けられています。

結果。さいころを投げたときに出てくる特定の顔など、実験の結果を結果と呼びます。

サンプル空間 (S) . 実験のすべての可能な結果のセット。

イベント。可能な結果の任意のセット。

ベン図。一連のイベント間の関係、および実験におけるイベントの確率間の関係を示すグラフ表現。

3 つのイベントの結合確率

実験を行い、3**3 の異なるイベントのうちの 1 つが発生する確率を決定したいとします。これらのイベントは同時に発生する場合と発生しない場合があります。この 3 つのイベントを A、B、C と呼びます。

このような場合、いくつかの異なる状況が発生する可能性があります。たとえば、いずれのイベントも他のイベントと結果を共有しない場合があります。この場合、イベントは相互に排他的であると言えます。これは、次のベン図に例示されています。

3 つ以上の素集合の和集合の確率

円 A、B、および C は 3 つのイベントを表し、文字 S で識別される灰色の四角形であるサンプル空間内の一連の結果を囲みます。別のイベント:

3 つ以上のセットが結合する確率

一方、イベントの 1 つが他の 2 つのイベントの 1 つまたは両方と結果を共有することもあります。これは、互いに交差する領域としてベン図に示されます。

3 つのセットの結合の確率

このような場合、確率の合計はいくつかの結果を複数回考慮に入れるため、過大評価されたこれらの確率を差し引く必要があります。つまり、イベントの各ペア間の交差の確率を差し引く必要があります。ただし、3 つのイベントすべてに結果が存在する場合 (上記のベン図の中央にあるものなど)、ペアの交点を差し引くと、ペアが交差する中央領域の寄与が取り除かれます。このため、A、B、C の交差確率に対応するこの小さな領域を再度追加する必要があります。

最後に、3 つのイベントの結合確率は次のとおりです。

3 つのセットの結合の確率

注:この式は、3 つのイベントが互いに交差する特定のケースについて述べられていますが、交差するかどうかにかかわらず、3 つのイベントの任意のセットの結合確率に変換できるため、これは 3 つのイベントのケースのより一般的な形式です。か否か。たとえば、相互に排他的なイベントの場合、すべての交差確率はゼロであるため、式は、このセクションの最初に示した個々の確率の合計になります。

4 つのイベントの結合確率

ここで、新しい実験を行い、A、B、C、および D の 4 つのイベント間の結合の確率に関心があるとします。最も一般的なケースは、次の図に示すように、それらがすべて互いに交差する可能性があるということです。

4セットの結合確率

この場合、4 つの単純な確率の合計は、領域 I に含まれる結果の確率の 4 倍、領域 II、III、IV、および V の結果の確率の 3 倍、および領域 VI、VII、VIII、および領域の結果の 2 倍になります。 IX. これを修正するには、最初にすべてのペア (A と B、A と C、A と D、B と C、B と D、C と D) の交差確率を減算する必要があります。これにより、3 つのグループ (ABC、ABD、ACD、および BCD) の各グループの交差領域が何度も減算されるため、これらの領域を再度追加する必要があり、すべての領域が 1 回カウントされるまで繰り返します。

相互に排他的であるかどうかに関係なく、4 つのイベントの場合の結果は次のとおりです。

3 つ以上のセットが結合する確率

4 つを超えるイベントの結合確率

この時点までに、2 つ、3 つ、および 4 つのイベントの和集合確率の式の間のパターンをすでに検出できます。それらはすべて、単純な確率の合計から始まり、可能なすべてのイベントのペア間の交差確率を減算し、次に 3 つのイベントの各可能なグループの交差確率を加算するというように、交差を交互に加算および減算します。すべてのイベントの交差点に到達するまで、さらにイベントを実行します。イベント数が偶数の場合、この最後の交点は常に負 (減算) になり、イベント数が奇数の場合、常に正 (加算) になります。

参考文献

-広告-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

実数は?

確率の公理

円周の計算