ド・モルガンの法則とは?

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ロジックは数学の一分野であり、その一部は集合論です。ド・モルガンの法則は、集合間の相互作用に関する 2 つの公準です。これらの法則は、アリストテレスとウィリアム オブ オッカムの先例を記録しています。アウグストゥス・ド・モルガンは 1806 年から 1871 年の間に生き、彼が仮定した法則を数学的論理の形式的構造に含めた最初の人でした。

集合論における演算子

ド・モルガンの公準に移る前に、集合論のいくつかの定義を見てみましょう。

A と B と呼ぶ要素のセットが 2 つある場合、これら2 つのセット交点は 、両方のセットに共通する要素のセットです。2 つの集合の交点は記号 ∩ で表され、C と呼べる別の集合です。C = A∩B であり、C はグループ A とグループ B の両方に現れる要素の集合です。同様に、2 つの集合 A と B の結合は、A と B のすべての要素を含む新しい集合であり、次のように表記されます。シンボル U. 集合 C、A と B の結合、C = AUB は、A と B のすべての要素と統合された集合です。覚えなければならない 3 番目の定義は、集合の補数です : 要素の特定の宇宙とこの宇宙の集合 A がある場合、A の補集合は集合 A に属さないその宇宙の要素の集合です。A の補集合は A C と表されます

集合間のこれら 3 つの演算子は、複数の集合間の操作、つまり、複数の集合の交点、和集合、補数に一般化できます。簡単な例を見てみましょう。次の図は、3 つのセットのベン図を示しています。オウム、ダチョウ、アヒル、ペンギンで表される鳥。オウム、アヒル、蝶、トビウオに代表される飛ぶ生き物と、アヒル、ペンギン、トビウオ、クジラに代表される泳ぐ生き物。アヒルは、ダチョウ、オウム、蝶、アヒル、ペンギン、トビウオの 3 つのセットの交差セットです。空を飛ぶ鳥と生物の結合セットは、ダチョウ、オウム、蝶、アヒル、ペンギン、トビウオで構成されています。そして、空を飛ぶ生き物と泳ぐ生き物を補完するのは、ダチョウを含むセットです。

3 つのセットのベン図。
3 つのセットのベン図。

ド・モルガンの法則

ここで、ド・モルガンの法則の公準を確認できます。最初の公準は、2 つの集合 A と B の集合交差の補集合は、A の補集合と B の補集合の和集合に等しいと述べています。前の段落で定義した演算子を使用して、ド モルガンの第 1 法則を書くことができます次のように:

(A∩B) C = A C UB C

ド・モルガンの第 2 法則は、A と B の和集合の補集合は、A の補集合と B の補集合の交点に等しいと仮定し、次のように注意されます。

(AUB) C = A C ∩ B C

例を見てみましょう。0 から 5 までの整数のセットを考えてみましょう。これは [0,1,2,3,4,5] と表されます。この宇宙では、2 つの集合 A と B を定義します。A は数字 1、2、3 の集合です。A = [1,2,3]。YB は数値 2、3、および 4 のセットです。B = [2,3,4]。De Morgan の第 1 法則は次のように適用されます。

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

ド・モルガンの第一法則: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C U B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

等式の両側に演算子を適用した結果は、ド モルガンの第 1 法則が証明されたことを示しています。この例の 2 番目の公準への適用を見てみましょう。

ド・モルガンの第 2 法則: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

最初の公準と同様に、与えられた例ではド・モルガンの第 2 法則も適用されます。

ソース

AG ハミルトン。数学者のためのロジック。エディトリアル パラインフォ、マドリッド、1981 年。

カルロス・イヴォラ・カスティーリョ。論理と集合論2021年11月アクセス

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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