0 の階乗が 1 に等しいのはなぜですか?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


正の整数の階乗は、それ以下のすべての整数の積であり、記号!で示されます。. たとえば、4 の階乗は 4 と表されます。そして24に等しい:

4!= 1 × 2 × 3 × 4 = 24

特に、数値 0 の階乗 (つまり 0!) は 1 に等しいと定義されていますが、この値は階乗の定義から生じるものではなく、1 以上の整数に対してのみ有効です。ゼロを掛けた数値はゼロに等しいという数学的規則があるのに、数値 0 の階乗が 1 と定義されるのはなぜですか?

この状況が引き起こす可能性のある混乱を超えて、数値 0 の階乗の値は定義であることに注意する必要があります。つまり、数学的には 0! と定義されています。= 1. この定義の基礎を以下で見てみましょう。

0の階乗の定義

すでに述べたように、最初に注意すべきことは、数値 0 の階乗への値 1 の割り当て (0! = 1) が定義であるということです。階乗の定義で。

正の整数の階乗の定義は、それ以下のすべての整数の積であることを思い出してください。この定義は、階乗が、考慮している数以下の数のすべての可能な組み合わせに関連付けられていることも意味することに注意してください。

数値 0 にはそれより小さい正の整数はありませんが、それでも数値であり、数値 0 のみで構成されるこの特定の数値セットの可能な組み合わせは 1 つだけです。数値の場合と同様に、その組み合わせは 1 つです。 1.

この定義の数学的意味をよりよく理解するには、階乗の概念には、数値に含まれる他の情報、特にその要因の可能な順列も含まれることを考慮する必要があります。数字の 0 で表される空集合にも、この集合を順序付ける方法があると考えられます。

順列と階乗

階乗の概念は、組み合わせ論と呼ばれる数学の分野で使用されます。この分野では、要素の順列の概念が定義されています。順列は、特定のセットを構成する要素の特定かつ一意の順序です。たとえば、次の 6 つの方法でこれらの要素を記述できるため、3 つの要素を含む集合 {1, 2, 3} の 6 つの可能な順列があります。

  • 1、2、3
  • 1、3、2
  • 2、3、1
  • 2、1、3
  • 3、2、1
  • 3、1、2

この概念は、3, 3! の階乗表現で表現することもできます。= 6、これにより、3 つの要素のグループの順列の完全なセットを計算できます。同様に、4 つの要素を持つセットには 24 の順列 (4!=24) があり、5 つの要素を持つセットには 120 の可能な順列 (5!=120) があります。したがって、階乗の概念についての別の考え方は、階乗が自然数nに関連付けられているという考えを脇に置いて 、  n ! n個の要素からなる集合の順列の数です  。

数の階乗のこの新しい概念を考慮して、いくつかの例を見てみましょう。2 つの要素で構成されるセットには、2 つの可能な順列があります。{a, b} は、(a, b) または (b, a) として順序付けできます。これは、数 2 の階乗の定義に関連付けられています。2!= 2. 1 つの要素 {a} から構成される集合は、可能な順列を 1 つだけ持ち、数値 1 の階乗の定義に関連付けられます。1!= 1。

ここで、0 の階乗の場合に戻りましょう。要素が 0 で積分された集合を空集合と呼びます。0 の階乗の値を見つけるために、要素のないセットを並べ替える方法はいくつあるでしょうか? 1 つの答えは、空のセットには注文するものが何もないということかもしれませんが、空のセットでさえもセットであり、答えは 1 であり、したがって 0 であるという選択肢もあります。= 1。

階乗の他の応用

すでに述べたように、階乗の概念は組み合わせ論で使用され、この数学的ツールは、要素のグループの順列と組み合わせを表す式で計算を実行するために使用されます。これらのアプリケーションは、0 の階乗に 1 を割り当てることを直接的に正当化するものではありませんが、なぜこのように定義されているのかは理解できます。

要素のグループの組み合わせの概念は、考慮される順序に関係なく、それらで取得できるサブグループの数を指します。たとえば、セット {1, 2, 3} は、順序に関係なく、3 つの要素が取得された場合、結合は 1 つしかありません。しかし、それらを 2 つの要素で取ると、3 つの可能な組み合わせ {1, 3}、{2, 3}、および {1, 2} が得られます。これは、それらを 1 つの要素 {1}、{2} で取った場合と同様です。そして{3}。p個の要素のサブグループに含まれる特定のn個の要素のセットの反復なしの組み合わせの数を計算する一般式は、 C  ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.

この式を使って 3 要素 3 の組み合わせ数を求めると、 C  (3, 3) = 3で表される 1 になるはずです 。/ 3!(3-3)! = 3! / 3!0! であるため、0! を定義する必要があります。= 1 の場合、数式が意味を成します。

同様に、数字 0 の階乗を 1, 0! と定義する必要がある状況が他にもあります。= 1、新しいアイデアが構築され、新しい定義が組み込まれるとき、既存の構造との互換性がなければならないことを示す数学の開発における一般的な概念の一部として。

参考文献

ゼロ階乗または 0!。カーンアカデミー

0の階乗はありますか?YouTube チャンネルDrifting

-広告-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados

実数は?

確率の公理

円周の計算