サンプルと母集団の標準偏差の差

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標準偏差の計算では、 2 つの状況を考慮する必要があります。母集団または一連の値の標準偏差と、サンプルの標準偏差です。

2 つの定義に進む前に、標準偏差σ は一連の値の分散を評価できるパラメータであることを思い出してください。値のセットの平均が計算される場合、標準偏差は、セット内の値の平均からの差を評価します。そして、n個の値のセットの平均は、それらすべての合計をn個の値で割ったものとして定義されます。標準偏差σの計算に使用される一般式を以下に示します。分析するセットの各値から減算することで構成され、添え字iで注意します、すべての値の平均。これらの違いをそれぞれ 2 乗して加算します。結果をセット内の値の数から 1 を引いた値で割り、この値の平方根を計算します。

サンプルの標準偏差 σ。
サンプルの標準偏差 σ。

標準偏差の両方の定義で変動性が評価されますが、母集団での計算とサンプルでの計算には概念上の違いがあります。この違いは、統計変数と数学的パラメーターの違いに関係しています。母集団のすべてのメンバーからデータが収集されるか、定義されたデータ セットが調査される場合、これは母集団の標準偏差の計算になります。より大きな母集団からのサンプルを表すデータを分析している場合、それはサンプルの標準偏差の計算です。次の図は、違いをグラフィカルに示しています。母集団の標準偏差は、明確な値を持つ数学的パラメーターです。サンプルの標準偏差は、結果がより大きなセットに投影されるデータ セットを評価する統計パラメータです。この評価はサンプルに依存し、母集団の場合のように明確な値ではありません。

人口とサンプル。
人口とサンプル。

定性的には、定義の違いはわずかに異なる計算を意味します。サンプルの標準偏差の場合、前の式に示すように、各値と 2 乗平均の差を、値の数から 1 を引いた値 ( n – 1) で割ります。母集団の標準偏差の場合、それはnで除算されます。

アイデアを修正する例を見てみましょう。一連の値を取り、2 つの定義に従って標準偏差を計算してみましょう。グループは次のとおりで、次の5 つの値 ( n = 5) が含まれています。

1、2、4、5、8

これらの値の平均は、次の式を持ちます

(1 + 2 + 4 + 5 + 8)/5 = 20/5 = 4

各値の差と二乗平均は、次のシーケンスで表されます。

(1 – 4) 2 = 9

(2 – 4) 2 = 4

(4 – 4) 2 = 0

(5 – 4) 2 = 1

(8 – 4) 2 = 16

5 つの値の合計は 30 です。

母集団の標準偏差を計算する場合、この値をn (この例では 5)で割る必要があり、結果は6 になりますサンプルの標準偏差の場合、n – 1の間で割る必要があります。この場合は 4 で、結果は7.5です 。計算を完了するには、平方根を取得する必要があります。母集団の場合は約 2.4495、サンプルの場合は約 2.7386 です。

噴水

ヤドラ・ドッジ。統計の簡潔な百科事典。ニューヨーク:スプリンガー、2010年。

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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