標準偏差の計算方法を学ぶ

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ギリシャ文字 σ (シグマ) または文字Sで表される標準偏差は、データ系列の変動性の尺度です。より正確には、それは母平均に対するサンプルまたは母集団のデータの平均偏差の尺度を表し、したがって、データが前記中心傾向値の周りにどの程度分散しているかを示します。

標準偏差が高い場合は、平均して、データが両方向で平均から離れている (データが非常に分散している) ことを示し、標準偏差が小さい場合はその逆を示します。

標準偏差は、分散と呼ばれる変動性の別の尺度の平方根として常に計算されます。分散を計算するには、利用可能なデータの種類 (サンプルまたは母集団) に応じていくつかの方法があり、その結果、標準偏差を計算する方法が複数になります。

どちらの場合も、次のセクションで説明するわずかに異なる式が使用されます。以下では、それらのそれぞれを段階的に「手で」計算する方法について説明します。また、電卓と統計関数、および Excel や Google スプレッドシートなどのスプレッドシートを使用して、この重要な統計変数を計算する方法についても説明します。

標準偏差には2種類あります

統計では、母集団のすべてのデータが利用可能か、サンプルのデータのみが利用可能かによって、データ系列の 2 種類の記述尺度があります。母集団を記述するために使用されるこれらの尺度は母集団パラメーターと呼ばれ、通常はギリシャ文字で表されます。一方、サンプルを説明するパラメーターは統計と呼ばれ、通常は小文字で表されます。

このことから、標準偏差には次の 2 種類があります。

  • 母集団の標準偏差。ギリシャ文字σ (小文字のシグマ)で表される母集団パラメーターです。
  • サンプルの標準偏差。これは、文字Sで表される統計パラメーターです。

以下は、両方のタイプの標準偏差を計算するための式です。

母標準偏差 σ の計算式

母標準偏差の計算式

これらの式で、x i は個々のデータ項目の値を表し、μ は母集団の平均であり、nは母集団内のデータ項目の総数です。

サンプル標準偏差Sの計算式

サンプル標準偏差を計算する式

これらの方程式で、x i はサンプル内の個々のデータ項目の値を表し、¯x はサンプル平均、nはサンプル内のデータ項目の総数です。

2 つの標準偏差の計算方法における唯一の実際の違いは、一方の場合はnで除算され、他方の場合はn – 1で除算されることです。後者は、通常は同じではないサンプル平均と母平均の差を修正することです。

どの式を使用する必要がありますか?

どの式を使用するかを決定する際に考慮すべき唯一のことは、標準偏差を計算するデータが母集団のすべてのデータを表すか、サンプルのみを表すかです。これは通常、ステートメント (統計問題が解決されている場合) またはデータが取得された方法から明らかです。

ヒント:疑わしい場合は、母集団のすべてのデータを持っていることはめったにないため、これがサンプルであると想定するのが最も安全です。

σ または S の最初の式 (左の式) または 2 番目の式 (右の式) を使用する場合、どちらの場合も、示されている 2 つの式は同じ結果を示します。ただし、複雑に見えるかもしれませんが、右側の式を使用する方がより実用的です。理由は非常に単純です。標準偏差を計算するために必要な手順は、左側の式よりも右側の式の方が少ないからです。

「手で」標準偏差を計算する方法

以下に、プロセスを説明する例を使用して、標準偏差を計算するために実行する必要がある手順を示します。

問題

ガソリンスタンドで 15 台の自動車のサンプルが燃料タンクを満たすのにかかった時間を測定しました。秒単位で測定されたデータを以下に示します。

71 65 48 76 80
64 42 55 80 66
53 49 70 67 42

標準偏差を決定します。

解決策:この場合、ステートメントはデータがサンプルに対応することを指定しているため、標準 (サンプル) 偏差を決定するために使用する方程式は次のようになります。

サンプル標準偏差を計算する式 1 の例

この式を適用するには、データの合計 (∑X i )、データの 2 乗の合計 (∑X i 2 )、およびデータの総数 (n)を計算するだけです。これは、次の手順で簡単に実行できます。

ステップ 1: データを垂直に整理する

標準偏差の計算は、データを縦方向のリストに配置すると、次のステップが簡単になるため、簡単に計算できます。厳密に必要というわけではありませんが、式で使用する必要があるデータ項目の総数 (n) が簡単に得られるため、各データ項目を数字で識別するのにも役立ちます。データは順序付けする必要はありません。

# Xi _ x i 2
1 71  
2 65  
3 48  
4 76  
5 80  
6 64  
7 42  
8 55  
9 80  
10 66  
十一 53  
12 49  
13 70  
14 67  
15 42  

ステップ 2: 各データの 2 乗を計算する

次のステップは、個々のデータ項目を 2 乗して、結果をその隣の列に書き込むことです。

# Xi _ x i 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764年
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
十一 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
15 42 1764年

ステップ 3: すべての元データを合計する

X iとして識別する列に表示されるすべての値を追加し、その列の最後に結果を書き留めます。

ステップ 4: データのすべての正方形を追加し、結果を列の下部に書き込みます

X i 2として識別する列に表示されるすべての値を追加し、その列の最後に結果を書き留めます。手順 3 と 4 を実行すると、テーブルは次のようになります。

# Xi _ x i 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764年
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
十一 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
15 42 1764年
データ数 (n) データの合計 ( ∑X i ) 二乗和 ( ∑X i 2 )
15 928 59750

ステップ 5: 標準偏差の式を適用する

最後のステップは、それぞれの式の表の末尾にある値を置き換えるだけです。

式に値を代入して標準偏差を計算します

標準偏差を手計算した結果

統計電卓で標準偏差を計算する方法

ほとんどの科学計算機および財務計算機には、統計で使用される中心傾向と分散のすべての尺度の計算を容易にする特別な機能があります。電卓のモデルに関係なく、手順は常に同じです。

ステップ 1 – 統計モードに入る

通常、電卓には統計関数用の特別なモードがあります。これは通常、MODEボタンを押してからアクセスし、続いて画面のSTATSD (標準偏差) などの横に通常表示される数字を入力します。

ステップ 2 – メモリのクリーンアップ

古い電卓では、電卓のメモリに既にデータが保存されているかどうかは表示されないため、開始する前にメモリをクリアすることをお勧めします。これを行うには、 CLRまたはMCLキーを押してからMODEオプションを選択します(これにより、統計モードで保存されたデータのみが消去されます)。多くの場合、この手順の後、統計モードに再度入る必要があります。

ステップ 3: すべてのデータを入力する

すべてのデータは、間にDTDATAキーなどを押すことによって、1 つずつ順番に入力されます。

ステップ 4: 結果を取得する

最後のステップは、電卓に標準偏差を求めるだけです。結果が配置される場所は、電卓のモデルとブランドによって大きく異なります。SHIFTキーを押してからS-VAR aboveと書かれたキーを押さなければならないものもあれば、違うものもあります。計算機のマニュアルを参照することをお勧めします。

適切なメニューを取得したら、必要な 2 つの標準偏差のどちらを選択する必要があります。母集団データの場合は、σ または σ(n) というオプションを選択します。サンプル データの場合は、σ(n-1) または S というオプションを選択します。

Microsoft® Excel™ で標準偏差を計算する方法

標準偏差を計算する最も簡単な方法は、Excel や Google スプレッドシートなどのスプレッドシートを使用することです。これらのプログラムには、必要なさまざまな統計変数を計算するためのすべてのプロトコルが既に含まれています。これは、次の 2 つの簡単な手順で行います。

ステップ 1: データを貼り付けるか追加する

これは、データを 1 つずつ個別のセルに直接コピーするのと同じくらい簡単です (列、行、またはマトリックスの形式で、何でもかまいません)。この例の場合:

Excel などのスプレッドシートで標準偏差を計算する方法

ステップ 2: 必要な標準偏差の式を書きます

これは、使用されているスプレッドシートと設定されている言語によって異なります。Microsoft® Excel™、スペイン語版の場合、標準偏差の式は次のとおりです。

サンプル標準偏差 (S): =STDEV.M(データ1;データ2;…;データn)
人口標準偏差 (σ): =STDEV.P(データ1;データ2;…;データn)

個々のデータを入力する必要はありません。データが既に貼り付けられているセルを選択するだけです。この例では、データはセル B1 からセル F3 までの範囲にあり、B2:F3 と書かれています。

Excel などのスプレッドシートで標準偏差を計算する方法 - ステップ 2

最後に、 ENTERキーを押して準備完了です。標準偏差が得られます。

参考文献

  • Espinoza、CI、および Echecopar、AL (2020)。MS Excel を使用した統計アプリケーションとステップバイステップの例 (スペイン語版) (第 1)。リマ、ペルー: ルイス フェリペ アリズメンディ エケコパルとデュオ ネゴシオス SAC。
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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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