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Nella scienza e nell’ingegneria, l’errore percentuale , detto anche errore percentuale o errore percentuale relativo, esprime la differenza tra un valore determinato sperimentalmente o stimato e un valore noto, teorico o accettato-vero, come percentuale di quest’ultimo. In questo senso, l’errore percentuale è una misura relativa dell’accuratezza della stima o della determinazione sperimentale in questione, espressa in percentuale.
La percentuale di errore è solitamente rappresentata con il simbolo %E, EP (per Percentage Error) o ERP (per Relative Percentage Error), a seconda del campo di conoscenza in cui viene utilizzato. Come vedremo in questo articolo, può essere calcolato in diversi modi, a seconda dei dati disponibili.
Utilità degli errori percentuali
Essendo un errore relativo espresso in percentuale, la percentuale di errore ci permette di avere un’idea più chiara dell’entità dell’errore commesso durante una stima o durante una determinazione sperimentale di una certa entità di interesse.
Ad esempio, supponiamo che quando si riporta il numero di nuovi casi confermati durante una pandemia, il Paese A segnali 5.000 nuovi casi quando in realtà ne ha 10.000, mentre il Paese B segnali 45.000 nuovi casi quando ne ha effettivamente 50.000. Come si può vedere, entrambi i paesi hanno commesso un errore nel segnalare i nuovi casi, e in entrambi i casi l’errore è stato di 5.000 casi in meno rispetto a quelli reali.
Tuttavia, solo guardando i numeri è facile vedere che, nel complesso, il Paese B è stato più accurato del Paese A nella sua segnalazione poiché, rispetto al numero totale di casi effettivi (che è 50.000), l’errore è molto inferiore a l’errore per il paese A.
Nel caso di questo esempio, è molto facile stabilire quale dei due report fosse più accurato, poiché entrambi gli errori assoluti erano gli stessi e cambiava solo il numero effettivo di casi. Tuttavia, questo è raramente il caso e se sia il numero di casi effettivi che il numero di casi segnalati fossero stati diversi, il confronto non sarebbe stato così semplice.
È qui che sono utili gli errori relativi, e soprattutto la percentuale, grazie al fatto che tendiamo a trattare costantemente con le percentuali nella nostra giornata. Quando espresso in percentuale, l’entità dell’errore assoluto viene normalizzata in modo che due errori possano essere facilmente confrontati tra loro. Come vedremo tra poco, l’errore commesso dal paese A è stato del 50%, mentre quello del paese B è stato del 10%, da cui è chiaro che il paese B è stato molto più accurato nella sua segnalazione rispetto al paese A. .
Come si calcola l’errore percentuale?
A seconda dei dati di cui disponi, l’errore percentuale può essere calcolato in tre modi diversi:
- Il primo, basato sul valore stimato e sul valore accettato come reale.
- La seconda, basata sull’errore assoluto e sul valore accettato come reale.
- Il terzo, dal relativo errore.
È anche importante considerare il campo in cui viene calcolato l’errore. In alcuni casi, tutto ciò che conta è l’entità dell’errore percentuale, ma il suo segno non ha importanza. D’altra parte, in altri casi il segno dell’errore è una parte essenziale che permette di prendere decisioni, poiché un errore al di sopra del valore reale può non essere qualcosa di grave, ma un errore al di sotto lo è.
Calcolare la percentuale di errore è semplice come applicare la formula appropriata. Successivamente, mostriamo le diverse formule che possono essere utilizzate per questo scopo.
Formule del tasso di errore
Dal valore stimato e dal valore accettato come reale
Nel caso in cui sia noto il valore reale della grandezza misurata o stimata, la formula per trovare la percentuale di errore è:
Questa formula può essere scritta in modi diversi per ogni caso, a seconda della grandezza di cui si sta calcolando l’errore. Ad esempio, se stai calcolando l’errore percentuale nel peso di una scatola di cereali su una linea di produzione, la formula potrebbe essere scritta come:
Se l’errore calcolato si riferisce alla determinazione della densità di un campione di una sostanza nota come ferro, ad esempio, la formula per trovare l’errore percentuale sarebbe:
e così via.
Dall’errore assoluto e dal valore accettato come reale
Nella formula dell’errore percentuale, la differenza tra il valore stimato o sperimentale e il valore effettivo che compare al numeratore rappresenta l’errore assoluto (E). Quindi, questa formula può anche essere scritta come:
Dal relativo errore
Nella formula precedente, il rapporto tra l’errore assoluto e il valore effettivo corrisponde all’errore relativo (ER), quindi l’errore percentuale può essere calcolato anche semplicemente moltiplicando l’errore relativo per 100:
Il segno dell’errore percentuale e il valore assoluto
Quando si calcola un errore percentuale utilizzando una delle formule precedenti, esiste la possibilità che il risultato sia positivo o negativo, a seconda che il valore stimato sia maggiore o minore del valore effettivo.
Quando un errore percentuale è positivo, significa che il valore stimato è maggiore di quanto dovrebbe essere, quindi siamo in presenza di un eccesso di errore .
Diversamente, se il valore sperimentale o stimato è inferiore a quello che dovrebbe essere, l’errore percentuale sarà negativo, nel qual caso siamo in presenza di un default error .
In molte occasioni sapere se l’errore è dovuto ad eccesso o carenza non è importante, ed è preferibile ottenere solo risultati positivi. In questi casi al numeratore viene aggiunto un valore assoluto:
Come viene calcolato un errore percentuale in un campione?
È importante notare il fatto che, nella maggior parte delle situazioni sperimentali, il vero valore di ciò che stiamo misurando non è realmente noto. Ad esempio, potremmo determinare la densità di una sostanza sconosciuta, quindi non abbiamo uno standard per confrontare e calcolare l’errore.
In queste situazioni, il “vero valore” sconosciuto viene stimato attraverso la media di misurazioni sperimentali della stessa grandezza. Tale media campionaria è quella che viene assunta come valore reale per determinare la percentuale di errore di una qualsiasi delle singole misure effettuate. In questo caso, la formula sarebbe simile a questa:
dove %E i è l’errore percentuale dell’i – esima misura sperimentale, x i è l’ i -esima misura sperimentale e x̄ è il valore medio di tutte le misure sperimentali.
Esempi di calcolo dell’errore percentuale
Esempio 1: Città A e B
Calcoliamo i tassi di errore delle segnalazioni di nuovi casi nelle città A e B dall’esempio precedente. Nel caso della città A, il valore stimato o segnalato era di 5.000 casi mentre il numero effettivo di casi è 10.000 Applicando la formula del tasso di errore:
Per la città B, il numero di casi segnalati era 45.000, mentre il numero effettivo era 50.000, quindi il tasso di errore per il rapporto B è:
Si noti che in entrambi i casi l’errore è predefinito poiché era negativo e che il report della città B è più accurato di quello della città A.
Esempio 2: zero assoluto
In un laboratorio didattico di chimica generale, gruppi di tre studenti effettuano la determinazione della temperatura, in gradi centigradi, corrispondente allo zero assoluto. Il risultato di uno dei gruppi è stato di -275,32°C. Sapendo che il valore reale è -273,15°C, determinare la percentuale di errore L’errore era dovuto a eccesso o carenza?
Soluzione:
Questo esempio evidenzia l’importanza di stare attenti ai segni e di ricordare che nel denominatore il valore assoluto è necessario per far sì che il segno dell’errore sia determinato solo dal numeratore.
Si conclude che si tratta di un errore predefinito.
Esempio 3: Un campione di 10 dati sperimentali
È stata effettuata la determinazione sperimentale dei pesi sgocciolati di 10 scatolette di tonno sott’olio prelevate dagli scaffali di un supermercato. I singoli pesi sono presentati nella tabella seguente. Determina l’errore percentuale nel peso della prima lattina.
Yo | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
X io (g) | 154 | 142 | 158 | 131 | 165 | 140 | 144 | 151 | 156 | 139 |
In questo caso non si conosce il reale valore del peso sgocciolato del contenuto delle scatolette di tonno, quindi il massimo che si può fare è stimare tale valore mediante la media dei dieci campioni. Tale media è, in questo caso, x̄ = 148 g, quindi, applicando la formula:
In questo caso il campione 1 presenta un errore assoluto per eccesso prossimo al 4%.
Riferimenti
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Skoog, DA, West, DM, Holler, J. e Crouch, SR (2021). Fondamenti di chimica analitica (9a ed.). Boston, Massachusetts: Cengage Learning.