Impara a calcolare la deviazione standard

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La deviazione standard, rappresentata dalla lettera greca σ (sigma) o dalla lettera S , è una misura della variabilità di una serie di dati. Più precisamente, rappresenta una misura degli scostamenti medi dei dati di un campione o di una popolazione rispetto alla media della popolazione, indicando così quanto è disperso il dato attorno a detto valore di tendenza centrale.

Una deviazione standard elevata indica che, in media, i dati sono lontani dalla media in entrambe le direzioni (i dati sono molto sparsi), mentre una deviazione standard piccola indica il contrario.

La deviazione standard viene sempre calcolata come radice quadrata di un’altra misura di variabilità, chiamata varianza. Esistono diversi modi per calcolare la varianza a seconda del tipo di dati disponibili (campione o popolazione), il che si traduce in più di un modo per calcolare la deviazione standard.

In entrambi i casi vengono utilizzate formule leggermente diverse, descritte nella sezione successiva. Di seguito viene descritto come calcolare ciascuno di essi passo dopo passo e “a mano”. Descrive inoltre come utilizzare calcolatrici con funzioni statistiche e fogli di calcolo come Excel o Fogli Google per calcolare questa importante variabile statistica.

Esistono due tipi di deviazione standard

In statistica esistono due tipi di misure descrittive di una serie di dati, a seconda che siano disponibili tutti i dati di una popolazione o solo quelli di un campione. Quelle misure utilizzate per descrivere la popolazione sono chiamate parametri della popolazione e sono solitamente rappresentate con lettere greche. Nel frattempo, i parametri che descrivono un campione sono chiamati statistiche e sono solitamente rappresentati con lettere minuscole.

In considerazione di ciò, esistono due tipi di deviazione standard:

  • La deviazione standard della popolazione , che è un parametro della popolazione rappresentato dalla lettera greca σ (sigma minuscolo).
  • La deviazione standard del campione , che è un parametro statistico rappresentato dalla lettera S.

Di seguito sono riportate le formule per il calcolo di entrambi i tipi di deviazione standard.

Formule per calcolare la deviazione standard della popolazione σ

Formula per calcolare la deviazione standard della popolazione

In queste equazioni x i rappresenta il valore di ogni singolo elemento di dati, μ è la media della popolazione e n è il numero totale di elementi di dati nella popolazione.

Formule per calcolare la deviazione standard del campione S

Formula per calcolare la deviazione standard del campione

In queste equazioni x i rappresenta il valore di ogni singolo elemento di dati nel campione, ¯x è la media campionaria e n è il numero totale di elementi di dati nel campione.

L’unica vera differenza nel modo in cui vengono calcolate le due deviazioni standard è che in un caso è divisa per n, mentre nell’altro è divisa per n – 1 . Quest’ultimo serve a correggere la differenza tra la media campionaria e la media della popolazione, che di solito non coincidono.

Quale formula dovrebbe essere usata?

L’unica cosa da considerare nel decidere quale delle formule utilizzare è se i dati per i quali deve essere calcolata la deviazione standard rappresentano tutti i dati in una popolazione o rappresentano solo un campione. Questo di solito è evidente dall’affermazione (nel caso in cui si stia risolvendo un problema statistico) o dal modo in cui i dati sono stati ottenuti.

SUGGERIMENTO: In caso di dubbio, è più sicuro presumere che si tratti di un campione, poiché raramente si dispone di tutti i dati per una popolazione.

Per quanto riguarda l’utilizzo della prima (quella a sinistra) o della seconda (quella a destra) formula per σ o per S, in entrambi i casi le due equazioni riportate danno lo stesso risultato. Tuttavia, è più pratico utilizzare la formula a destra, anche se può sembrare più complicata. Il motivo è molto semplice: sono necessari meno passaggi per calcolare la deviazione standard con le formule a destra rispetto a quelle a sinistra.

Come calcolare la deviazione standard “a mano”

Di seguito presentiamo i passaggi che devono essere eseguiti per calcolare la deviazione standard, utilizzando un esempio per illustrare il processo.

Problema

È stato determinato il tempo impiegato da un campione di 15 vetture per riempire il serbatoio di carburante in una stazione di servizio. I dati, misurati in secondi, sono presentati di seguito:

71 65 48 76 80
64 42 55 80 66
53 49 70 67 42

Determina la deviazione standard.

Soluzione: in questo caso, l’affermazione specifica che i dati corrispondono a un campione, quindi l’equazione che useremo per determinare la deviazione standard (campione) sarà:

Esempio di formula uno per calcolare la deviazione standard del campione

Per applicare questa formula, dobbiamo solo calcolare la somma dei dati (∑X i ), la somma dei quadrati dei dati (∑X i 2 ) e il numero totale di dati (n). Ciò è facilmente realizzabile attraverso i seguenti passaggi:

Passaggio 1: organizza i dati verticalmente

Il calcolo della deviazione standard è più semplice se i dati sono disposti in un elenco verticale, in quanto semplifica i passaggi successivi. Non è strettamente necessario, ma aiuta anche ad avere ogni elemento di dati identificato con un numero, in quanto fornisce facilmente il numero totale di elementi di dati (n) che è necessario per la formula da utilizzare. I dati non necessitano di essere ordinati in alcun modo.

# X i x io 2
1 71  
2 65  
3 48  
4 76  
5 80  
6 64  
7 42  
8 55  
9 80  
10 66  
undici 53  
12 49  
13 70  
14 67  
quindici 42  

Passaggio 2: calcola il quadrato di ciascun dato

Il passaggio successivo consiste nell’elevare al quadrato ogni singolo elemento di dati e quindi scrivere il risultato in una colonna accanto ad esso.

# X i x io 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
undici 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
quindici 42 1764

Passaggio 3: somma tutti i dati originali

Aggiungiamo tutti i valori che compaiono nella colonna che identifichiamo come X i e annotiamo il risultato alla fine di quella colonna.

Passaggio 4: aggiungi tutti i quadrati dei dati e scrivi il risultato in fondo alla colonna

Sommiamo tutti i valori che compaiono nella colonna che identifichiamo come X i 2 e annotiamo il risultato alla fine di quella colonna. Dopo aver eseguito i passaggi 3 e 4, la tabella sarà simile a questa:

# X i x io 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
undici 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
quindici 42 1764
Numero di dati (n) Somma dei dati ( ∑X i ) Somma dei quadrati ( ∑X i 2 )
quindici 928 59750

Passaggio 5: applicare la formula della deviazione standard

L’ultimo passaggio consiste semplicemente nel sostituire i valori alla fine della tabella nella rispettiva formula:

Sostituisci i valori nella formula per calcolare la deviazione standard

Risultato del calcolo manuale della deviazione standard

Come calcolare la deviazione standard con il calcolatore statistico

La maggior parte dei calcolatori scientifici e finanziari ha funzioni speciali per facilitare il calcolo di tutte le misure di tendenza centrale e dispersione utilizzate nelle statistiche. La procedura, indipendentemente dal modello di calcolatrice, è sempre la stessa:

Passaggio 1: accedere alla modalità Statistiche

Le calcolatrici di solito hanno una modalità speciale per le funzioni statistiche. Di solito si accede premendo il pulsante MODE seguito da un numero che di solito appare sullo schermo accanto a STAT , SD (per deviazione standard ) o qualcosa di simile.

Passaggio 2: ripulire la memoria

Sulle calcolatrici meno recenti non viene visualizzato se ci sono già dati memorizzati nella memoria della calcolatrice, quindi è sempre una buona idea cancellare la memoria prima di iniziare. Per fare ciò, premere il tasto CLR o MCL e quindi selezionare l’ opzione MODE (questo cancellerà solo i dati memorizzati nella modalità statistica). In molti casi è necessario rientrare in modalità statistica dopo questo passaggio.

Passaggio 3: inserisci tutti i dati

Tutti i dati vengono inseriti in sequenza, uno per uno, premendo in mezzo il tasto DT , DATA o simili.

Passaggio 4: ottenere il risultato

L’ultimo passo è semplicemente chiedere alla calcolatrice la deviazione standard. La posizione dei risultati varia notevolmente tra i modelli e le marche di calcolatrici. In alcuni devi premere il tasto SHIFT seguito dal tasto che dice S-VAR sopra , in altri è diverso. Si consiglia di fare riferimento al manuale della calcolatrice.

Una volta ottenuto il menu giusto, dobbiamo selezionare quale delle due deviazioni standard ci serve. Se si tratta di dati sulla popolazione, selezioniamo l’opzione che dice σ o σ(n). Se si tratta di dati di esempio, selezioniamo l’opzione che dice σ(n-1) o S.

Come calcolare la deviazione standard in Microsoft® Excel™

Il modo più semplice per calcolare la deviazione standard è tramite fogli di calcolo come Excel o Fogli Google. Questi programmi hanno già tutti i protocolli per calcolare le diverse variabili statistiche di cui potremmo aver bisogno. Questo viene fatto in due semplici passaggi:

Passaggio 1: incolla o aggiungi i dati

È semplice come copiare i dati direttamente, uno per uno in celle separate (sotto forma di colonne, righe o matrici, non importa cosa). Nel caso del nostro esempio:

Come calcolare la deviazione standard in fogli di calcolo come Excel

PASSO 2: Scrivi la formula per la deviazione standard di cui abbiamo bisogno

Ciò dipende dal foglio di calcolo utilizzato e dalla lingua in cui è impostato. Nel caso di Microsoft® Excel™, versione spagnola, le formule per la deviazione standard sono:

Campione di deviazione standard (S): =DEV.ST.M(dato 1; dato 2;…;dato n)
Deviazione standard della popolazione (σ): =DEV.ST.P(dato 1; dato 2;…;dato n)

Non è necessario inserire i singoli dati, basta selezionare le celle in cui sono già stati incollati i dati. Nel nostro esempio, i dati sono nell’intervallo dalla cella B1 alla cella F3, che è scritta come B2:F3.

Come calcolare la deviazione standard in fogli di calcolo come Excel - Passaggio 2

Infine, il tasto ENTER viene premuto e READY! Si ottiene la deviazione standard.

Riferimenti

  • Espinoza, CI, & Echecopar, AL (2020). Applicazioni statistiche che utilizzano MS Excel con esempi passo-passo (edizione spagnola) (1a ed .). Lima, Perù: Luis Felipe Arizmendi Echecopar e Duo Negocios SAC.
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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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