Probabilità di unione di tre o più insiemi

In statistica è molto comune trovarsi di fronte a situazioni in cui si vuole calcolare la probabilità di unione di più eventi diversi. Ad esempio, il proprietario di un negozio di caramelle potrebbe essere interessato a determinare qual è la probabilità che il prossimo bambino che entra nel suo negozio acquisti una tavoletta di cioccolato bianco o una tavoletta di cioccolato al latte. In questo caso, vogliamo determinare la probabilità che si verifichi uno dei due possibili eventi, che, secondo la teoria degli insiemi, è la probabilità di unione di entrambi gli eventi, o P(AUB).

Nel caso descritto, il calcolo di tale probabilità consiste semplicemente nella somma delle singole probabilità, meno la probabilità dell’intersezione tra i due eventi, ovvero:

Il motivo per cui la probabilità di intersezione deve essere sottratta è che sommando le probabilità di entrambi gli eventi, ogni intersezione viene contata due volte. Questo è un processo relativamente semplice da capire. Tuttavia, può anche accadere che si voglia determinare la probabilità di unione non di due, ma di tre o più eventi. Cosa si dovrebbe fare in questi casi? Nella prossima sezione vedremo un modo semplice per determinare la formula da applicare nei casi a tre eventi e quattro eventi, quindi utilizzeremo questi risultati, insieme alla formula precedente, per generalizzare la determinazione della probabilità di unione per qualsiasi numero di eventi.

Recensione di base

Per comprendere il processo di calcolo delle probabilità di unione, è necessario richiamare brevemente alcuni termini importanti che verranno utilizzati in seguito:

esperimento . In probabilità, un esperimento è qualsiasi processo che può essere ripetuto più volte e produce sempre un risultato. Ogni esperimento è associato a un certo insieme di possibili risultati che saranno sempre gli stessi.

Risultato . Chiameremo risultato la conseguenza di un esperimento, come la particolare faccia che viene fuori quando si lancia un dado.

Spazio campionario (S) . L’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento.

evento . Qualsiasi insieme di possibili risultati.

Diagramma di Venn . Rappresentazione grafica che mostra le relazioni tra insiemi di eventi e tra la probabilità degli eventi in un esperimento.

La probabilità di unione di tre eventi

Supponiamo di eseguire un esperimento e di voler determinare la probabilità che si verifichi uno di 3**3tre diversi eventi, che possono o meno verificarsi contemporaneamente. Chiameremo questi tre eventi A, B e C.

In questi casi possono verificarsi diverse situazioni. Ad esempio, può accadere che nessuno degli eventi condivida i risultati con nessun altro, nel qual caso diciamo che gli eventi si escludono a vicenda, il che è esemplificato nel seguente diagramma di Venn:

I cerchi A, B e C rappresentano i tre eventi e racchiudono un insieme di risultati all’interno dello spazio campionario, che è il rettangolo grigio identificato con la lettera S. In questi casi la probabilità di unione è data semplicemente dalla somma delle probabilità di ogni evento separato:

D’altra parte, uno degli eventi può anche condividere i risultati con uno degli altri due eventi, o anche con entrambi. Questo è illustrato in un diagramma di Venn come aree che si intersecano tra loro.

In questi casi, la somma delle probabilità tiene conto di alcuni esiti più di una volta, quindi è necessario sottrarre queste probabilità che sono state sovrastimate. Cioè, dobbiamo sottrarre la probabilità dell’intersezione tra ciascuna coppia di eventi. Tuttavia, nei casi in cui sono presenti esiti in tutti e tre gli eventi (come quelli al centro del diagramma di Venn sopra), la sottrazione delle intersezioni delle coppie rimuove il contributo dell’area centrale in cui le coppie si intersecano. Per questo motivo dobbiamo aggiungere nuovamente questa piccola area che corrisponde alla probabilità di intersezione di A, B e C.

Infine, la probabilità di unione dei tre eventi è:

NOTA: Sebbene questa espressione sia stata dichiarata per il caso particolare in cui i tre eventi si intersecano, questa è la forma più generale del caso di tre eventi poiché può essere convertita nella probabilità di unione di qualsiasi insieme di tre eventi, indipendentemente dal fatto che si intersechino o no. Ad esempio, nel caso di eventi che si escludono a vicenda, tutte le probabilità di intersezione sono zero, quindi l’espressione si riduce alla somma delle probabilità individuali mostrate all’inizio di questa sezione.

La probabilità di unione di quattro eventi

Supponiamo ora di effettuare un nuovo esperimento e di essere interessati alla probabilità di unione tra quattro eventi: A, B, C e D. Il caso più generale è che essi possano intersecarsi tutti tra loro, come mostrato nel diagramma seguente:

In questo caso, la somma delle quattro probabilità semplici conta quattro volte la probabilità degli esiti contenuti nell’area I, tre volte quella delle aree II, III, IV e V, e due volte quella delle aree VI, VII, VIII e V. IX. Per correggere questo, dobbiamo prima sottrarre le probabilità di intersezione di tutte le coppie (A e B, A e C, A e D, B e C, B e D, e C e D). Questo, a sua volta, sottrae troppe volte le regioni di intersezione di ogni gruppo di tre (ABC, ABD, ACD e BCD), quindi queste aree devono essere aggiunte di nuovo, e così via finché tutte le aree non vengono contate una volta sola.

Il risultato per il caso di quattro eventi, mutuamente esclusivi o meno, è:

Probabilità di unione di più di quattro eventi

Fino a questo punto possiamo già rilevare uno schema tra le formule per le probabilità di unione di due, tre e quattro eventi. Iniziano tutte con la somma delle probabilità semplici, quindi sottraggono le probabilità di intersezione tra tutte le possibili coppie di eventi, quindi sommano le probabilità di intersezione di ogni possibile gruppo di tre eventi e così via, sommando e sottraendo alternativamente le intersezioni tra più e più eventi fino a raggiungere l’intersezione di tutti gli eventi. Per un numero pari di eventi, quest’ultima intersezione è sempre negativa (sottratta) mentre, per un numero dispari di eventi, è sempre positiva (aggiunta).

Riferimenti

• Arrizabalaga R., M. (2015, settembre). TEORIA DELLA PROBABILITA’ . UNIVERSITÀ STATALE AUTONOMA DEL MESSICO. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
• Devore, J. (2002). Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze (5a ed.). Thompson International.
• Manuel, M. (2020, 1 luglio). Probabilità dell’unione di eventi . Matematica facile. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
• Marta, M. (2021, 27 marzo). Unione di eventi o occorrenze . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html