Rumus mencari momen inersia

Momen inersia rotasi atau, sederhananya, inersia rotasi, adalah besaran fisik skalar yang khas untuk benda apa pun yang memiliki massa, dan mengukur seberapa sulit membuatnya berputar di sekitar sumbu rotasi tertentu. Ini adalah ekuivalen rotasi dari inersia linier dan, dengan demikian, ini adalah kuantitas yang menyatakan kesulitan dalam mengubah kecepatan suatu objek, apakah itu diam atau bergerak, dengan perbedaan bahwa, dalam hal ini, Ini tentang sudut kecepatan.

Kuantitas ini sangat penting dalam deskripsi gerakan rotasi karena memungkinkan kita untuk memahami perbedaan perilaku benda yang, meskipun memiliki bentuk dan massa luar yang sama, berperilaku berbeda ketika mengalami gaya torsi, yang cenderung membuatnya. putaran. Perbedaan ini muncul dari perbedaan distribusi massa benda di sekitar sumbu rotasi. Di atas menyiratkan bahwa benda yang sama dapat memiliki momen inersia rotasi yang berbeda tergantung pada posisinya relatif terhadap sumbu rotasi, sehingga menimbulkan rumus yang berbeda untuk menghitung momen inersia.

Setelah mengatakan hal di atas, jelaslah bahwa ada banyak rumus untuk mencari momen inersia sebanyak mungkin bentuk benda dan sumbu rotasi yang ada. Namun, ada beberapa kasus bentuk geometris biasa yang berputar di sekitar sumbu yang muncul secara alami dalam praktiknya. Pada bagian berikut, kita akan melihat rumus paling penting untuk menentukan momen inersia rotasi benda-benda ini.

Rumus momen inersia partikel titik

Momen inersia partikel titik sesuai dengan definisi awal kuantitas fisik ini. Ungkapan ini berasal dari ungkapan untuk energi kinetik rotasi ketika ditulis dalam bentuk kecepatan sudut, w.

Misalkan kita memiliki partikel bermassa m berputar di sekitar sumbu pusat seperti berikut:

Energi kinetik partikel ini, seperti partikel bergerak lainnya, ditentukan oleh setengah produk antara massanya dan kecepatannya (besarnya kecepatannya) yang dinaikkan menjadi kuadrat, yaitu 1/2 mv ² . Namun, jika satu-satunya gerakan yang dijelaskan partikel ini adalah rotasi di sekitar sumbu (tidak ada translasi), kita dapat menyatakan kecepatan linier partikel sebagai fungsi dari kecepatan sudutnya, dengan menulis v = rω. Dengan melakukan ini, energi kinetik, yang dalam hal ini adalah energi kinetik rotasi eksklusif, dinyatakan sebagai:

Dimana momen inersia, I , partikel didefinisikan sebagai:

Dalam ungkapan ini, m adalah massa partikel titik dan r adalah jari-jari rotasi atau, yang sama, jarak dari sumbu rotasi ke partikel.

Rumus momen inersia kumpulan partikel titik

Misalkan sekarang kita tidak memiliki partikel tunggal yang berputar mengelilingi sumbu, tetapi kita memiliki sistem yang terdiri dari n partikel, masing-masing dengan massa tertentu, m i , _dan masing-masing berputar dengan jarak r _i dari sumbu rotasi , seperti sistem tiga partikel yang ditunjukkan di bawah ini.

Jika kita ingin menghitung energi kinetik total sistem ini, kita hanya perlu menjumlahkan energi kinetik dari masing-masing partikel. Jika kita memperluas ide ini ke kasus umum n partikel dan mengasumsikan bahwa mereka semua bergerak dengan kecepatan sudut yang sama (karena mereka berotasi bersama), maka total energi kinetik rotasi sistem akan diberikan oleh:

Dari sini dapat disimpulkan bahwa momen inersia total dari sistem n partikel yang berputar bersama mengelilingi sumbu yang sama, masing-masing dengan massanya sendiri dan jari-jari girasinya sendiri, diberikan oleh:

Rumus ini berlaku baik untuk partikel titik maupun partikel berbentuk bola dengan berbagai ukuran, selama sumbu rotasi berada di luar bola. Jika kondisi ini terpenuhi, maka jari-jari sesuai dengan jarak antara sumbu dan pusat bola dan massa sesuai dengan massa total bola.

Rumus integral momen inersia benda tegar

Rumus momen inersia di atas berlaku untuk sistem yang dibentuk oleh partikel titik dan diskrit. Namun, itu dapat diperluas ke benda kaku yang memiliki distribusi massa yang kontinu, seperti yang terjadi kira-kira dengan benda makroskopik.

Dalam kasus ini, menghitung momen inersia terdiri dari membagi benda menjadi elemen bermassa kecil (Δm _i ), masing-masing terletak pada jarak r _i dari sumbu rotasi, dan kemudian menerapkan persamaan sebelumnya. Namun, jika kita mendorong ukuran elemen massa hingga batasnya menjadi elemen yang sangat kecil atau diferensial massa (dm), maka penjumlahannya menjadi integral, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Ini adalah ungkapan umum untuk mencari momen inersia benda tegar, apapun bentuknya, atau distribusi massanya. Dalam kebanyakan kasus, untuk melakukan integrasi, elemen massa, dm , diganti dengan produk kerapatan benda dikalikan dengan diferensial volume, dV . Hal ini memungkinkan dilakukannya integrasi pada seluruh volume benda tegar, bahkan jika distribusi massanya tidak seragam (selama diketahui bagaimana ia bervariasi tergantung pada posisinya).

Dalam hal ini, ekspresi integral dari momen inersia menjadi:

Selanjutnya, kami akan menyajikan hasil integrasi persamaan sebelumnya untuk berbagai benda tegar dengan bentuk teratur seperti cincin, silinder, bola, dan lain-lain. Dalam semua kasus yang dijelaskan di bawah ini, dimensi dan massa benda yang dianggap diwakili dengan huruf kapital, untuk membedakannya dari variabel integrasi.

Rumus momen inersia cincin seragam tipis dengan jari-jari R terhadap sumbu pusatnya

Salah satu kasus paling sederhana ketika mengintegrasikan persamaan sebelumnya adalah cincin seragam yang berputar di sekitar pusat simetrinya. Gambar berikut menunjukkan kasus ini.

Dalam kasus khusus di mana ketebalan cincin dapat diabaikan dibandingkan dengan jari-jarinya, kita dapat menganggapnya sebagai massa yang terdistribusi sepanjang keliling tanpa ketebalan, sehingga semua elemen massa pada dasarnya memiliki jari-jari yang sama, dalam kasus ini, R. Mengingat kondisi ini, jari-jari meninggalkan integral, hanya menyisakan integral massa diferensial, dm, yang merupakan massa cincin, M. Hasilnya adalah:

Dalam ungkapan ini, CM menunjukkan bahwa itu adalah momen inersia terhadap pusat massanya.

Rumus momen inersia bola padat dengan jari-jari R berputar di sekitar pusatnya

Dalam kasus bola padat dengan jari-jari R dan kerapatan seragam, yang berputar di sekitar salah satu diameternya (sumbu yang melewati pusatnya) seperti yang ditunjukkan di bawah ini, integral sebelumnya dapat diselesaikan dengan berbagai cara , di antaranya adalah menggunakan sistem koordinat bola.

Hasil integrasi dalam kasus ini adalah:

Rumus momen inersia kulit bola berjari-jari dalam R ₁ dan berjari-jari luar R ₂ terhadap pusatnya

Jika alih-alih bola padat itu adalah bola berongga atau cangkang bola dengan dinding tebal, kita harus mempertimbangkan dua jari-jari, eksternal dan internal. Ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Dalam kasus ini, solusinya adalah menganggap kulit bola sebagai bola berjari-jari R2 dari mana bola dari bahan yang sama telah dipindahkan dari pusatnya yang berjari-jari R1. Setelah menentukan massa bola besar dan massa bola kecil yang ditarik melalui kerapatan cangkang aslinya, inersia kedua bola dikurangi untuk mendapatkan:

Rumus momen inersia kulit bola tipis berjari-jari R terhadap pusatnya

Jika ketebalan cangkang bola dapat diabaikan dibandingkan dengan jari-jarinya atau, yang sama, bahwa R ₁ secara praktis sama dengan R ₂ , kita dapat menghitung momen inersia seolah-olah itu adalah distribusi massa permukaan, semuanya terletak pada jarak R dari pusat.

Dalam hal ini kita memiliki dua pilihan. Yang pertama adalah menyelesaikan integral dari awal. Yang kedua adalah mengambil hasil sebelumnya, yaitu kulit bola tebal, dan mendapatkan batas ketika R1 cenderung ke R2. Hasilnya adalah sebagai berikut:

Rumus momen inersia batang tipis dengan panjang L terhadap sumbu tegak lurus melalui pusat massanya

Ketika kita memiliki batang tipis, pada dasarnya, kita dapat menganggapnya sebagai distribusi massa linier, terlepas dari bentuk profilnya (yaitu, terlepas dari apakah itu silinder, persegi, atau bentuk batang lainnya). Dalam kasus ini, satu-satunya hal yang penting adalah adonan didistribusikan secara merata di sepanjang batang.

Dalam hal ini, momen inersia dinyatakan sebagai:

Rumus momen inersia batang tipis dengan panjang L terhadap sumbu tegak lurus melalui salah satu ujungnya

Ini adalah kasus yang sama seperti di atas, tetapi dengan seluruh batang berputar mengelilingi sumbu tegak lurus dari satu ujung:

Karena massa batang, rata-rata, berada pada jarak yang lebih jauh dari sumbu rotasi, momen inersia akan lebih besar. Faktanya, ini empat kali lebih besar dari kasus sebelumnya, seperti yang ditunjukkan oleh ungkapan berikut:

Perhatikan bahwa dalam kasus ini sumbu tidak melewati pusat massa, sehingga subskrip CM dari simbol momen inersia telah dihilangkan.

Rumus momen inersia batang silinder padat dengan jari-jari R terhadap sumbu pusatnya

Kasus ini diselesaikan dengan cara yang sangat sederhana menggunakan sistem koordinat silinder dan menganggap silinder seolah-olah dibentuk oleh cangkang silinder konsentris dengan panjang yang sama, tetapi dengan jari-jari yang berbeda. Kemudian jari-jari diintegrasikan dari r = 0 sampai r = R.

Hasil dari proses ini adalah rumus inersia batang silinder, yaitu:

Perlu dicatat bahwa, karena hasil ini tidak bergantung pada panjang silinder, persamaan yang sama dapat digunakan untuk kasus piringan bundar.

Rumus momen inersia silinder berongga dengan jari-jari dalam R ₁ dan jari-jari luar R ₂ terhadap sumbu pusatnya

Kasing ini mirip dengan cangkang bulat tebal. Ini diterapkan ketika ketebalan cangkang, atau perbedaan antara jari-jari luar dan dalam berada dalam urutan besarnya yang sama dengan jari-jari itu sendiri dan, oleh karena itu, kita tidak dapat mempertimbangkan bahwa massa terkonsentrasi pada suatu permukaan. Sebaliknya, kita harus mempertimbangkan bahwa itu adalah distribusi massa tiga dimensi sepanjang ketebalan cangkang.

Seperti dalam kasus kulit bola tebal, momen inersia silinder berongga dengan jari-jari dalam R1 _dan jari-jari luar R2 _dapat ditemukan dengan integrasi langsung, atau dengan mengurangkan momen inersia dari silinder yang ditarik saat membuka lubang tengah, dari momen inersia silinder padat yang memiliki kerapatan yang sama dengan cangkang, menggunakan rumus bagian sebelumnya untuk masing-masing dari dua inersia ini.

Hasil dari salah satu dari kedua strategi ini adalah sama dan disajikan di bawah ini:

Seperti pada kasus sebelumnya, karena hasil ini tidak bergantung pada panjang silinder, kita dapat menggunakannya untuk menghitung momen inersia piringan bundar dengan lubang di tengahnya, seperti, misalnya, mesin cuci atau Disk Blu-ray.

Rumus momen inersia cangkang silinder tipis dengan jari-jari R terhadap sumbu pusatnya

Jika kita memiliki silinder berongga seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut, di mana ketebalan cangkang silinder sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari silinder, kita dapat mengasumsikan bahwa massa hanya didistribusikan pada permukaan dengan jari-jari R .

Seperti dalam kasus lain, kita dapat melakukan integrasi langsung menggunakan kerapatan massa areal, atau kita dapat mengevaluasi hasil tebal kulit silinder dalam batas di mana R1 cenderung ke R2. Hasilnya adalah:

Sekali lagi kami mencatat bahwa hasil ini tidak tergantung pada panjang. Ini berarti berlaku sama untuk lingkaran tipis. Faktanya, kami dapat memverifikasi bahwa itu adalah hasil yang sama yang diperoleh di bagian yang sesuai dengan cincin tipis.

Rumus momen inersia pelat persegi panjang beraturan terhadap sumbu tegak lurus melalui pusatnya

Terakhir, pertimbangkan kasus pelat persegi panjang yang berputar pada sumbu tegak lurus terhadap salah satu permukaannya, melewati pusat massanya, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Hasil integrasi langsung adalah:

Seperti pada kasus sebelumnya, hasil ini tidak bergantung pada tinggi atau ketebalan pelat, sehingga berlaku sama untuk selembar kertas seperti pada balok semen padat.

Referensi

Akademi Khan. (td). Inersia Rotasi (artikel) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia

Satu kelas. (2020, 6 Oktober). OneClass: Dimulai dengan rumus momen inersia batang . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html

Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Fisika untuk Ilmuwan dan Insinyur Dengan Fisika Modern: 2: Vol.Vol.I (Edisi Kelima). Bukit McGraw.

Snapsolve. (td). Momen inersia cangkang bola tebal berongga . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073