Probabilitas gabungan dari tiga himpunan atau lebih

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Dalam statistik, sangat umum dihadapkan pada situasi di mana Anda ingin menghitung probabilitas gabungan dari beberapa peristiwa berbeda. Misalnya, pemilik toko permen mungkin tertarik untuk menentukan berapa peluang anak berikutnya yang masuk ke tokonya akan membeli sebatang coklat putih atau sebatang coklat susu. Dalam hal ini, kita ingin menentukan probabilitas salah satu dari dua peristiwa yang mungkin terjadi, yang menurut teori himpunan, adalah probabilitas gabungan dari kedua peristiwa, atau P(AUB).

Dalam kasus yang dijelaskan, perhitungan probabilitas ini hanya terdiri dari jumlah probabilitas individu dikurangi probabilitas persimpangan antara kedua peristiwa, yaitu:

Probabilitas gabungan dari tiga himpunan atau lebih

Alasan probabilitas persimpangan harus dikurangkan adalah karena dengan menjumlahkan probabilitas kedua peristiwa, setiap persimpangan dihitung dua kali. Ini adalah proses yang relatif sederhana untuk dipahami. Namun, mungkin juga terjadi bahwa kami ingin menentukan probabilitas gabungan bukan dari dua, tetapi dari tiga peristiwa atau lebih. Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Pada bagian selanjutnya kita akan melihat cara sederhana untuk menentukan rumus untuk diterapkan dalam kasus tiga kejadian dan empat kejadian, dan kemudian kita akan menggunakan hasil ini, bersama dengan rumus di atas, untuk menggeneralisasi penentuan probabilitas gabungan untuk sejumlah acara. acara.

Ulasan dasar-dasar

Untuk memahami proses penghitungan probabilitas serikat, perlu diingat secara singkat beberapa istilah penting yang akan digunakan nanti:

percobaan . Secara probabilitas, eksperimen adalah proses apa pun yang dapat diulang berkali-kali dan selalu menghasilkan hasil. Setiap percobaan dikaitkan dengan serangkaian kemungkinan hasil tertentu yang akan selalu sama.

Hasil . Kami akan menyebut konsekuensi percobaan sebagai hasil, seperti wajah tertentu yang muncul saat melempar dadu.

Ruang sampel (S) . Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

acara . Serangkaian hasil yang mungkin.

Diagram Venn . Representasi grafis yang menunjukkan hubungan antara kumpulan kejadian dan antara kemungkinan kejadian dalam percobaan.

Probabilitas gabungan dari tiga peristiwa

Misalkan kita melakukan eksperimen dan ingin menentukan probabilitas salah satu dari 3**3tiga peristiwa berbeda yang terjadi, yang mungkin atau mungkin tidak terjadi secara bersamaan. Kami akan menyebut ketiga peristiwa ini A, B, dan C.

Dalam kasus ini, beberapa situasi berbeda dapat terjadi. Misalnya, mungkin saja tidak ada kejadian yang berbagi hasil dengan yang lain, dalam hal ini kita mengatakan bahwa kejadian saling eksklusif, yang dicontohkan dalam diagram Venn berikut:

Probabilitas gabungan dari tiga atau lebih himpunan yang terpisah

Lingkaran A, B, dan C mewakili tiga peristiwa dan menyertakan serangkaian hasil di dalam ruang sampel, yaitu persegi panjang abu-abu yang diidentifikasi dengan huruf S. Dalam kasus ini, probabilitas penyatuan hanya diberikan dengan menjumlahkan probabilitas masing-masing acara terpisah:

Probabilitas gabungan dari tiga himpunan atau lebih

Di sisi lain, salah satu acara juga dapat membagikan hasil dengan salah satu dari dua acara lainnya, atau bahkan dengan keduanya. Ini diilustrasikan dalam diagram Venn sebagai area yang saling berpotongan.

Probabilitas penyatuan tiga himpunan

Dalam kasus ini, jumlah probabilitas memperhitungkan beberapa hasil lebih dari satu kali, sehingga probabilitas yang telah dihitung secara berlebihan ini perlu dikurangi. Artinya, kita harus mengurangi probabilitas persimpangan antara setiap pasang kejadian. Namun, dalam kasus di mana ada hasil yang hadir di ketiga peristiwa (seperti yang ada di pusat diagram Venn di atas), pengurangan persimpangan pasangan menghilangkan kontribusi area pusat di mana pasangan berpotongan tiga peristiwa. Untuk alasan ini, kita harus menambahkan lagi luasan kecil ini yang berkorespondensi dengan probabilitas perpotongan A, B, dan C.

Akhirnya, probabilitas gabungan dari ketiga peristiwa tersebut adalah:

Probabilitas penyatuan tiga himpunan

CATATAN: Meskipun ungkapan ini dinyatakan untuk kasus tertentu di mana tiga peristiwa berpotongan satu sama lain, ini adalah bentuk yang lebih umum dari kasus tiga peristiwa karena dapat dikonversi menjadi probabilitas gabungan dari setiap rangkaian tiga peristiwa, apakah mereka berpotongan atau tidak. Misalnya, dalam kasus peristiwa yang saling lepas, semua probabilitas persimpangan adalah nol, sehingga ekspresi direduksi menjadi jumlah probabilitas individu yang ditampilkan di awal bagian ini.

Probabilitas gabungan dari empat peristiwa

Misalkan sekarang kita melakukan eksperimen baru dan tertarik pada probabilitas penyatuan antara empat peristiwa: A, B, C, dan D. Kasus yang paling umum adalah bahwa semuanya dapat saling berpotongan, seperti yang ditunjukkan pada diagram berikut:

Probabilitas gabungan dari empat set

Dalam hal ini, jumlah dari empat probabilitas sederhana dihitung empat kali probabilitas hasil yang terdapat di area I, tiga kali lipat dari area II, III, IV, dan V, dan dua kali lipat dari area VI, VII, VIII, dan IX. Untuk memperbaikinya, pertama-tama kita harus mengurangi probabilitas persimpangan dari semua pasangan (A dan B, A dan C, A dan D, B dan C, B dan D, dan C dan D). Ini, pada gilirannya, mengurangi terlalu banyak daerah persimpangan dari setiap kelompok tiga (ABC, ABD, ACD, dan BCD), sehingga daerah ini harus ditambahkan lagi, dan seterusnya sampai semua daerah dihitung satu kali.

Hasil dari kasus empat kejadian, baik saling lepas maupun tidak, adalah:

Probabilitas gabungan dari tiga himpunan atau lebih

Probabilitas serikat lebih dari empat peristiwa

Sampai saat ini kita sudah bisa mendeteksi pola antara rumus probabilitas gabungan dari dua, tiga dan empat peristiwa. Semuanya dimulai dengan jumlah probabilitas sederhana, lalu kurangi probabilitas persimpangan antara semua kemungkinan pasangan kejadian, lalu tambahkan probabilitas persimpangan dari setiap kelompok yang mungkin dari tiga kejadian, dan seterusnya, secara bergantian menjumlahkan dan mengurangkan persimpangan antara lebih dan lebih banyak acara hingga kita mencapai persimpangan semua acara. Untuk kejadian genap, perpotongan terakhir ini selalu negatif (dikurangi) sedangkan untuk kejadian ganjil selalu positif (ditambah).

Referensi

-Iklan-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados