Penambahan aturan dalam probabilitas dan statistik

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Aturan penjumlahan dalam probabilitas dan statistik mengacu pada berbagai cara di mana kita dapat menggabungkan probabilitas yang diketahui dari dua atau lebih peristiwa berbeda untuk menentukan probabilitas peristiwa baru yang dibentuk oleh penyatuan peristiwa tersebut .

Dalam statistik dan probabilitas, kita sering mengetahui probabilitas bahwa peristiwa tertentu (misalnya, peristiwa A dan B) akan terjadi secara terpisah, tetapi bukan probabilitas bahwa peristiwa tersebut akan terjadi pada waktu yang sama atau salah satunya akan terjadi. Di sinilah aturan penambahan berguna.

Sebagai contoh: kita dapat mengetahui probabilitas pelemparan angka enam saat melempar dua dadu, sebut saja P (lemparan 6), dan probabilitas kedua dadu mendarat pada angka genap, sebut saja P (angka genap).

Ini relatif mudah. Tetapi kadang-kadang kita tertarik untuk menentukan probabilitas bahwa, ketika dua dadu dilempar, keduanya menghasilkan angka genap atau jumlahnya berjumlah enam. Dalam notasi statistik dan dalam teori grup, “atau” ini direpresentasikan dengan simbol U yang menunjukkan penyatuan dua peristiwa dan dalam hal ini, probabilitas ini akan direpresentasikan sebagai berikut:

tidak diketahui untuk ditemukan

Jenis probabilitas ini dapat dihitung dari probabilitas individu dan beberapa data tambahan melalui aturan penjumlahan.

Perlu dicatat bahwa aturan penjumlahan mana yang harus kita gunakan dalam setiap kasus bergantung pada jumlah kejadian yang kita pertimbangkan dan pada apakah kejadian ini saling eksklusif atau tidak. Aturan penambahan untuk beberapa kasus sederhana dijelaskan di bawah ini.

Kasus 1: Aturan penjumlahan untuk kejadian yang lepas atau saling lepas

Dua peristiwa disebut saling eksklusif ketika kemunculan salah satunya mengesampingkan kemungkinan terjadinya yang lain. Artinya, itu adalah peristiwa yang tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Misalnya, saat melempar dadu, dadu yang menghasilkan 4 tidak termasuk salah satu dari 5 kemungkinan hasil lainnya yang muncul.

Jika kita mempertimbangkan dua atau lebih kejadian (A, B, C…) saling eksklusif, probabilitas gabungan hanya terdiri dari jumlah probabilitas individu dari masing-masing kejadian ini. Artinya, dalam hal ini probabilitas gabungan diberikan oleh:

Aturan penjumlahan untuk kejadian yang lepas atau saling lepas

Ini dapat paling mudah dipahami dengan menggunakan diagram Venn. Di sini ruang sampel diwakili oleh luas persegi panjang; sementara, probabilitas setiap kejadian diwakili oleh sektor-sektor dalam area yang lebih luas ini. Dalam diagram Venn, peristiwa yang saling eksklusif dilihat sebagai area terpisah yang tidak bersentuhan atau tumpang tindih.

Aturan penjumlahan untuk kejadian yang lepas atau saling lepas Diagram Venn

Dalam jenis diagram ini, menghitung probabilitas gabungan terdiri dari memperoleh luas total yang ditempati oleh semua kejadian yang probabilitasnya sedang kita pertimbangkan. Dalam kasus gambar sebelumnya, ini berarti memperoleh luas total sektor A, B dan C, yaitu luas biru pada gambar berikut.

probabilitas serikat

Sangat mudah untuk melihat bahwa jika peristiwa-peristiwa tersebut saling lepas seperti pada kasus kedua gambar di atas, probabilitas penyatuannya hanyalah jumlah dari ketiga bidang tersebut.

Contoh 1: Perhitungan probabilitas mendapatkan hasil genap saat melempar dadu

Misalkan kita melempar dadu dan ingin mengetahui peluang mendapatkan angka genap. Karena satu-satunya angka genap yang mungkin pada dadu bersisi 6 adalah 2, 4, dan 6, maka yang benar-benar ingin kita ketahui adalah probabilitas bahwa dadu akan mendarat di 2, 4, atau 6, karena salah satu dari kasus ini akan telah jatuh ke bilangan genap.

Probabilitas untuk mendapatkan salah satu dari 6 kepala adalah 1/6 (selama itu adalah dadu yang adil). Juga, seperti yang kita lihat beberapa saat yang lalu, ketiga hasil tersebut adalah kejadian yang saling lepas karena, jika 2 lemparan, 4 atau 6 tidak dapat dilempar, dan seterusnya. Dalam kondisi ini, probabilitas gabungan diberikan oleh:

Contoh probabilitas gabungan dari peristiwa disjoin

Contoh probabilitas gabungan dari peristiwa disjoin

Kasus 2: Aturan penjumlahan untuk dua kejadian yang tidak saling lepas

Jika A dan B adalah kejadian yang berbagi hasil satu sama lain, yaitu, keduanya dapat terjadi pada waktu yang sama, kejadian tersebut dikatakan tidak saling lepas. Dalam hal ini, diagram Venn terlihat seperti ini:

Aturan penjumlahan untuk dua kejadian yang bukan diagram Venn yang saling lepas

Seperti yang dapat dilihat, terdapat wilayah ruang sampel di mana kedua peristiwa terjadi pada waktu yang bersamaan. Jika kita ingin menentukan probabilitas penyatuan, yaitu P(AUB), kita perlu mencari luas yang ditunjukkan dalam diagram Venn di sebelah kanan pada gambar sebelumnya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam kasus ini, jika kita hanya menjumlahkan luas A dan B, kita akan menghitung luas umum dua kali, jadi kita akan mendapatkan luas (baca, probabilitas) lebih besar dari yang kita inginkan. Untuk memperbaiki galat berlebih ini, hanya perlu mengurangi luas yang dibagi oleh kejadian A dan B, yang berkorespondensi dengan probabilitas perpotongan:

Aturan penjumlahan untuk dua kejadian yang tidak saling lepas

Ungkapan untuk probabilitas penyatuan ini juga berlaku untuk kasus sebelumnya karena, saling eksklusif, probabilitas terjadinya pada waktu yang sama (probabilitas persimpangan) adalah nol.

Contoh 2: Perhitungan probabilitas mendapatkan hasil genap atau mendapatkan angka kurang dari 4 saat melempar dadu

Dalam hal ini, kedua peristiwa berbagi hasil 2, yang keduanya genap dan kurang dari 4, sehingga probabilitas penyatuannya adalah:

Aturan penjumlahan untuk dua kejadian yang tidak saling lepas

Aturan penjumlahan untuk dua kejadian yang tidak saling lepas

Kasus 3: Aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Kasus lain yang sedikit lebih kompleks adalah ketika 3 peristiwa terjadi yang tidak saling eksklusif, seperti yang ditunjukkan pada diagram Venn berikut:

Aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Dalam kasus ini, penjumlahan dari tiga bidang menghitung dua kali zona persimpangan antara A dan B, antara B dan C dan antara C dan D, dan menghitung tiga kali zona persimpangan dari tiga kejadian A, B dan C. Jika kita lakukan seperti sebelumnya dan kurangi luas perpotongan antara setiap pasang kejadian dari penjumlahan ketiga luas tersebut, kita akan mengurangkan tiga kali luas pusatnya, sehingga harus dijumlahkan sebagai probabilitas perpotongan ketiga kejadian tersebut. Terakhir, aturan penjumlahan umum untuk tiga kejadian non-eksklusif diberikan oleh:

Aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Seperti sebelumnya, ungkapan ini bersifat umum untuk setiap rangkaian dari tiga kejadian, baik terlepas atau tidak, karena, dalam kasus ini, perpotongannya akan kosong dan hasilnya akan sama dengan pernyataan kasus pertama.

Contoh 3: Perhitungan peluang mendapatkan bilangan genap, bilangan kurang dari 10 atau bilangan prima pada dadu bersisi 20

Dalam hal ini, ada tiga kejadian yang membagi hasil antara dan juga mengandung hasil yang tidak dibagi, sehingga probabilitas penyatuan diberikan oleh ekspresi yang disebutkan di atas.

Probabilitas dari peristiwa individu adalah:

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Sekarang, probabilitas persimpangan adalah:

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Sekarang, terapkan persamaan untuk probabilitas gabungan:

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Contoh aturan penjumlahan untuk tiga kejadian yang tidak saling lepas

Referensi

-Iklan-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados