Set tak terhitung yang paling umum

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Seperangkat angka tidak dapat dihitung jika tidak mungkin menetapkan bilangan asli yang unik untuk semua elemennya . Dengan kata lain, himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak memiliki korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli.

Kami biasanya menggunakan bilangan asli secara intuitif untuk menghitung, dan kami melakukan ini dengan menetapkan bilangan asli ke setiap elemen grup yang ingin kami hitung, secara berurutan. Misalnya, ketika menghitung jumlah jari yang kita miliki di tangan, kita menetapkan setiap jari dengan bilangan asli unik yang dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 5. Kita kemudian mengetahui bahwa ada 5 jari di tangan karena itu adalah nilai tertinggi. kami menetapkan ke jari. Dengan kata lain, kita menghitung jari.

Gagasan ini tidak dapat diterapkan pada beberapa kumpulan angka. Dalam beberapa kasus, himpunan sangat besar bahkan menggunakan bilangan asli tak terhingga tidak akan cukup untuk menomori semua elemen himpunan. Karena himpunan bilangan asli tidak terbatas, gagasan bahwa ada himpunan tak terhitung menunjukkan gagasan bahwa ada beberapa ketakterhinggaan yang lebih besar dari yang lain, dan hanya himpunan yang memiliki tak terhingga dengan “ukuran” yang sama dengan himpunan bilangan asli. dapat dihitung bilangan asli. Jumlah elemen dalam suatu himpunan disebut kardinal, jadi himpunan yang tidak terhitung adalah himpunan yang kardinalnya lebih besar dari bilangan asli.

Beberapa properti dari himpunan yang dapat dihitung dan tidak terhitung

Untuk memahami mengapa beberapa himpunan dapat dihitung dan beberapa tidak, ada baiknya mengetahui beberapa properti himpunan:

  • Jika A adalah himpunan bagian dari B dan A tidak dapat dihitung, maka B juga tidak dapat dihitung. Dengan kata lain, himpunan apa pun yang berisi himpunan tak terhitung harus dengan sendirinya tak terhitung.
  • Jika A tidak dapat dihitung dan B adalah sembarang himpunan (dapat dihitung atau tidak), maka gabungan AUB juga tidak dapat dihitung.
  • Jika A tak terhitung dan B adalah sembarang himpunan, maka produk Cartesian A x B juga tak terhitung.
  • Jika A tak terbatas (bahkan terhitung tak terbatas), maka himpunan pangkat A tak terhitung.

Contoh himpunan tak terhitung yang paling umum

Himpunan bilangan real (R)

Himpunan bilangan real adalah contoh pertama dari himpunan tak terhitung. Tetapi bagaimana kita tahu bahwa mereka tidak terhitung jika mereka memiliki elemen tak terbatas dan kita juga memiliki bilangan asli tak terbatas untuk ditetapkan? Kami melakukan ini berkat argumen diagonal Cantor.

Diagonal Cantor

Argumen diagonal Cantor memungkinkan kita untuk menunjukkan bahwa himpunan bagian dari bilangan real yang terletak di antara dua batas yang terdefinisi dengan baik, misalnya antara 0 dan 1, adalah himpunan yang tidak dapat dihitung. Akibatnya, dengan sifat-sifat himpunan tak terhitung yang telah disebutkan, himpunan lengkap semua bilangan real juga harus tak terhitung.

Misalkan kita membuat daftar bilangan real tak terbatas antara 0 dan 1. Sama sekali tidak relevan bagaimana daftar ini dibuat. Satu-satunya hal yang penting adalah bahwa semua angka itu unik. Sekarang, kita akan menetapkan setiap bilangan ini sebagai bilangan asli yang unik, mulai dari 1 dan bekerja secara berurutan. Contoh daftar ini disajikan dalam tabel berikut:

TIDAK. R.                
1 0, 2 2 4 5 8 7 9 6…
2 0, 5 2 1 3 2 4 0 2…
3 0, 6 4 0 5 7 8 3 0…
4 0, 1 7 9 8 2 2 4 3…
5 0, 8 5 5 4 7 3 2 2…
6 0, 0 4 8 3 8 1 5 3…
7 0, 7 8 4 2 0 9 1 0…
8 0, 3 4 6 7 9 1 3 5…
               

Pada titik ini, kami menetapkan nomor asli yang unik untuk semua nomor dalam daftar kami. Karena daftar ini tidak terbatas, dan setiap bilangan real sesuai dengan bilangan asli, maka kami “menghabiskan” semua bilangan asli dalam tabel ini. Apa yang dilakukan Canto adalah menunjukkan bahwa setidaknya ada satu bilangan real tambahan yang tidak ada dalam daftar ini dan karenanya tidak dapat dihitung. Angka ini dibangun dengan mengambil semua elemen diagonal yang melintasi tabel, lalu menambahkan 1. Artinya, angka baru akan dimulai dengan digit pertama dari angka pertama ditambah satu satuan, maka akan menjadi digit kedua dari bilangan kedua bertambah satu satuan, kemudian bilangan ketiga bilangan ketiga dan seterusnya.

Pada tabel berikut, elemen pada diagonal disorot dengan huruf tebal dan angka yang dihasilkan dari operasi ditambahkan ke baris terakhir:

TIDAK. R.                
1 0, 2 2 4 5 8 7 9 6…
2 0, 5 2 1 3 2 4 0 2…
3 0, 6 4 0 5 7 8 3 0…
4 0, 1 7 9 8 2 2 4 3…
5 0, 8 5 5 4 7 3 2 2…
6 0, 0 4 8 3 8 1 5 3…
7 0, 7 8 4 2 0 9 1 0…
8 0, 3 4 6 7 9 1 3 5
2+1 2+1 0+1 8+1 7+1 1+1 1+1 5+1
  0, 3 3 1 9 8 2 2 6…

Angka yang dihasilkan adalah 0,33198226…

Seperti yang bisa kita lihat, karena digit pertama dari angka baru (yaitu 3) berbeda dengan digit pertama dari angka pertama dalam daftar (yaitu 2), maka itu akan menjadi angka yang berbeda dari yang pertama, sekalipun semua angka angka lainnya persis sama. Karena angka kedua (3) berbeda dengan angka kedua angka kedua (2), maka angka kedua juga akan berbeda.

Argumen yang sama ini dapat dilanjutkan tanpa batas dengan memajukan sepanjang diagonal, memastikan bahwa angka yang dihasilkan akan berbeda setidaknya satu digit dari semua angka tak terbatas dalam tabel.

Namun, karena kita sudah “menghabiskan” atau menetapkan semua bilangan asli sebelum membuat bilangan baru ini, maka kita tidak memiliki bilangan asli unik yang tersisa untuk ditetapkan padanya, jadi kita menyimpulkan bahwa himpunan bilangan real antara 0 dan 1, dan karena itu perpanjangan dari semua bilangan real, adalah himpunan yang tak terhitung.

Himpunan angka transendental

Bilangan transendental adalah bilangan yang termasuk dalam himpunan bilangan real, tetapi bukan bilangan aljabar. Ini berarti bahwa mereka bukan akar dari persamaan polinomial dari bentuk:

Set tak terhitung yang paling umum

dimana semua koefisien adalah bilangan bulat. Mari kita sebut A himpunan semua bilangan real aljabar dan T bilangan real lainnya, yaitu bilangan transendental. Sangat mudah untuk melihat bahwa himpunan total bilangan real, R , adalah gabungan dari himpunan A dan T , yaitu:

Set tak terhitung yang paling umum

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan aljabar dapat dihitung. Juga, kami telah membuktikan bahwa bilangan real tidak terhitung. Karena R tidak dapat dihitung, ia tidak dapat dibentuk dengan menggabungkan dua himpunan yang dapat dihitung. Mengetahui bahwa A dapat dihitung, kami menyimpulkan bahwa T tidak dapat dihitung.

Himpunan barisan bilangan biner

Urutan bilangan biner hanyalah string 0 dan 1 dengan panjang berapa pun. Jika kita menggabungkan semua kemungkinan barisan bilangan biner, kita mendapatkan himpunan barisan bilangan biner. Ini tidak lebih dari subhimpunan bilangan real yang digitnya hanya 0 dan 1.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa kumpulan angka ini tidak dapat dihitung menggunakan argumen Cantor yang sama dengan yang kami tunjukkan bahwa R tidak dapat dihitung. Satu-satunya peringatan adalah bahwa alih-alih menambahkan 1 ke angka pada diagonal, kami cukup membalikkan nilainya, mengganti 0 dengan 1 dan sebaliknya.

Seperti sebelumnya, urutan biner yang dihasilkan tidak seperti kumpulan urutan tak terhingga mana pun yang mungkin telah kami sertakan dalam daftar asli, jadi ini adalah kumpulan yang tidak dapat dihitung.

Urutan angka lain dengan basis berbeda

Argumen dari urutan bilangan biner dan dari bilangan real dapat diperluas ke urutan bilangan apa pun dari basis apa pun. Dalam pengertian ini, himpunan semua urutan bilangan heksadesimal tidak dapat dihitung; jadi akan menjadi himpunan urutan bilangan terner, kuaterner, dll.

Referensi

Contoh umum dari himpunan tak terhitung . (2020, 16 Maret). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets

Ivorra Castillo, C. (sf). TEORI SET . UV.es. https://www.uv.es/ivora/Libros/TC.pdf

Libretext. (2021, 7 Juli). 1.4: Set yang Dapat Dihitung dan yang Tidak Dapat Dihitung . Teks Libre Matematika. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets

Schwartz, R. (2007, 12 November). Set yang Dapat Dihitung dan yang Tidak Dapat Dihitung . Matematika Coklat. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf

Kumpulan Tak Terhitung | Contoh Himpunan Tak Terhitung . (2020, 21 September). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/

-Iklan-

Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados