Aturan komplemen dalam statistik

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Dalam statistik dan probabilitas, aturan komplemen menetapkan bahwa probabilitas suatu peristiwa A akan terjadi selalu sama dengan satu dikurangi probabilitas bahwa peristiwa yang berlawanan atau komplementer dari A akan terjadi . Dengan kata lain, ini adalah aturan yang menunjukkan bahwa probabilitas suatu peristiwa dan pelengkapnya terkait melalui ungkapan berikut:

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Aturan ini adalah salah satu sifat dasar probabilitas dan memberi tahu kita bahwa kita selalu dapat menghitung probabilitas suatu peristiwa jika kita mengetahui probabilitas komplemennya dan sebaliknya. Ini sangat penting, karena dalam banyak situasi dunia nyata di mana kita perlu menghitung probabilitas suatu peristiwa, lebih mudah untuk menghitung probabilitas komplemennya secara langsung. Kemudian, setelah dihitung, kami menggunakan aturan pelengkap untuk menentukan probabilitas yang kami inginkan pada awalnya.

Beberapa contoh sederhana penerapan aturan ini adalah:

  • Jika peluang Real Madrid memenangkan pertandingan sepak bola Liga Champions adalah 34/57 atau 0,5965, peluang Real Madrid tidak memenangkan pertandingan Liga Champions adalah 1-34/57 = 23/57 atau 0,4035.
  • Peluang sebuah dadu bersisi 6 akan mendarat di bilangan genap kurang dari 6 adalah 1/3, jadi peluang sebuah dadu bersisi 6 akan mendarat di bilangan genap kurang dari 6 adalah 2/3.

Bukti aturan komplemen

Aturan pelengkap dapat didemonstrasikan dalam beberapa cara berbeda, salah satunya akan memudahkan pembaca untuk mengingatnya. Untuk melakukan demonstrasi ini, kita harus mulai dengan mendefinisikan beberapa istilah dasar seperti apa itu peristiwa dan apa pelengkapnya. Selain itu, kita harus menyatakan beberapa aksioma utama yang menjadi dasar probabilitas.

Eksperimen, hasil, ruang sampel, dan peristiwa

Dalam statistik dan probabilitas, kita berbicara tentang melakukan eksperimen , seperti melempar koin, melempar dadu, memilih kartu atau tumpukan dari tumpukan yang dikocok secara acak, dan seterusnya. Setiap kali kami melakukan percobaan, kami mendapatkan hasil , seperti memilih 2 klub dari setumpuk kartu remi Spanyol.

Himpunan total dari semua kemungkinan hasil berbeda yang dapat diberikan oleh suatu percobaan disebut ruang sampel dan biasanya dilambangkan dengan huruf S.

Di sisi lain, hasil tertentu atau serangkaian hasil eksperimen dikenal sebagai peristiwa . Peristiwa dapat berupa hasil individual, dalam hal ini disebut peristiwa sederhana, atau dapat berupa peristiwa majemuk yang terdiri dari lebih dari satu elemen atau hasil.

Apa plugin acara?

Komplemen suatu peristiwa tidak lebih dari himpunan semua hasil lain yang mungkin dalam ruang sampel yang tidak mencakup hasil dari peristiwa itu sendiri . Dalam kasus pelemparan sebuah dadu, komplemen dari kejadian jatuhnya dadu pada angka 5, misalnya, adalah kejadian lain dimana dadu jatuh pada angka 1, 2, 3, 4, atau 6, atau apapun. Sama saja, tidak jatuh di 5.

Plugin sering direpresentasikan dengan cara yang berbeda. Dua bentuk yang paling umum adalah:

  • Menempatkan garis miring di atas nama peristiwa (misalnya, A̅ mewakili pelengkap peristiwa A).
  • Menempatkan C sebagai superskrip (A C ).

Dalam kedua kasus, itu berbunyi “pelengkap-A”, “pelengkap A”, atau “Bukan A”.

Cara mudah untuk memahami konsep plugin dan aturan plugin itu sendiri adalah dengan menggunakan diagram Venn . Gambar berikut menunjukkan diagram sederhana dari eksperimen apa pun dan satu peristiwa yang akan kita sebut A.

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Dalam diagram Venn seperti ini, seluruh persegi panjang mewakili ruang sampel percobaan, sedangkan seluruh area persegi panjang (dalam hal ini, area abu-abu dan biru) mewakili probabilitas ruang sampel, yang oleh definisi , sama dengan 1. Hal ini karena, jika kita melakukan percobaan, pasti akan diperoleh beberapa hasil yang terkandung dalam ruang sampel, karena mengandung semua hasil yang mungkin.

Lingkaran biru mengelilingi area ruang pertunjukan di mana semua hasil yang mungkin dari peristiwa A seharusnya berada.Misalnya, jika peristiwa A menggulung bilangan genap, maka area biru ini harus berisi hasil 2, 4 dan 6 Di sisi lain, semua area yang berada di luar kejadian A (yaitu, zona abu-abu), adalah komplemen dari A karena memuat hasil lainnya (1, 3 dan 5). .

Aturan komplemen dan diagram Venn

Kunci untuk memahami aturan komplemen menggunakan diagram Venn adalah bahwa luas setiap peristiwa dalam diagram ini sebanding dengan probabilitasnya; luas total persegi panjang sesuai dengan probabilitas 1. Seperti yang dapat kita lihat dengan jelas, peristiwa A (lingkaran biru) dan komplemennya, A̅ (area abu-abu) bersama-sama membentuk seluruh persegi panjang.

Oleh karena itu, jumlah luasnya, yang mewakili probabilitas masing-masing, harus sama dengan 1, yang merupakan luas ruang sampel, S. Dengan menyusun ulang ini, kita akan memperoleh:

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Ini adalah aturan pelengkap.

Aturan komplemen dari aksioma probabilitas

Setiap peristiwa dan pelengkapnya membentuk sepasang peristiwa yang terpisah atau saling eksklusif, karena jika yang satu terjadi, menurut definisi, tidak mungkin terjadi yang lain. Dalam kondisi ini, probabilitas gabungan dari dua peristiwa ini hanya diberikan oleh jumlah dari probabilitas individu. Artinya:

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Juga, seperti yang kami katakan sebelumnya, penyatuan kejadian A dan komplemennya, A C , menghasilkan ruang sampel:

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Substitusikan P(AUC C ) ke dalam persamaan di atas dan kemudian substitusikan probabilitas dari S yang menurut definisinya adalah 1, kita dapatkan:

Aturan komplemen dalam contoh probabilitas statistik

Menata ulang dua anggota terakhir kita memperoleh aturan komplemen.

Contoh masalah aplikasi aturan plugin

Berikut ini adalah contoh masalah tipikal di mana penggunaan aturan plugin sangat berguna.

penyataan

Misalkan kita memiliki rangkaian yang terdiri dari 5 chip identik yang dihubungkan secara seri, yaitu satu demi satu. Probabilitas sebuah chip akan gagal dalam tahun pertama pembuatannya adalah 0,0002. Jika salah satu dari 5 chip gagal, seluruh sistem gagal. Anda ingin mencari peluang bahwa sistem akan gagal pada tahun pertama.

Larutan

Mari kita sebut F (untuk kegagalan) hasil di mana komponen atau chip sistem gagal dan E (sukses) untuk hasil di mana komponen tidak gagal atau, apa yang sama, itu berfungsi. Maka, data yang diberikan oleh pernyataan tersebut adalah:

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Eksperimen di mana ditentukan apakah seluruh sistem gagal sebenarnya sesuai dengan melakukan 5 percobaan simultan di mana ditentukan apakah ada komponen yang gagal. Jadi, ruang sampel untuk eksperimen ini terdiri dari semua kombinasi hasil keberhasilan atau kegagalan pada masing-masing dari 5 komponen tersebut. Terhubung secara seri, kita tahu bahwa urutan itu penting. Oleh karena itu, ruang sampel dibentuk oleh:

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Ruang sampel ini berisi 2 5 =32 hasil yang mungkin sesuai dengan semua kemungkinan kombinasi Es dan Fs. Karena kita ingin menghitung probabilitas sistem gagal, kejadian yang kita minati, yang akan kita sebut kejadian A, diberikan oleh semua hasil di mana setidaknya salah satu komponen gagal. Dengan kata lain, itu diberikan oleh set hasil berikut:

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Faktanya, ada 2 5 -1=31 kemungkinan hasil di mana setidaknya salah satu dari lima komponen gagal. Jika kita ingin menghitung probabilitas A (yaitu, P(A)), kita perlu menghitung probabilitas dari masing-masing hasil ini; itu akan menjadi pekerjaan yang cukup besar.

Akan tetapi, mari kita perhatikan kejadian komplementer dari A, yaitu kejadian di mana sistem bekerja (yang akan kita sebut A C ). Seperti yang dapat kita lihat, satu-satunya cara agar seluruh sistem bekerja adalah agar kelima komponen sirkuit berfungsi, yaitu:

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Menghitung probabilitas ini jauh lebih mudah daripada menghitung yang sebelumnya. Kemudian, mengingat probabilitas ini, kita menggunakan aturan komplemen untuk menghitung probabilitas A. Karena hasil dari setiap keping adalah kejadian independen satu sama lain, probabilitas A C hanyalah produk dari probabilitas bahwa setiap keping bekerja, katakanlah :

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Tapi berapa probabilitas E? Ingatlah bahwa setiap keping bisa berfungsi atau tidak, jadi E adalah komplemen dari F. Oleh karena itu, jika kita memiliki probabilitas F (yang diberikan dalam latihan), kita dapat menghitung probabilitas E menggunakan aturan komplemen :

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Sekarang kita dapat menghitung probabilitas bahwa sistem lengkap berfungsi:

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Dan, sekali lagi menerapkan aturan pelengkap, kami menghitung probabilitas sistem gagal:

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Contoh aturan pelengkap dalam statistik

Menjawab

Probabilitas bahwa sistem akan gagal pada tahun pertama adalah 0,010 atau 1,0%.

Referensi

Devore, JL (1998). PROBABILITAS DAN STATISTIK UNTUK ENGINEERING DAN ILMU . Penerbit Thomson Internasional, SA

Aturan Pelengkap . (td). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Aturan komplemen dalam probabilitas . (2021, 1 Januari). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/

-Iklan-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados