Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Ada banyak situasi di mana kita tertarik untuk menemukan probabilitas dari dua peristiwa yang terjadi secara bersamaan. Beberapa dari mereka adalah:

  • Temukan peluang melempar enam ganda saat melempar dua dadu secara bersamaan atau satu demi satu.
  • Temukan probabilitas bahwa seseorang yang dipilih secara acak dari suatu kelompok adalah perempuan dan berkulit gelap.
  • Probabilitas memilih sepasang siswa lawan jenis dari bagian sekolah.
  • Probabilitas bahwa dua sistem kontrol redundan gagal pada saat yang sama dalam peluncuran roket luar angkasa.

Kelas masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan umum perkalian probabilitas. Aturan ini menetapkan bahwa, untuk dua kejadian A dan B, peluang terjadinya secara bersamaan, yaitu peluang persimpangan, diberikan oleh:

Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Dalam persamaan ini, P(A|B) adalah probabilitas bersyarat bahwa kejadian A terjadi dengan mengingat B. Aturan di atas adalah aturan perkalian umum dan berlaku untuk setiap pasangan kejadian. Dalam beberapa kasus, probabilitas bersyarat tidak diketahui atau sulit ditentukan; namun, dalam kasus kejadian bebas, probabilitas ini disederhanakan untuk memunculkan aturan perkalian untuk kejadian bebas.

Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Apa itu acara independen?

Dua kejadian A dan B saling bebas jika kemunculan salah satunya tidak mempengaruhi peluang munculnya kejadian lainnya. Dalam istilah matematika, ini menyiratkan bahwa probabilitas bersyarat dari salah satu peristiwa yang terjadi, mengingat kita tahu yang lain telah terjadi, sama dengan probabilitas sederhana dari kejadian pertama. Dengan kata lain, dua kejadian akan saling bebas hanya jika:

Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Interpretasi di atas adalah bahwa peluang terjadinya A jika diketahui bahwa B telah terjadi sama dengan peluang terjadinya A. Hal ini menyiratkan bahwa kemunculan B tidak mempengaruhi peluang terjadinya A, sehingga kedua kejadian terjadi secara independen. jalan.

Setiap pasangan kejadian yang tidak memenuhi kondisi di atas akan menjadi kejadian dependen.

Bagaimana aturan perkalian terpengaruh dalam kasus ini?

Seperti yang dapat kita lihat, ekspresi pertama dari kondisi independensi dapat digunakan untuk menyederhanakan aturan perkalian umum, karena faktor pertama dapat diganti dengan probabilitas sederhana A, sehingga diperoleh ekspresi berikut:

Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Ungkapan di atas dikenal sebagai aturan perkalian probabilitas untuk kejadian-kejadian yang saling bebas . Ini menyiratkan bahwa jika kita mengetahui bahwa dua peristiwa tidak bergantung satu sama lain dan kita mengetahui probabilitas kemunculannya, maka kita dapat menemukan probabilitas bahwa keduanya akan terjadi pada waktu yang sama hanya dengan mengalikan probabilitas ini.

Contoh Acara Independen

Kurangnya informasi dapat membuat sulit untuk mengidentifikasi apakah dua peristiwa itu independen. Sebagai contoh, kita mungkin berpikir bahwa memiliki rambut cokelat tidak ada hubungannya dengan terjadinya kanker payudara, tetapi fisiologi tubuh manusia sangat rumit sehingga tidak ada dokter yang berani membuat pernyataan itu.

Akan tetapi, ada banyak percobaan sederhana di mana kita dapat dengan mudah mengidentifikasi apakah dua peristiwa saling bebas atau tidak.

  • Lempar dua dadu sekaligus. Saat melempar dua dadu, hasil dari satu dadu tidak mempengaruhi hasil yang mungkin muncul di dadu lainnya, jadi kejadian satu dadu mendarat di nomor tertentu tidak bergantung pada kejadian dadu lainnya mendarat di nomor lain. atau sama, bahkan.
  • Hasil pelemparan dadu yang sama dua kali berturut-turut juga tidak bergantung satu sama lain karena alasan yang sama.
  • Lempar koin dua kali. Fakta bahwa ia mendaratkan kepala atau ekor pertama kali tidak akan mempengaruhi hasil lemparan berikutnya.
  • Di pabrik lemari es yang memiliki dua jalur produksi independen untuk komponen yang menggunakan bahan baku dan tenaga kerja terpisah, dapat diasumsikan bahwa probabilitas salah satu dari dua komponen akan gagal tidak bergantung pada probabilitas kegagalan komponen lainnya.
  • Pengambilan kartu atau tumpukan secara acak dari satu tumpukan, menggantinya, dan kemudian secara acak menarik kartu lain dari tumpukan adalah kejadian terpisah, karena mengganti kartu asli di tumpukan akan mengatur ulang peluang untuk menarik salah satu kartu asli.

Contoh kejadian yang tidak berdiri sendiri

  • Pengambilan kartu atau geladak secara acak dari geladak dan kemudian menarik kartu lain dari geladak yang sama tanpa mengganti yang pertama bukanlah peristiwa independen, karena penarikan yang pertama mengurangi jumlah total kartu yang ada di geladak, yang memengaruhi probabilitas setiap kartu lain keluar. Juga, jika kita tidak mengganti kartu pertama, kemungkinan kartu itu keluar untuk kedua kalinya menjadi nol.
  • Dalam mobil yang sedang berjalan, kemungkinan mesin mobil menjadi terlalu panas dan kemungkinan kegagalan pompa air yang mendinginkan mesin bukanlah peristiwa yang independen, karena jika pompa air gagal, kemungkinan besar mesin menjadi terlalu panas.
  • Contoh yang lebih mudah untuk dipahami adalah bahwa mendapatkan nilai bagus dalam statistik tidak terlepas dari belajar , karena jika kita belajar, kemungkinan besar kita akan mendapat nilai bagus.

Contoh perhitungan probabilitas menggunakan aturan perkalian untuk kejadian independen

Contoh 1: Melempar koin dua kali

Misalkan kita ingin menghitung probabilitas bahwa ketika sebuah koin dilempar dua kali, hasilnya adalah kepala pada kedua lemparan tersebut.

Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Jika kita menyebut A peristiwa di mana lemparan pertama mendaratkan kepala dan B peristiwa di mana lemparan kedua mendaratkan kepala, maka probabilitas yang diminta untuk kita hitung adalah probabilitas persimpangan A dengan B, karena kita ingin kedua peristiwa itu terjadi . Artinya, yang tidak diketahui adalah P(A∩B).

Karena hanya ada dua hasil yang mungkin untuk setiap lemparan, probabilitas terjadinya salah satu peristiwa adalah sama:

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Sekarang, karena kita tahu bahwa kejadiannya saling bebas, kita dapat menggunakan aturan perkalian untuk menentukan probabilitas persimpangan:

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Contoh 2: Melempar dua buah dadu

Mari kita hitung probabilitas bahwa, ketika melempar dua dadu bersisi enam yang sama, salah satunya mendarat di satu dan yang kedua mendarat di bilangan genap.

Sebut saja kejadian berikut A dan B:

       A = salah satu dadu mendarat di 1.

       B = salah satu dadu mendarat di bilangan genap.

Yang ingin kita hitung adalah, sekali lagi, P(A∩B).

Aturan Perkalian untuk Acara Independen

Karena hasil dari setiap dadu tidak bergantung pada angka yang menghasilkan dadu lainnya, kita dapat menghitung P(A∩B) menggunakan aturan perkalian untuk kejadian bebas. Tapi pertama-tama, kita membutuhkan probabilitas A dan B.

Dadu memiliki 6 muka dengan angka dari 1 sampai 6, yang tidak berulang. Oleh karena itu, hanya ada satu 1, dan ada tiga bilangan genap, yaitu 2, 4, dan 6. Jadi, peluang terjadinya peristiwa terpisah adalah:

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Dengan menggunakan probabilitas ini dan aturan perkalian, kami memperoleh probabilitas yang diinginkan:

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Contoh 3: Bagian yang gagal

Sebuah pabrik yang membuat peralatan komputer menggunakan, di antara komponen lainnya, dua chip atau sirkuit terintegrasi yang berbeda dari dua produsen berbeda. Menurut pabrikan chip pertama, probabilitas kegagalannya dalam kondisi operasi normal adalah 0,00133. Untuk bagiannya, pabrikan kedua membanggakan bahwa hanya dua chipnya yang gagal untuk setiap 5.000 unit yang dipasang. Pemilik pabrik ingin mencari peluang bahwa kedua komponen tersebut akan gagal pada waktu yang bersamaan. Kegagalan masing-masing merek chip dapat dianggap independen satu sama lain.

Dalam hal ini, pernyataan itu sendiri menentukan bahwa kedua peristiwa itu saling bebas, sehingga kita dapat menggunakan aturan perkalian di atas. Selain itu, probabilitas kegagalan chip pertama juga disediakan, yang akan kita sebut peristiwa A. Probabilitas kegagalan chip kedua (peristiwa B) dapat dihitung dari informasi yang diberikan oleh pabrikan:

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Jadi peluang kedua komponen gagal pada saat yang sama adalah:

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Contoh penggunaan aturan perkalian untuk kejadian bebas

Referensi

Probabilitas Bersyarat dan Independensi . (td). Universitas Kesehatan Florida. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). PROBABILITAS DAN STATISTIK UNTUK ENGINEERING DAN ILMU . Penerbit Thomson Internasional, SA

Frost, J. (2021, 10 Mei). Aturan Perkalian untuk Menghitung Probabilitas . Statistik Oleh Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Aturan perkalian, soal latihan . (2021, 1 Januari). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Aturan perkalian probabilitas . (td). Tutor Universitas. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Aturan Perkalian (Probabilitas) [Contoh] . (td). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Aturan perkalian umum . (td). Akademi Khan. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule

-Iklan-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados