A komplementer szabály a statisztikákban

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

A statisztikában és a valószínűségszámításban a komplementer szabály megállapítja, hogy az A esemény bekövetkezésének valószínűsége mindig egyenlő lesz egységgel, mínusz annak a valószínűsége, hogy az A-val ellentétes vagy komplementer esemény bekövetkezik . Más szóval, ez egy olyan szabály, amely azt jelzi, hogy egy esemény valószínűsége és komplementere a következő kifejezéssel függ össze:

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

Ez a szabály a valószínűség egyik alapvető tulajdonsága, és azt mondja nekünk, hogy mindig ki tudjuk számítani bármely esemény valószínűségét, ha ismerjük a komplementerének valószínűségét, és fordítva. Ez különösen fontos, mivel sok valós helyzetben, amikor egy esemény valószínűségét kell kiszámítanunk, sokkal könnyebb ehelyett közvetlenül kiszámítani a komplementer valószínűségét. Ezután, miután ezt kiszámítottuk, a komplementer szabályt használjuk az eredetileg kívánt valószínűség meghatározására.

Néhány egyszerű példa ennek a szabálynak az alkalmazására:

  • Ha annak a valószínűsége, hogy a Real Madrid megnyer egy labdarúgó Bajnokok Ligája-mérkőzést, 34/57 vagy 0,5965, annak a valószínűsége, hogy nem nyer Bajnokok Ligája-mérkőzést, 1-34/57 = 23/57 vagy 0,4035.
  • Annak a valószínűsége, hogy egy közönséges 6 oldalú kocka 6-nál kisebb páros számra kerül, 1/3, tehát 2/3 annak a valószínűsége, hogy a kocka nem fog 6-nál kisebb páros számra.

A komplementer szabály bizonyítása

A kiegészítési szabály többféleképpen is bemutatható, ezek bármelyike ​​megkönnyíti az olvasó számára az emlékezést. Ahhoz, hogy ezt a demonstrációt meg tudjuk valósítani, néhány alapfogalom meghatározásával kell kezdenünk, például mi az esemény, és mi a kiegészítése. Ezenkívül meg kell határoznunk néhány fő axiómát, amelyeken a valószínűség alapul.

Kísérletek, eredmények, mintatér és események

A statisztikákban és a valószínűségszámításban kísérletek végrehajtásáról beszélünk , mint például érmék feldobása, kockadobás, kártya vagy pakli kiválasztása véletlenszerűen megkevert pakliból stb. Minden alkalommal, amikor kísérletet végzünk, eredményt kapunk , például kiválasztjuk a 2 ütőt a spanyol kártyapakliból.

Az összes lehetséges különböző eredmény összességét, amelyet egy kísérlet adhat, mintatérnek nevezzük, és általában S betűvel jelöljük.

Másrészt a kísérlet egy adott eredményét vagy eredményhalmazát eseménynek nevezzük . Az események lehetnek egyedi eredmények, ilyenkor egyszerű eseményeknek nevezzük őket, vagy lehetnek összetett események, amelyek egynél több elemből vagy eredményből állnak.

Mi az esemény beépülő modulja?

Egy esemény komplementere nem más, mint a mintatérben található összes többi lehetséges kimenet halmaza, amely nem tartalmazza magának az eseménynek az eredményeit . A kockadobás példájában annak az eseménynek a komplementere, amelyben a kocka az 5-re kerül, egy másik esemény, amelyben a kocka 1-re, 2-re, 3-ra, 4-re, 6-ra vagy bármire kerül. Ugyanaz, nem esik 5-be.

A beépülő modulokat gyakran különböző módon ábrázolják. A két leggyakoribb módszer a következő:

  • Perjel elhelyezése az esemény neve fölé (például az A̅ az A esemény komplementere).
  • Egy C elhelyezése felső indexként (A C ).

Mindkét esetben „A-kiegészítés”, „A kiegészítés” vagy „Nem A” szöveg olvasható.

A beépülő modul fogalmát és magát a beépülő modul szabályát is könnyen megérthetjük a Venn-diagramok használatával . A következő ábra egy egyszerű diagramot mutat bármely kísérletről és egyetlen eseményről, amelyet A-nak nevezünk.

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

Az ehhez hasonló Venn-diagramokon a teljes téglalap a kísérlet mintaterét, míg a téglalap teljes területe (ebben az esetben a szürke és a kék terület egyaránt) a mintatér valószínűségét jelenti, ami definíció , egyenlő 1-gyel. Ennek az az oka, hogy ha egy kísérletet végzünk, akkor teljesen biztos, hogy a mintatérben található valamilyen eredményt kapunk, mivel az az összes lehetséges eredményt tartalmazza.

A kék kör a megjelenítési tér azon területét zárja be, amelyben az A esemény összes lehetséges kimenetelének kell lennie. Például, ha az A esemény páros számot dob, akkor ennek a kék területnek tartalmaznia kell a 2, 4 és 6 eredményeket. Másrészt az összes olyan terület, amely az A eseményen kívül van (vagyis a szürke zónán), az A komplementere, mivel ez tartalmazza a többi eredményt (1, 3 és 5).

A komplementer szabály és a Venn-diagramok

A Venn-diagramok használatával a komplementer szabály megértésének kulcsa az, hogy ezeken a diagramokon belül bármely esemény területe arányos annak valószínűségével; a téglalap teljes területe 1 valószínűségnek felel meg. Amint jól látjuk, az A esemény (kék kör) és a komplementere, A̅ (szürke terület) együtt alkotja a teljes téglalapot.

Emiatt a területeik összege, amely a megfelelő valószínűségeket jelenti, egyenlő kell legyen 1-gyel, ami a mintatér területe, S. Ezt átrendezve a következőt kapnánk:

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

Ez a kiegészítési szabály.

A komplementszabály a valószínűségi axiómákból

Bármely esemény és annak komplementere diszjunkt vagy egymást kizáró eseménypárt alkot, hiszen ha az egyik megtörténik, akkor értelemszerűen lehetetlen, hogy a másik megtörténjen. Ilyen feltételek mellett e két esemény egyesülési valószínűségét egyszerűen az egyéni valószínűségek összege adja meg. Vagyis:

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

Továbbá, ahogy korábban is mondtuk, az A események uniója és a kiegészítője, az A C , a mintateret eredményezi:

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

Ha behelyettesítjük P(AUC C )-t a fenti egyenletbe, majd behelyettesítjük S valószínűségét, amely definíció szerint 1, a következőt kapjuk:

A komplementer szabály a statisztikai valószínűségi példában

Az utolsó két tagot átrendezve megkapjuk a komplement szabályt.

Példa egy beépülő modul-szabály alkalmazási problémájára

A következő példa egy tipikus problémára, ahol a beépülő modul használata különösen hasznos.

nyilatkozat

Tegyük fel, hogy van egy áramkörünk, amely 5 azonos lapkából áll sorba, azaz egymás után. Annak a valószínűsége, hogy egy chip meghibásodik a gyártás első évében, 0,0002. Ha az 5 chip közül bármelyik meghibásodik, az egész rendszer meghibásodik. Meg akarja találni annak a valószínűségét, hogy a rendszer meghibásodik az első évben.

Megoldás

Nevezzük F-nek (hiba esetén) azt az eredményt, amikor egy komponens vagy rendszerchip meghibásodik, és E-nek (siker) azt az eredményt, amelyben a komponens nem hibásodik meg, vagy ami ugyanaz, működik. Ekkor a nyilatkozat által közölt adatok a következők:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Az a kísérlet, amelyben meghatározzák, hogy a teljes rendszer meghibásodik-e, valójában 5 egyidejű kísérlet végrehajtásának felel meg, amelyek során megállapítják, hogy valamelyik komponens meghibásodik-e. Tehát ennek a kísérletnek a mintaterülete az 5 komponens mindegyikén a sikeres vagy kudarc kimeneteleinek összes kombinációját tartalmazza. Sorba kapcsolva tudjuk, hogy a sorrend számít. Ezért a mintateret a következők alkotják:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Ez a mintatér 2 5 =32 lehetséges kimenetet tartalmaz, amelyek megfelelnek az Es és F összes lehetséges kombinációjának. Mivel a rendszer meghibásodásának valószínűségét szeretnénk kiszámítani, a minket érdeklő eseményt, amelyet A eseménynek fogunk nevezni, minden olyan eredmény megadja, amelyben legalább az egyik komponens meghibásodik. Más szavakkal, a következő eredményhalmaz adja:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Valójában 2 5 -1=31 lehetséges kimenetel van, amelyeknél az öt összetevő közül legalább az egyik meghibásodik. Ha ki akarnánk számítani A valószínűségét (vagyis P(A)), akkor ki kell számítanunk ezen eredmények mindegyikének valószínűségét; jelentős munka lenne.

Tekintsük azonban most A komplementer eseményét, vagyis azt az eseményt, amelyben a rendszer működik (amit A C -nek fogunk nevezni ). Amint látjuk, az egész rendszer csak úgy működik, ha az áramkör mind az öt összetevője működik, azaz:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Ennek a valószínűségnek a kiszámítása sokkal egyszerűbb, mint az előző kiszámítása. Ezt a valószínűséget figyelembe véve a komplement szabályt használjuk az A valószínűségének kiszámításához. Mivel az egyes chipek kimenetele egymástól független esemény, A C valószínűsége egyszerűen annak a valószínűségének a szorzata, hogy minden chip működik, mondjuk :

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

De mekkora az E valószínűsége? Ne felejtsük el, hogy minden chip vagy működik, vagy nem, tehát E az F komplementere. Ezért, ha megvan az F valószínűsége (amely a gyakorlatban megadva van), akkor a komplement szabály segítségével kiszámíthatjuk E valószínűségét:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Most kiszámíthatjuk a teljes rendszer működésének valószínűségét:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

És ismét a komplement szabályt alkalmazva kiszámítjuk a rendszer meghibásodásának valószínűségét:

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Példa a komplementer szabályra a statisztikákban

Válasz

Annak a valószínűsége, hogy a rendszer meghibásodik az első évben, 0,010 vagy 1,0%.

Hivatkozások

Devore, JL (1998). VALÓSZÍNŰSÉG ÉS STATISZTIKA A MÉRNÖK ÉS TUDOMÁNYOK SZÁMÁRA . International Thomson Publishers, SA

Kiegészítési szabály . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

A komplementer szabálya valószínűségekben . (2021, január 1.). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados