Példa a sokaság szórásának kiszámítására

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

A sokaság szórása az egyik legfontosabb populációs paraméter az adatok sokaságon belüli változékonyságának vagy szórásának mérésére. Mint a statisztikákban minden paramétert, ezt is egy görög betű jelöli, jelen esetben a σ (szigma) betű. Ez lehetővé teszi, hogy könnyen megkülönböztesse a minta(ok) szórását, amely bár hasonló, de nem ugyanaz, és nem is ugyanazokkal a képletekkel számítják ki.

Ezután egy példán keresztül látni fogjuk, hogyan lehet kiszámítani egy sokaság szórását . Megjegyzendő, hogy a populáció szórásának kiszámításához elengedhetetlen az összes populációs adat ismerete. Ez ritkán fordul elő valós környezetben, de még mindig fontos megérteni, hogyan számítják ki, mivel segít megérteni e fontos paraméter néhány matematikai jellemzőjét.

Populációs szórási képletek

A rendelkezésre álló adatoktól függően a sokaság szórása három különböző képlettel határozható meg.

A sokaság szórásának matematikai meghatározása

A szórást a variancia négyzetgyökeként definiáljuk, σ 2 . Azaz, ha ismerjük a sokaság szórását, akkor a szórást a következő egyenlet segítségével számíthatjuk ki:

Populáció szórás számítási példa

Ez az eset ritkán fordul elő, de jó észben tartani.

Egyéb sokaság szórási képletek

Ha egy sokaság szórásának ismerete helyett ismerjük az összes azt alkotó N adatelemet, akkor a sokaság szórását az átlagtól való négyzetes eltérések átlagának négyzetgyökeként számíthatjuk ki. Vagyis:

Populáció szórás számítási példa

Ebben az egyenletben x i jelenti a sokaság egyes adatelemeinek értékét, N a sokaság adatelemeinek számát (vagy a sokaság méretét, amely megegyezik), μ pedig a sokaság átlagát. Vegye figyelembe, hogy a sokaság átlagát görög betű is jelöli, mivel ez egy másik populációs paraméter, és a sokaság méretét N (nagybetű) jelöli, hogy megkülönböztesse azt n-től, amelyet általában a minta méretével társítanak .

A populáció átlagát, μ, a következő képlet adja:

Populáció szórás számítási példa

A 2. egyenlet kibővíthető, átrendezhető és egyszerűsíthető, hogy megkapjuk:

Populáció szórás számítási példa

Abban az esetben, ha a sokaság egyedi adatai nem állnak rendelkezésre, hanem gyakorisági táblázatban vannak csoportosítva, az előző képleteket kis mértékben módosítjuk, így adjuk meg:

Populáció szórás számítási példa

A fenti egyenletekben a gyökben lévő mennyiség nem más, mint a populáció varianciája. A 4. egyenletnek megvan az az előnye, hogy kizárólag népességi adatok alapján állapítható meg, nem pedig valamilyen populációs paraméter alapján, mint a 2. és 5. egyenlet esetében.

Példa a sokaság szórásának kiszámítására

Tegyük fel, hogy meg akarjuk határozni egy adott autómodell tömegének ingadozását, amelyre csak 20 példa ismert világszerte. A 20 autó kilogrammban kifejezett tömegének adatait az alábbi táblázat tartalmazza:

410 408 408 405 391 390 402 397 397 395
390 404 397 394 399 397 405 408 410 400

Mivel tudjuk, hogy ebből a modellből mindössze 20 autó van, ezek a teljes népességet képviselik, így a populáció szórásának meghatározásához minden adatunk megvan . Nézzünk meg három különböző módot ennek a szórásnak a meghatározására.

1. módszer: Számítás a variancia definíciója alapján

Ez a módszer a fent bemutatott 2. egyenlet használatán alapul. Amint látjuk, az egyenlet a sokaság átlagának és egy másik számítási sorozat felhasználását igényli, amelyeket az alábbiakban részletezünk:

1. lépés: Határozza meg a populáció átlagát

A populációs átlagot vagy μ-t a 3. egyenlet segítségével számítjuk ki, összeadjuk az összes adatot, és elosztjuk az adatok teljes számával, ami ebben az esetben 20.

Populáció szórás számítási példa

2. lépés: Számítsa ki az átlagtól való eltéréseket

Ez a lépés magában foglalja a kivonások (x i – μ) kiszámítását. Például:

x 1 – μ = 410 – 400,35 kg = 9,65 kg

x 2 – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

x 3 – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

X 20 – μ = 400 kg – 400,35 kg = – 0,35

Az eredményeket az alábbi táblázat mutatja be:

x i x i – μ
410 9.65
408 7.65
408 7.65
405 4.65
391 -9.35
390 -10.35
402 1.65
397 -3.35
397 -3.35
395 -5.35
390 -10.35
404 3.65
397 -3.35
394 -6.35
399 -1.35
397 -3.35
405 4.65
408 7.65
410 9.65
400 -0,35

3. lépés: Az átlagtól való összes eltérést négyzetre emelje

(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2

(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2

Az eredményeket az alábbi táblázat mutatja be:

x i / kg (x i – μ)/ kg (x i – μ ) 2 / kg 2
410 9.65 93.1225
408 7.65 58,5225
408 7.65 58,5225
405 4.65 21.6225
391 -9.35 87,4225
390 -10.35 107.1225
402 1.65 2,7225
397 -3.35 11.2225
397 -3.35 11.2225
395 -5.35 28.6225
390 -10.35 107.1225
404 3.65 13.3225
397 -3.35 11.2225
394 -6.35 40,3225
399 -1.35 1,8225
397 -3.35 11.2225
405 4.65 21.6225
408 7.65 58,5225
410 9.65 93.1225
400 -0,35 0,1225

4. lépés: Adja össze az összes négyzetes eltérést

Populáció szórás számítási példa

5. lépés: Alkalmazza a 2. egyenlet képletét

Most, hogy megvan ez az összeg, csak le kell cserélni ezt az értéket, valamint az adatok számát, amely 20, a 2. egyenletben:

Populáció szórás számítási példa

Így azt kapjuk, hogy a 20 gépkocsi tömegének szórása kb. 6,5 kg.

2. módszer: Az átrendezett egyenlet használata

Most ugyanezt a számítást végezzük el, de a 4-es egyenlet felhasználásával, amely egyenértékű az imént használt egyenlettel, de praktikusabb, különösen, ha nagyobb számú adattal dolgozik. Legfőbb előnye, hogy az eltérések kiszámításához nem kell további paramétert (a sokaság átlagát) számítani, hanem minden az eredeti egyedi adatok alapján történik. Ezenkívül soha nem kell negatív számokkal dolgozni, amelyek nagy hibaforrást jelentenek a diákok körében.

1. lépés: Számítsa ki az egyes adatok négyzetét

Vagyis a következő számításokat hajtják végre:

(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168 100 kg 2

(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2

(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2

(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160 000 kg 2

Az eredményeket az alábbi táblázat mutatja be:

x i x i 2
410 168 100
408 166 464
408 166 464
405 164,025
391 152,881
390 152 100
402 161,604
397 157.609
397 157.609
395 156,025
390 152 100
404 163,216
397 157.609
394 155,236
399 159,201
397 157.609
405 164,025
408 166 464
410 168 100
400 160 000

2. lépés: Adja össze az összes egyedi adatot

Populáció szórás számítási példa

3. lépés: Adja hozzá az összes négyzetet

Populáció szórás számítási példa

4. lépés: Alkalmazza a 4. egyenlet képletét

Az utolsó lépés ennek a két értéknek és a 4. egyenletben szereplő adatok számának bevezetése a sokaság szórásának kiszámításához:

Populáció szórás számítási példa

3. módszer: Táblázatok használata

Az olyan táblázatok, mint a Microsoft Excel, az Apple Numbers vagy a Google Sheets, alapvető funkcióik közé tartozik a szórás közvetlen kiszámítása (mind a minta, mind a sokaság). Ezek a függvények egy adatkészletet vesznek fel argumentumként, és végrehajtják az előző módszerben bemutatott összes számítást, hogy közvetlenül visszaadják a szórást abban a cellában, ahol a képletet beírták.

Az eljárás a következő:

1. lépés: Írja be az adatokat a táblázatba

Az adatokat oszlop, sor vagy mátrix formájában bárhol beírhatjuk a táblázatba. A következő képernyőkép azt mutatja, hogy a probléma adatai hogyan néznek ki az Excel 2016-ban.

Populáció szórás számítási példa

2. lépés: Használja a képletet a szórás kiszámításához

Az adatok hozzáadása után a szórás függvényt használjuk, argumentumként elhelyezve azokat a cellákat, ahol az adat található.

Ha egy függvényt táblázatban szeretnénk meghívni, akkor általában az egyenlőségjel (=) beírásával kezdjük, majd a használni kívánt függvény nevét. A nevek enyhén változnak egyik alkalmazásról a másikra, és bizonyos esetekben attól függően is változnak, hogy milyen nyelven dolgozik.

Az Excel (spanyol verzió) esetében a sokaság szórását számító függvény neve STDEV.P, míg a Google Sheetsben STDEVP (pont nélkül). Ezután zárójelbe kell írnia a függvény argumentumait. Példánkban argumentumként adjuk át a cellák azon tartományát, amelyben az adatok találhatók (A3-tól J4-ig).

Populáció szórás számítási példa

Az ENTER megnyomásával a program futtatja a függvényt és kiszámítja a sokaság szórását, az eredményt a megfelelő cellában megjelenítve, az alábbiak szerint:

Populáció szórás számítási példa

Amint látjuk, az itt alkalmazott három módszer bármelyike ​​ugyanazt az eredményt hozza. Csak különböző módokon lehet ugyanazt a dolgot csinálni.

egyéb módszerek

A fent említett három módszer mellett a tudományos és pénzügyi számológépeknek gyakran van olyan funkciója is, amely meghatározza egy adathalmaz szórását, legyen az minta vagy sokaság. Az adatok bevitelének és az eredmények megszerzésének módja gyártónként, sőt számológépenként is eltérő, ezért nem célszerű itt bemutatni ennek konkrét lépéseit.

Ehelyett megvitatjuk a legfontosabb általános lépéseket anélkül, hogy elmélyülnénk bennük. Bárki, aki ezt a funkciót tudományos számológépén szeretné használni, olvassa el a számológéphez mellékelt használati útmutatót, vagy keressen benne online, hogy minden esetben meghatározza a konkrét billentyűkombinációt.

1. lépés: Törölje a memóriát

Sok számológépen a korábban tárolt adatok nem láthatók. Ha másokról adunk meg adatokat, amelyek már el lettek tárolva anélkül, hogy észrevennénk, akkor a számológép rossz eredményt ad. Annak érdekében, hogy ez ne forduljon elő, ajánlatos a számológép teljes memóriáját (vagy legalább a statisztikai elemzési módot) kiüríteni, mielőtt új adatok bevitelét kezdené.

2. lépés: A statisztikai mód elérése

A szórás kiszámítására szolgáló függvények a legtöbb számológépen a „Statisztika”, „Statisztika” vagy egyszerűen „S” üzemmód részét képezik, ezért először ebbe a működési módba kell belépni.

3. lépés: Adja meg az adatokat

Ez számológépenként változik. Egyes esetekben az adatok táblázatos formában adhatók hozzá, míg más esetekben a DT (vagy DAT) gomb megnyomása után egyenként kerül beírásra. Fontos, hogy ellenőrizze a lépés végén beírt adatok számát, hogy megbizonyosodjon arról, hogy egyik sem hiányzik.

4. lépés: Számítsa ki a sokaság szórását

Az adatok megadása után már csak a keresett eredményt kell megkérdezni a kalkulátortól. Sok számológépen mind a minta, mind a sokaság szórását a σ szimbólum jelöli (annak ellenére, hogy a minta eltérése esetén ez hiba). Megkülönböztethetjük azonban a minta eltérését a sokaság eltérésétől, mert a mintaeltérést n-1 kíséri (vagyis σ n-1 -ként jelenik meg ), míg a sokaság eltérése s n -ként jelenik meg . Ez arra utal, hogy a minta szórásának számításakor azt n helyett n-1-gyel osztják, mint a sokaságban.

Hivatkozások

Devore, JL (2019). Valószínűség és statisztika (1. kiadás ). Cengage Learning.

MateMobile. (2021, január 1.). Variancia és szórása bindált adatokhoz | matermobile . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Google technikai támogatás. (nd). STDEV (STDEV) – Google Dokumentumok Szerkesztői Súgó . Google – Google Docs Editors Súgó. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=hu-419

Szuperprof. (nd). Szórás . Matematika szótár | Szuperprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.digitális. (nd). Csoportosított adatok standard eltérése . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados