Tabla de Contenidos
A statisztikai számítások pillanatai olyan paraméterek meghatározásával foglalkoznak, mint a valószínűségi eloszlás átlaga, szórása vagy ferdesége. A momentum kifejezés a fizikából, különböző tömegű testek tömegközéppontjának kiszámításából származik.
a pillanat meghatározása
Ha van egy x 1 , x 2 , x 3 , … x n diszkrét adat halmaza, az s sorrend pillanatát a következőképpen határozzuk meg:
( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n
Fontos a számítás végrehajtásának sorrendje. Először meg kell tennie az s hatványra való emelést, majd az összeadást és végül az n- nel való osztást .
Ezt a definíciót alkalmazva az elsőrendű pillanatot kapjuk, amikor s = 1, és az előző képlet a következő alakot veszi fel:
( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n
Ez egy értékhalmaz átlagának képletének kifejezése.
Ha az általunk elemzett halmaz 4 számból áll: 1, 3, 6, 10, akkor ennek a halmaznak az elsőrendű momentuma:
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
Ebben a példában megfigyelhető, hogy az elsőrendű momentum a vizsgált értékkészlet átlaga.
A másodrendű nyomaték s = 2-nek felel meg, és a definíció ekkor a következő lesz:
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n
Ha az előző példára alkalmazzuk, a következőket kapjuk:
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5
Hasonlóképpen, a harmadik rendű nyomaték s = 3- nak felel meg, és a képlet alakja a következő:
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n
És az általunk vizsgált példában a számítás a következő kifejezéssel rendelkezik:
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
Egy értékhalmaz átlagának mozzanatai
A momentum fogalmának másik alkalmazása egy értékhalmaz átlagának kiszámítása. Vagyis azokra az értékekre, amelyeket egy halmaz egyes értékeinek az átlaghoz viszonyított különbségéből kapunk. Ehhez először ki kell számítani a halmaz átlagértékét, majd az átlag és a halmaz egyes értékeinek különbségeként definiálni azt a változót, amelyen a pillanatok kiszámításra kerülnek, végül az előző képletet kell alkalmazni erre az új változóra.
Ekkor, ha m az x 1 , x 2 , x 3 , … x n értékhalmaz átlaga , akkor egy értékhalmaz átlagos m s körüli momentumok a következő formában lesznek:
m s = [( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( x n – m ) s ]/ n
E számítás szerint az átlag elsőrendű momentuma 0. Nézzük meg, hogyan kapjuk ezt az eredményt:
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n – n . m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
Az átlag másodrendű momentumának a következő kifejezése van:
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( x n – m ) 2 ]/ n
Ez egy értékkészlet szórásának képlete.
Ha ezt a képletet alkalmazzuk az előző példára, akkor azt kapjuk, hogy a már kiszámított átlag 5, így a képlet
m 2 = [(1–5) 2 + (3–5) 2 + (6–5) 2 + (10–5) 2 ]/4 = 11,5
Így azt látjuk, hogy egy értékhalmaz elsőrendű momentuma az átlag, a másodrendű az átlagra vonatkozó momentum pedig ennek a halmaznak a varianciája. Az átlag harmadrendű momentumát használta Karl Pearson az értékhalmaz ferdeségének számításához, míg az átlag negyedrendű momentumát a statisztikai kurtózis számításához.
Források
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Bevezetés a statisztika elméletébe . Harmadik kiadás, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, Understanding Advanced Statistical Methods . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.