Mik a valós számok?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

A számok különböző tulajdonságokkal rendelkeznek, és különböző csoportokba sorolhatók. Az egyik ilyen csoport, amely széles körben alkalmazható a matematika különböző ágaiban, a valós számok. Hogy jobban megértsük őket, először nézzük meg, melyek a különböző típusú számok.

A számok

Az első dolog, amit megtudunk a számokról , az az, hogy hogyan használjuk őket számolásra; kezdjük az ujjainkkal való párosítással, hogy egyszerű műveleteket hajtsunk végre. Így a tíz ujjunk a tizedes rendszer alapja. Innentől olyan nagy mennyiségeket számolunk, amennyit csak tudunk, és megjegyezzük, hogy a számok végtelenek. Így a nullát (0) hozzáadva, amikor nincs mit számolnunk, a természetes számok keletkeznek.

A természetes számokkal aritmetikai műveleteket végzünk, és amikor egy számból kivonunk egy másik számot, akkor a negatív számokat kell bevezetnünk. Tehát a negatív számokat hozzáadva a természetesekhez, megkapjuk az egész számok halmazát.

A számokkal végzett aritmetikai műveletek közül az osztás. És azt tapasztaljuk, hogy vannak olyan esetek, amikor az egyik számot a másikkal osztva az eredmény nem egész szám; Ezt az osztási eredményt sok esetben csak magával az osztási kifejezéssel, azaz törttel lehet pontosan ábrázolni. Így épül fel a racionális számok halmaza, amelyben minden szám törtként van felírva, és az egész számoknak az 1 a nevezője.

Az ősi civilizációk figyelték meg, hogy vannak számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni. Geometriai alakzatokkal dolgozva megtalálták a pi számot, a kör sugara és hossza közötti összefüggést, egy olyan számot, amely nem fejezhető ki két egész szám hányadosaként. Ugyanez a helyzet a 2-es szám négyzetgyökével is (vagyis az önmagával megszorzott szám a 2-t adná eredményül). És sok olyan szám jelenik meg a tudás különböző ágaiban, amelyek nem részei a racionális számok halmazának. Ezeket a számokat, amelyeket nem lehet pontosan leírni két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. A racionális és irracionális számok halmaza tehát a valós számok halmaza.

A valós számok egy még nagyobb számkészlet részei: a komplex számoknak. A valós számok halmazának ez a kiterjesztése akkor következik be, amikor egy negatív szám négyzetgyökét akarjuk kiszámítani; Mivel két negatív szám szorzata mindig pozitív, nincs olyan valós szám, amely önmagával szorozva negatív lenne. Ekkor meghatározzuk az i képzeletbeli számot , amely a -1 négyzetgyökét jelenti, és létrejön a komplex számok halmaza.

decimális ábrázolás

Minden szám kifejezhető decimális formában; Például az 1/2 racionális szám decimális formában kifejezhető 0,5-tel. Ellentétben az 1/2 racionális számmal, amely pontosan egyetlen tizedesjellel ábrázolható, a többi racionális számnak végtelen számú tizedesjegye van, és nemPontosan a decimális ábrázolással fejezhetők ki. Ez az 1/3 szám esete; A tizedesábrázolása 0,33333…, végtelen számú tizedesjegygel. Ezeket a racionális számokat periodikus decimális számoknak nevezzük, mivel minden esetben létezik egy végtelenül sokszor ismétlődő számsor. Az 1/3 szám esetén ez a sorozat 3; az 1/7-es szám esetében a decimális alakja 0,1428571428571…, a végtelenül ismétlődő sorozat pedig 142857. Az irracionális számok nem periodikus decimális számok; nincs olyan sorozat, amely a decimális ábrázolásában végtelenül sokszor ismétlődik.

Vizuális ábrázolás

A valós számok úgy jeleníthetők meg, hogy mindegyiket a végtelen sok pont egyikéhez rendeljük egy egyenes mentén, amint az az ábrán látható. Ezen a grafikus ábrázoláson található a pi szám, amelynek értéke körülbelül 3,1416, az e szám , amely körülbelül 2,7183, és a 2 szám négyzetgyöke, körülbelül 1,4142. A 0-tól jobbra a pozitív valós számok növekvő alakban helyezkednek el, balra pedig a negatívak, amelyek abszolút értéküket ebben az irányban növelik.

Valós számok vizuális ábrázolása.
Valós számok vizuális ábrázolása.

A valós számok néhány tulajdonsága

A valós számok egész számokként vagy racionális számokként viselkednek, amelyeket jobban ismerünk. Ezeket ugyanúgy összeadhatjuk, kivonhatjuk, szorozhatjuk és oszthatjuk; az egyetlen kivétel a 0-val való osztás, amely művelet nem lehetséges. Az összeadások és szorzások sorrendje nem lényeges, hiszen a kommutatív tulajdonság továbbra is fennáll, és a disztributív tulajdonság is ugyanúgy érvényesül. Ugyanígy két x és y valós szám egyedi módon van rendezve, és az alábbi összefüggések közül csak az egyik helyes:

x = y , x < y vagy x > y

A valós számok végtelenek, akárcsak az egészek és a racionális számok. Ez elvileg nyilvánvaló, mivel mind az egész számok, mind a racionális számok a valós számok részhalmazai. De van különbség: az egész számok és a racionális számok esetében azt mondják, hogy ezek megszámlálhatóan végtelen számok; ehelyett a valós számok végtelenül megszámlálhatatlanok.

Egy halmazt akkor mondunk megszámlálhatónak vagy megszámlálhatónak, ha minden összetevője hozzárendelhető egy természetes számhoz. Az asszociáció egész számok esetén nyilvánvaló; a racionális számok esetében a természetes számok párjával, a számlálóval és a nevezővel való asszociációnak tekinthető. Ez az asszociáció azonban valós számok esetén nem lehetséges.

Források

  • Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetika és algebra . Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, szerk. Matematika 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
  • Carlos Ivorra. Logika és halmazelmélet . 2011.

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados