Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

Különböző típusú számítások végzése során, legyen szó akár tudományról, akár mérnöki tudományról, nagyon gyakori, hogy kísérleti adatokat használunk, amelyeket különböző táblázatokba rendezve találunk. Ezek az adatok általában két olyan változóra vonatkoznak, amelyekről tudjuk, hogy függnek egymástól, de amelyek matematikai függését nem ismerjük. Ez nem lenne probléma, ha a szükséges adatok a táblázatban szerepelnének, de ez ritkán fordul elő. Gyakoribb, hogy az egyik változó értékére van szükségünk a másik olyan értékéhez, amely nem található a táblázatban.

Amikor ez megtörténik, a kísérleti vagy táblázatos adatokat egy polinomiális matematikai függvényhez illeszthetjük, amivel azután közelíthetjük a kérdéses változó ismeretlen értékét. Ez a folyamat magában foglalhat interpolációt vagy extrapolációt.

Ez a két folyamat szorosan összefügg, és ugyanazon az alapvető hangolási eljáráson alapul, de nem ugyanaz. Ezután megvitatjuk, hogy mi a fő különbség a függő változó értékének becslésére szolgáló két módszer között egy független változó adott értékéhez.

interpolációs definíció

Az interpoláció egy függő változó értékének becslése a független változó egy adott értékére a becsülni kívánt pont feletti és alatti adathalmaz vagy diszkrét pontok ismeretében. Más szóval, ez egy olyan pont becslésének folyamata, amely két ismert pont között helyezkedik el. A következő grafikon a kék pontok által ábrázolt adatok sorozatát mutatja, a piros pont pedig az X 1 és X 2 pontjai közötti interpolációt .

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Az interpoláció szó két latin szó egyesüléséből származik, amelyek az inter- előtag, ami azt jelenti, hogy időközönként vagy időközönként, és a -polire , ami azt jelenti, hogy tolni vagy ösztönözni, utalva arra a tényre, hogy az interpolációnak köze van kettő tolásához vagy mozgatásához. egy pontig, amely közöttük van.

Extrapoláció meghatározása

Az extrapoláció felfogható egy függő változó értékének a független változó értékére vonatkozó becslésének folyamataként olyan pontok vagy adatok halmazából, amelyek mindegyike nagyobb, vagy kisebb, mint a becsülendő pont.

Más szóval, ez egy olyan pont értékének becslésének folyamata, amely minden ismert pont vagy adat felett vagy alatt van. A következő ábra egy példát mutat az adatok extrapolálására az összes ismert adat feletti pontra.

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Etimológiai szempontból az extrapolátumnak ugyanaz a latin gyöke –polire , csak ezúttal az extra- latin előtag előzi meg, ami azt jelenti, hogy ki. Így a kifejezés azon pontok becslésére vonatkozik, amelyek kívül esnek az eredeti adatkészlet tartományán, vagy azért, mert nagyobb vagy kisebb, mint az összes ismert adat.

Az interpoláció és az extrapoláció bizonytalanságának különbségei

Az interpoláció és az extrapoláció összehasonlításakor megfigyelhető, hogy lényeges különbség van a keresett adatok valós értékétől jelentősen eltérő eredmények előállításának kockázatát illetően. Interpoláció esetén, mivel két egymást követő pont között történik, bizonyos fokú bizonyossággal lehetünk arról, hogy az általunk interpolált érték valahol e két pont között van. Vagyis bizonyos bizonyossággal rendelkezünk arra, hogy az ismeretlen függvény értéke nem ugrik fel vagy le, mielőtt eléri a következő pontot, mert tudjuk, hogy hol van a következő pont.

Ehelyett, amikor extrapolációt végzünk, az adatok viselkedését előre vagy hátra vetítjük, és mivel nincsenek referenciapontok előre (vagy hátrább, ha ez a helyzet), így nem tudhatjuk, hogyan viselkedik. . valóban a változó. Előfordulhat, hogy ugyanazzal a viselkedéssel folytatódik, mint korábban, például hirtelen tüzelhet bármelyik irányba. Emiatt az extrapoláció nagyobb bizonytalanságot hordoz, mint az interpoláció.

Általában különböző polinomfüggvényekre illesztik őket

Az extrapolációs és interpolációs folyamatok két vagy több ismert pont matematikai függvényhez való igazításán alapulnak, amely lehetővé teszi a függvény értékének előrejelzését más ismeretlen pontokban. Mind az interpoláció, mind az extrapoláció esetén a becsléshez leggyakrabban használt függvény a lineáris függvény (y = mx +b). Míg ez a függvény interpolációra és extrapolációra is alkalmas, ha a becsülni kívánt ismeretlen érték ésszerűen közel van az ismert pontokhoz, ez már nem így van, ha a szélsőségektől távol extrapolálunk.

Valójában, ha az adatok egésze nem feltűnően lineáris viselkedésű, az extrapolációk nagyon gyorsan eltávolodhatnak a valódi értéktől, ahogy eltávolodunk bármelyik szélsőségtől. Ez az oka annak, hogy az extrapoláció általában nagyobb körültekintést és olyan extrapolációs függvények használatát igényel, amelyek bonyolultabbak vagy magasabb rendűek, mint az interpolációhoz használtak.

Ez utóbbi esetben a lineáris interpoláció szinte mindig megfelelő, feltételezve, hogy az ismert adatok vagy pontok nincsenek túl messze egymástól.

Eltérhetnek a becsléshez szükséges adatelemek számában

Egy másik fontos különbség az interpoláció és az extrapoláció között a becslés végrehajtásához szükséges adatelemek száma. Az interpoláció során szinte mindig azt feltételezzük, hogy a keresett pont értéke a két legközelebbi pontot összekötő egyenesen fekszik. Ebben az esetben ennek a két pontnak az ismerete elegendő az interpoláció végrehajtásához. Más szóval, a meredekségbecslés hibájának hatása az interpolációra ritkán komoly, mivel a becsült pont szinte mindig a két ismert pont között lesz.

Másrészt, extrapoláció esetén, mivel a legmagasabb (vagy legalacsonyabb) ponttól távolabb haladva az egyenes meredekségének különbségei egyre nagyobb hatással vannak y értékére, nagyon kockázatos csak kettőt venni. pontokat a lejtő kiszámításához. Ezekben az esetekben általában több pontot illesztünk a legjobb egyenesre vagy egy másik magasabb rendű polinomfüggvényre a legkisebb négyzetek eljárásával, így biztosítva, hogy az általunk előre (vagy hátra) extrapolált egyenes tükrözze a vonal általános viselkedését. az adatok egészét, és nem csak néhányat.

Lineáris interpolált és extrapolált

Lineáris interpoláció és lineáris extrapoláció esetén lényegében ugyanazokat a matematikai egyenleteket alkalmazzuk. Az interpolációs függvény mindkét esetben y = mx + b alakú, ahol y az az érték, amelyet egy adott x értékhez keresünk, m annak az egyenesnek a meredeksége, amelyre az adatokat illesztjük, és b az interpolációs függvény y tengelyével való vágás.

Egy lineáris függvény meredeksége bármely két pontból kiszámítható a következő képlettel:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Ezt a képletet kétszer alkalmazhatjuk, egyszer az ismert adatok sorozatának bármely két pontja között, egy másikat pedig egy ismert pont és a megtalálni kívánt pont között. Mivel mindkét esetben a meredekség azonos, mindkét kifejezést össze tudjuk illeszteni, és így megkapjuk azt a képletet, amely a keresett y értékét a rendelkezésünkre álló x bizonyos értékéhez viszonyítja.

Példa

Tegyük fel, hogy két egymást követő p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) és p k =(x k ; y k ) pontot szeretnénk használni bármely (x ; y) pont interpolálására vagy extrapolálására. Ezután felírhatjuk kétszer a meredekséget, és egyenlővé tesszük, hogy megkapjuk:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Ezt az egyenletet átrendezve a következőt kapjuk:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Megjegyzendő, hogy ebben az esetben semmit sem feltételezünk az (x ; y) pont helyzetéről a becsléshez használt két adathoz viszonyítva, így ugyanazt az egyenletet használjuk mind az interpolációhoz, mind az extrapolációhoz.

Ha igazoljuk, hogy x k-1 < x < x k , vagy más szóval, hogy x x k-1 és x k között van , akkor ez egy interpoláció. Másrészt, ha x>x max vagy x<x min , azaz ha x nagyobb, mint az adatsor maximális értéke vagy kisebb, mint az adatsor minimális értéke, akkor ez extrapoláció.

interpolációs példa

Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy a venezuelai Mérida városában a pizzák iránti kereslet évi 500 000 egység, amikor az átlagos egységár 20 dollár, míg 15 dolláros átlagárnál a kereslet 750 000-re nő. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy megbecsüljük, mekkora lenne a kereslet, ha az árat 16,5 dollárban határoznánk meg.

Megoldás

Megjegyzendő, hogy ez egy példa az interpolációra, mivel a 16,5 dolláros árnak megfelelő becsülni kívánt pont két ismert pont között található (azaz 15 és 20 dollár között van). Ehhez a példához a következőket találjuk:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Most a lineáris interpolációs képlet alkalmazásával:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

 Így, ha a pizzák egységárát 16,5 dollárban határozzák meg, akkor az éves kereslet 675 000 pizza lesz évente.

Példák az extrapolációra

Tegyük fel, hogy a fenti példában meg akarjuk határozni, hogy mekkora lenne a kereslet, ha az egységár 25 dollárra emelkedne. Mivel ebben az esetben bebizonyosodik, hogy x = $25 > $20, akkor ez egy extrapoláció. Ismét az adatok:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Csere:

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbségek

Ezért az extrapoláció azt jósolja, hogy ha az ár 25 dollárra emelkedik, a kereslet a 20 dolláros szint felére csökken.

Hivatkozások

Alonso. (2006, február 13.). 3 Pontokból történő interpoláció módszerei . Madridi Egyetem. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html

Gonza, D. (2016, szeptember). Mértékegysége: adatok interpolációja és extrapolációja . doloresgonza.fájlok. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf

LesKanaris. (nd). Az extrapoláció és az interpoláció közötti különbség – Érdekes – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html

Pinzón, J. (2013, október 9.). Interpoláció és extrapoláció . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/

UNIGAL. (2021, szeptember 14.). Lineáris interpolációs képlet, definíció, példák és egyebek . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados