Képletek a geometriai alakzatok területeinek és térfogatainak kiszámításához

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

A gömb területének és térfogatának kiszámítására szolgáló képletek a következők

  • Felület = 4πr 2
  • Térfogat = (4/3)πr 3

2. A kúp területének és térfogatának kiszámítása

Punci
r alapsugárral és h magassággal rendelkező kúp

A kúp olyan kör alakú gúla, amelynek ferde oldalai a kúp tengelyének egy középpontjában találkoznak, egy olyan egyenesben, amely merőleges az alap síkjára, amely átmegy a kúp alapját képező kerület középpontján, amint látható A fenti ábrán látható. Felületének vagy térfogatának kiszámításához ismerni kell az r alap sugarát és az s oldal hosszát . Ha az s oldalhossz értéke nem ismert , akkor a kúp h magasságának ismeretében kiszámítható (lásd a fenti ábrát).

s = √ (r 2 + h 2 )

A kúp teljes felülete az alapfelület és az oldalfelület területének összegeként számítható ki.

  • Alapterület: πr 2
  • Oldalterület: πrs
  • Teljes terület = πr  + πrs

A kúp térfogatának kiszámításához csak az alap sugarára és a magasságára van szükség.

  • Térfogat = 1/3 πr 2 óra

3. Egy henger felületének és térfogatának kiszámítása

henger
henger alapsugárral és h magassággal

A felület- és térfogatszámítások könnyebbek egy hengernél, mint egy kúpnál. A henger alapja kör alakú, és az elforgatáskor az oldalfelületet létrehozó vonalak párhuzamosak és merőlegesek az alappal. Felületének vagy térfogatának kiszámításához csak az r sugár  és a h magasság szükséges .

Akárcsak a kúp esetében, a felület az azt alkotó felületek összege; a felső alap és az alsó alap területének összege (amelyek egyenlőek), valamint az oldalfelület területének összege.

  • Felület = 2πr 2  + 2πrh
  • Térfogat = πr 2h

4. Téglalap alakú prizma felületének és térfogatának kiszámítása

derékszögű hasáb
az a, b és c oldalak négyszögletes prizmái

A három dimenzióban kibontott téglalap téglalap alakú prizmává válik; Vagy csak egy doboz. Ha egy téglalap alakú prizma minden oldala egyenlő, a prizma kocka lesz. Ezért mind a felület, mind a térfogat kiszámítása ugyanazokkal a képletekkel történik. Ehhez ismerni kell a prizma három oldalának nagyságát; a, b és c, a felső ábrán.

  • Terület = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
  • kötet = abc

Ha van egy a oldalú kockánk , akkor az előző képletek lesznek

  • Egy kocka területe = 6a 2
  • Egy kocka térfogata = a 3

5. Négyzet alakú gúla területének és térfogatának kiszámítása

négyzet alakú alappiramis
négyzetes alapgúla, melynek oldala b magassága h

Ebben az esetben a négyzet alappal és a lapjain egyenlő oldalú háromszögekkel rendelkező gúla felületének és térfogatának kiszámításához használt képleteket látjuk . A számításokhoz ismernünk kell a b alap négyzetének oldalát és a h magasságot , ez az alap négyzetének középpontja és a csúcs közötti távolság, ahogy az a fenti ábrán látható. És s lesz a gúla lapjait alkotó minden egyenlő oldalú háromszög magassága, amely a következő képlettel számítható ki.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

Az előző esetekhez hasonlóan a felület területe az alapterület és a lapok négy egyenlő oldalú háromszögének területe összege.

  • Felület = 2bs + b 2
  • Térfogat = (1/3) b 2 óra

6. Egyenlőszárú háromszög prizma felületének és térfogatának kiszámítása

prizma
egyenlő szárú háromszög hasáb, melynek oldala b hossz l

Az egyenlő szárú háromszög alakú prizma felületének és térfogatának kiszámítására szolgáló képletek alkalmazásához három paraméterre van szükség a fenti ábra szerint; a b egyenlő szárú háromszög alapja , a h háromszög magassága és az l prizma hossza . A definíciókat az egyenlő szárú háromszög s oldalával egészítjük ki . A háromszög s oldala a háromszög többi adatából a következő képlettel számítható ki.

s = √ ((b/2) 2 + h 2 )

A felület és a térfogat kiszámítására szolgáló képletek a következők.

  • Terület = bh + 2 l s + l b
  • Térfogat = (1/2)bh l

Ha olyan prizma felületét és térfogatát szeretné kiszámítani, amely nem egyenlő szárú háromszög, akkor a következő eljárást alkalmazhatja. Meghatározhatja az alap A területét és P kerületét , és a következő képleteket használhatja.

  • Felület = 2A + P l
  • Kötet = A l

7. Egy körszektor területének és hosszának kiszámítása

körkörös szektor
r sugarú és θ szögű körszektor

A felső ábrán a θ szög által meghatározott r sugarú kör szektora látható , amely fokban vagy radiánban is kifejezhető. A körszektor területének és az ív hosszának kiszámításához szükséges, hogy a θ szöget radiánban fejezzük ki, tehát ha fokban fejezzük ki, akkor az átalakítást a következő képlettel kell elvégezni.

θ szög radiánban = ( θ szög fokban) π /180

A körszektor területét és az ív hosszát a következő képletekkel számítjuk ki.

  • Terület = (θ/2) r 2  θ radiánban
  • Arc L = θr   θ radiánban

A kör területe és kerülete egy szektor sajátos esete, amely akkor következik be, ha a θ szög egyenlő 2 π -vel . Tehát a kör területét és kerületét a következőképpen számítjuk ki.

  • Egy kör területe = π r 2 
  • Kerület = 2 π r

8. Egy ellipszis területének kiszámítása

ellipszis
az a és b féltengelyek ellipszise

Az ellipszis, más néven ovális, és amely megnyúlt körként azonosítható, olyan pontok halmaza, amelyeknek két fix ponttól való távolságának összege állandó. A fenti ábrán a fókuszokat két pont ábrázolja. Egy ellipszist a két féltengelyével határozhatunk meg, amint az az ábrán látható; az a félnagy tengely és a b félnagy tengely . Az ellipszis területét a következő képlettel számítjuk ki.

  • Terület = πab

9. Háromszög területének és kerületének kiszámítása

háromszög
háromszög alap b magasság h

A háromszög az egyik legegyszerűbb geometriai alakzat, és a kerületét könnyű kiszámítani , ismerve az a, b és c oldalak hosszát . 

  • kerület = a + b + c

A háromszög területének kiszámításához szükség van az egyik oldalának hosszára b ,  például a fenti ábrán, és az oldalnak megfelelő h magasságra  , amelyet a szemközti csúcsból merőlegesen húzott szakasz hosszaként kell meghatározni. oldalra b . A háromszög területét a következőképpen számítjuk ki

  • Terület = (1/2)bh

10. A paralelogramma területének és kerületének kiszámítása

Paralelogramma
b alap paralelogramma h magassága

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak, amint az a fenti ábrán látható. Mivel a szemközti oldalak párhuzamosak, a szemközti oldalak hossza egyenlő lesz. Az ábra esetében az a és b hosszúságú oldalak . A paralelogramma kerülete az oldalak összege.

  • Egy paralelogramma kerülete = 2a + 2b

A paralelogramma területének kiszámításához h magasságra van szükség ; két párhuzamos oldal távolsága. A terület a magassággal és a magasságnak megfelelő oldallal számítható ki,  az ábra esetében b .

  • Egy paralelogramma területe = bh

A téglalap a paralelogramma sajátos esete; ha a h magasság egyenlő az a oldallal , vagy ha a szomszédos oldalak merőlegesek, akkor a paralelogramma téglalap, és a kerület és a terület képletei a következők.

  • Egy téglalap kerülete = 2a + 2b 
  • Egy téglalap területe = ab

A négyzet viszont egy paralelogramma és egy téglalap sajátos esete; amikor a és b oldalak egyenlőek és a szomszédos oldalak merőlegesek. Az a oldalú négyzet kerületének és területének képlete a következő.

  • négyzet kerülete = 4a 
  • Egy téglalap területe = a 2

11. A trapéz területének és kerületének kiszámítása

Lásd a forrásképeket
trapéz B főalappal, b mellékalappal és h magassággal

A trapéz egy négyszög, amelynek két egymással párhuzamos oldala van. Ezért négy oldalának hossza eltérő, a felső ábrán b , B , c és d , kerületének számításához pedig a négy érték ismerete szükséges. A trapéz kerületét a négy érték összeadásával számítjuk ki.

  • Kerület = b + B + c + d

A trapéz területének kiszámításához ismerni kell  a felső ábrán látható h magasságot, vagyis a két párhuzamos oldal távolságát.

  • Terület = (1/2) (b + B)h

12. Szabályos hatszög területének és kerületének kiszámítása

szabályos hatszög oldala r
szabályos hatszög oldala r

A hat egyenlő oldalú sokszög szabályos hatszög. Mindegyik r oldal hossza megegyezik az egyes csúcsok távolságával a hatszög középpontjától. Az apotém ( a a felső ábrán) a legkisebb távolság a hatszög középpontjától az egyik oldalig; a hatszöget alkotó minden egyenlő oldalú háromszög magassága. A szabályos hatszög kerületét a következőképpen számítjuk ki

  • kerület = 6r

A szabályos hatszög területének kiszámításához a következő képletet használjuk

  • Terület = (3√3/2)r 2

13. Szabályos nyolcszög területének és kerületének kiszámítása

szabályos nyolcszög
szabályos nyolcszög

A szabályos nyolcszög nyolc egyenlő oldalú sokszög. Ha a nyolcszög mindkét oldalának hossza r, akkor egy szabályos nyolcszög kerületét a következőképpen számítjuk ki

  • kerület = 8r

A szabályos nyolcszög területének kiszámításához a következő képletet használjuk

  • Terület = 2(1+√2)r 2

Szökőkút

Weninger, Magnus J. A Polyhedra Cambridge University Press modelljei, 1974.

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados