Mik De Morgan törvényei?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

A logika a matematika egyik ága, és egy része a halmazelmélet. De Morgan törvényei két posztulátum a halmazok közötti kölcsönhatásról. Ezek a törvények Arisztotelész és Ockhami Vilmos előzményeit rögzítik. Augustus De Morgan 1806 és 1871 között élt, és ő volt az első, aki az általa feltételezett törvényeket belefoglalta a matematikai logika formális struktúrájába.

Operátorok a halmazelméletben

Mielőtt rátérnénk De Morgan posztulátumaira, nézzük meg a halmazelmélet néhány definícióját.

Ha van két elemhalmaz, amelyeket A-nak és B-nek nevezünk, akkor e két halmaz metszéspontja a mindkét halmazban közös elemhalmaz. Két halmaz metszéspontját a ∩ szimbólum jelöli, és egy másik halmaz, amelyet C-nek nevezhetünk; C = A∩B, C pedig az A csoportban és a B csoportban is előforduló elemek halmaza. Hasonlóképpen, két A és B halmaz uniója egy új halmaz, amely tartalmazza A és B összes elemét, és a következővel jegyezzük meg: az U szimbólum. A C halmaz, A és B uniója, C = AUB, egy halmaz, amely integrálva van A és B összes elemével. A harmadik definíció, amelyet meg kell jegyeznünk, egy halmaz komplementere . : ha van egy bizonyos elemi univerzumunk, és ennek az univerzumnak egy A halmaza, akkor A komplementere az adott univerzum azon elemeinek halmaza, amelyek nem tartoznak az A halmazba. Az A komplementer halmazát A C-ként jelöljük .

Ez a három halmazok közötti operátor általánosítható több halmaz közötti műveletre, azaz több halmaz metszéspontjára, egyesülésére és komplementerére. Nézzünk egy egyszerű példát. A következő ábra három halmaz Venn-diagramját mutatja: a madarak, a papagáj, a strucc, a kacsa és a pingvin; a repülõ élőlények, amelyeket a papagáj, a kacsa, a pillangó és a repülő hal, valamint az úszó élőlények, amelyeket a kacsa, a pingvin, a repülő hal és a bálna képvisel. A kacsa a három halmaz metszéspontja: a repülő madarak és élőlények egyesülési halmazát a strucc, a papagáj, a pillangó, a kacsa, a pingvin és a repülő hal alkotja. A repülő és az úszó élőlények kiegészítője pedig a struccot tartalmazó készlet.

Három halmaz Venn-diagramja.
Három halmaz Venn-diagramja.

De Morgan törvényei

Most láthatjuk De Morgan törvényeinek posztulátumait. Az első posztulátum azt mondja, hogy két A és B halmaz halmazmetszetének komplementere egyenlő A és B komplementerének halmazegyesével. Az előző bekezdésben definiált operátorok felhasználásával felírható De Morgan első törvénye. a következő módon:

(A∩B) C = A C UB C

De Morgan második törvénye azt feltételezi, hogy A és B unióhalmazának komplementere egyenlő A komplementer halmazának B komplementhalmazával, és ezt a következőképpen jegyezzük meg:

(AUB) C = A C ∩ B C

Lássunk egy példát. Tekintsük a 0 és 5 közötti egész számok halmazát. Ezt [0,1,2,3,4,5]-ként jelöljük. Ebben az univerzumban két A és B halmazt határozunk meg. A az 1, 2 és 3 számok halmaza; A = [1,2,3]. YB a 2, 3 és 4 számok halmaza; B = [2,3,4]. De Morgan első törvénye a következőképpen érvényesülne.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morgan első törvénye: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Az egyenlőség mindkét oldalán szereplő operátorok alkalmazásának eredménye azt mutatja, hogy De Morgan első törvénye beigazolódott. Lássuk a példa alkalmazását a második posztulátumra.

De Morgan második törvénye: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Az első posztulátumhoz hasonlóan az adott példában De Morgan második törvénye is érvényes.

Források

AG Hamilton. Logika matematikusok számára. Szerkesztői Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logika és halmazelmélet . Hozzáférés 2021. november

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados