Tabla de Contenidos
A forgási tehetetlenségi nyomaték vagy egyszerűen a forgási tehetetlenség minden tömegű objektumra jellemző skaláris fizikai mennyiség, amely azt méri, hogy mennyire nehéz elforgatni egy bizonyos forgástengely körül. Ez a lineáris tehetetlenség forgási megfelelője, és mint ilyen, egy olyan mennyiség, amely kifejezi egy tárgy sebességének megváltoztatásának nehézségét, akár nyugalomban, akár mozgásban van, azzal a különbséggel, hogy ebben az esetben körülbelül szögről van szó. sebesség.
Ennek a mennyiségnek nagy jelentősége van a forgási mozgás leírásában, mivel lehetővé teszi azoknak a testeknek a viselkedésében mutatkozó különbségek megértését, amelyek külső alakjuk és tömegük ellenére eltérően viselkednek, ha nyomatéki erőknek vannak kitéve. spin. Ez a különbség a test tömegének a forgástengely körüli eloszlásának különbségéből adódik. A fentiekből következik, hogy ugyanannak a testnek a forgástengelyhez viszonyított helyzetétől függően különböző tehetetlenségi nyomatékai lehetnek, így a tehetetlenségi nyomaték kiszámításához különböző képletek születhetnek.
A fentiek alapján világos, hogy a tehetetlenségi nyomaték meghatározására annyi képlet létezik, amennyi a létező objektumok és forgástengelyek alakja lehetséges. Vannak azonban olyan különleges esetek, amikor a szabályos geometriai alakzatok tengelyek körül forognak, és ezek a gyakorlatban természetesen keletkeznek. A következő részekben látni fogjuk a legfontosabb képleteket e testek forgási tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához.
Pontos részecske tehetetlenségi nyomatékának képlete
Egy pontrészecske tehetetlenségi nyomatéka megfelel ennek a fizikai mennyiségnek az eredeti definíciójának. Ez a kifejezés a forgási kinetikus energia kifejezésből származik, amikor szögsebességben, w.
Tegyük fel, hogy van egy m tömegű részecskünk, amely egy központi tengely körül kering, például:
Ennek a részecskének a mozgási energiáját, mint bármely más mozgó részecskéét, a tömege és a sebessége közötti szorzat fele (sebességének nagysága) határozza meg négyzetre emelve, azaz 1/2 mv 2 -re . Ha azonban ez a részecske egyetlen mozgása a tengely körüli forgás (nincs transzláció), akkor a részecske lineáris sebességét a szögsebesség függvényében fejezhetjük ki, v = rω írással. Ezzel a kinetikus energia, amely ebben az esetben kizárólag a forgási kinetikus energia, a következőképpen fejeződik ki:
Ahol a részecske I tehetetlenségi nyomatéka a következőképpen van meghatározva:
Ebben a kifejezésben m a pontszerű részecske tömege, r pedig a forgási sugár, vagy ami ugyanaz, a forgástengely és a részecske távolsága.
Pontos részecskék halmazának tehetetlenségi nyomatékának képlete
Tételezzük fel most, hogy nem egyetlen részecske kering egy tengely körül, hanem van egy rendszerünk, amely n részecskebõl áll, mindegyiknek egy adott tömege, m i , és mindegyik a forgástengelytõl r i távolságra kering . , mint például az alább látható háromrészecskés rendszer.
Ha ki akarnánk számítani ennek a rendszernek a teljes kinetikus energiáját, akkor csak a három részecske kinetikus energiáját kellene összeadnunk. Ha ezt az elképzelést kiterjesztjük n részecske általános esetére, és feltételezzük, hogy mindegyik azonos szögsebességgel mozog (mivel együtt forognak), akkor a rendszer teljes forgási kinetikus energiáját a következőképpen kapjuk meg:
Ahonnan az következik, hogy egy n részecskéből álló rendszer teljes tehetetlenségi nyomatékát, amelyek ugyanazon tengely körül forognak, mindegyiknek saját tömege és forgási sugara van, a következő képlet adja meg:
Ez a képlet pontszerű részecskékre és bármilyen méretű gömb alakú részecskékre egyaránt vonatkozik, amíg a forgástengely a gömbön kívül van. Ha ez a feltétel teljesül, akkor a sugár a gömb tengelye és középpontja közötti távolságnak, a tömeg pedig a gömb teljes tömegének felel meg.
Merev testek tehetetlenségi nyomatékának integrál képlete
A tehetetlenségi nyomaték fenti képlete pontszerű és diszkrét részecskékből álló rendszerekre vonatkozik. Azonban kiterjeszthető olyan merev testekre is, amelyek tömegeloszlása folytonos, ahogy ez megközelítőleg a makroszkopikus testeknél történik.
Ezekben az esetekben a tehetetlenségi nyomaték kiszámítása abból áll, hogy a testet kis tömegelemekre (Δm i ), amelyek mindegyike a forgástengelytől r i távolságra helyezkednek el, felosztjuk, majd az előző egyenletet alkalmazzuk. Ha azonban a tömegelem méretét addig a határig toljuk, ahol végtelenül kicsi elemmé vagy tömegkülönbséggé (dm) válik, akkor az összegzés lesz az integrál, amint az alább látható:
Ez az általános kifejezés bármely merev test tehetetlenségi nyomatékának meghatározására, függetlenül az alaktól vagy a tömegeloszlástól. A legtöbb esetben az integráció végrehajtásához a dm tömegelemet a test sűrűségének szorzatával a térfogatkülönbséggel, dV szorzatával helyettesítjük . Ez lehetővé teszi az integráció végrehajtását a merev test teljes térfogatára kiterjedően, még akkor is, ha a tömegeloszlás nem egyenletes (addig, amíg ismert, hogyan változik a helyzettől függően).
Ebben az esetben a tehetetlenségi nyomaték integrál kifejezése:
Ezután bemutatjuk az előző kifejezés integrálásának eredményét különböző merev testekre szabályos alakzatokkal, például gyűrűkkel, hengerekkel és gömbökkel. A vizsgált testek méreteit és tömegeit minden alább leírt esetben nagybetűvel ábrázoljuk, hogy megkülönböztessük őket az integrációs változóktól.
Egy vékony, R sugarú egyenletes gyűrű tehetetlenségi nyomatékának képlete a központi tengelye körül
Az egyik legegyszerűbb eset az előző egyenlet integrálásakor egy egyenletes gyűrű, amely a szimmetriaközéppontja körül forog. A következő ábra ezt az esetet mutatja be.
Abban a konkrét esetben, amikor a gyűrű vastagsága elhanyagolható a sugarához képest, úgy tekinthetjük, mint egy vastagság nélküli kerület mentén eloszló tömeget úgy, hogy az összes tömegelem lényegében ugyanabban a sugárban van, ebben az esetben R. Ezen feltételek mellett a sugár elhagyja az integrált, és csak a differenciáltömeg integrálja, dm marad meg, amely egyszerűen az M gyűrű tömege. Az eredmény:
Ebben a kifejezésben a CM azt jelzi, hogy ez a tömegközéppontja körüli tehetetlenségi nyomaték.
A középpontja körül forgó R sugarú tömör gömb tehetetlenségi nyomatékának képlete
R sugarú és egyenletes sűrűségű szilárd gömb esetén, amely bármely átmérője körül forog (a középpontján átmenő tengely), mint amilyen az alábbiakban látható, az előző integrál többféleképpen is megoldható, ezek közül a következők: gömbkoordináta-rendszer segítségével.
Az integráció eredménye ebben az esetben:
A középpontja körüli R 1 belső sugarú és R 2 külső sugarú gömbhéj tehetetlenségi nyomatékának képlete
Ha tömör gömb helyett üreges gömb vagy gömbhéj vastag falakkal, akkor két sugarat kell figyelembe vennünk, a külsőt és a belsőt. Ezeket a következő ábra mutatja.
Ebben az esetben a megoldás az, hogy a gömbhéjat egy R2 sugarú gömbnek tekintjük, amelynek középpontjából egy azonos anyagú gömböt távolítottak el, amelynek sugara R1. Miután meghatároztuk a nagy gömb tömegét és a kis gömb tömegét, amelyet az eredeti héj sűrűségén keresztül visszahúztak, mindkét gömb tehetetlenségét kivonjuk, így kapjuk:
Egy R sugarú vékony gömbhéj tehetetlenségi nyomatékának képlete a középpontja körül
Abban az esetben, ha a gömbhéj vastagsága elhanyagolható a sugarához képest, vagy ami megegyezik, R 1 gyakorlatilag egyenlő R 2 -vel , akkor a tehetetlenségi nyomatékot úgy számíthatjuk ki, mintha az egy felületi tömegeloszlás lenne, mind a központtól R távolságra található.
Ebben az esetben két lehetőségünk van. Az első az integrál megoldása a semmiből. A második az, hogy vegyük az előző eredményt, a vastag gömbhéj eredményét, és kapjuk meg azt a határt, amikor R1 R2-re hajlik. Az eredmény a következő:
Egy L hosszúságú vékony rúd tehetetlenségi nyomatékának képlete a tömegközéppontján átmenő merőleges tengely körül
Ha vékony rúd van, akkor lényegében lineáris tömegeloszlásnak tekinthetjük, függetlenül a profil alakjától (azaz attól, hogy hengeres, négyzetes vagy bármilyen más alakú rúdról van szó). Ezekben az esetekben csak az számít, hogy a tészta egyenletesen oszlik el a rúd hosszában.
Ebben az esetben a tehetetlenségi nyomaték a következőképpen fejeződik ki:
Egy L hosszúságú vékony rúd tehetetlenségi nyomatékának képlete az egyik végén átmenő merőleges tengely körül
Ez ugyanaz az eset, mint fent, de a teljes rúd az egyik végétől merőleges tengely körül forog:
Mivel a rúd tömege átlagosan nagyobb távolságra van a forgástengelytől, a tehetetlenségi nyomaték nagyobb lesz. Valójában négyszer nagyobb, mint az előző esetben, amint azt a következő kifejezés mutatja:
Megjegyzendő, hogy ebben az esetben a tengely nem megy át a tömegközépponton, így a tehetetlenségi nyomaték szimbólumának CM alsó indexe kimaradt.
Egy R sugarú tömör, hengeres rúd tehetetlenségi nyomatékának képlete a központi tengelye körül
Ezt az esetet nagyon egyszerű módon, hengeres koordinátarendszerrel oldjuk meg, és úgy tekintjük a hengert, mintha egyenlő hosszúságú, de eltérő sugarú koncentrikus hengerhéjak alkották volna. Ekkor a sugarat r = 0-tól r = R-ig integráljuk.
Ennek a folyamatnak az eredménye egy hengeres rúd tehetetlenségi képlete, amely:
Megjegyzendő, hogy mivel ez az eredmény nem függ a henger hosszától, ugyanez a kifejezés használható egy kör alakú korong esetében is.
Egy R 1 belső sugarú és R 2 külső sugarú üreges henger tehetetlenségi nyomatékának képlete a központi tengelye körül
Ez a tok hasonló a vastag gömbhéjéhoz. Akkor alkalmazzák, ha a héj vastagsága, illetve a külső és belső sugarai közötti különbség azonos nagyságrendben van magával a sugarakkal, és ezért nem tekinthetjük, hogy a tömeg egy felületre koncentrálódik. Éppen ellenkezőleg, figyelembe kell vennünk, hogy ez a tömeg háromdimenziós eloszlása a héj vastagsága mentén.
Akárcsak a vastag gömbhéj esetében, az R 1 belső sugarú és R 2 külső sugarú üreges henger tehetetlenségi nyomatéka meghatározható közvetlen integrálással, vagy a tehetetlenségi nyomaték levonásával a hengerből a központi lyuk kinyitásakor a héjéval megegyező sűrűségű tömör henger tehetetlenségi nyomatékát eltávolították, az előző szakasz képletét használva e két tehetetlenségi nyomaték mindegyikére.
A két stratégia bármelyikének eredménye ugyanaz, és az alábbiakban mutatjuk be:
Az előző esethez hasonlóan, mivel ez az eredmény nem függ a henger hosszától, kiszámolhatjuk vele egy kör alakú tárcsa tehetetlenségi nyomatékát, amelynek középpontjában lyuk van, mint például alátét vagy Blu-ray lemez.
Egy R sugarú vékony hengeres héj tehetetlenségi nyomatékának képlete a központi tengelye körül
Abban az esetben, ha az alábbi ábrán láthatóhoz hasonló üreges hengerünk van, amelyben a hengerhéj vastagsága nagyon kicsi a henger sugarához képest, akkor feltételezhetjük, hogy a tömeg csak az R sugarú felületen oszlik el. .
A többi esethez hasonlóan itt is elvégezhetjük a direkt integrációt a területi tömegsűrűség felhasználásával, vagy kiértékelhetjük a vastag hengeres héj eredményét abban a határban, ahol R1 R2 felé hajlik. Az eredmény:
Ismét megjegyezzük, hogy ez az eredmény független a hossztól. Ez azt jelenti, hogy egy vékony karikára is vonatkozik. Valójában ellenőrizhetjük, hogy ugyanaz az eredmény, amelyet a vékony gyűrűnek megfelelő szakaszban kaptunk.
Egy szabályos téglalap alakú lemez tehetetlenségi nyomatékának képlete a középpontján átmenő merőleges tengely körül
Végezetül nézzük meg egy téglalap alakú lemez esetét, amely bármely felületére merőleges tengely körül forog, és áthalad a tömegközéppontján, mint az alább látható.
A közvetlen integráció eredménye:
Az előző esetekhez hasonlóan ez az eredmény független a lemez magasságától vagy vastagságától, tehát ugyanúgy vonatkozik egy papírlapra, mint a tömör cementtömbre.
Hivatkozások
Khan Akadémia. (nd). Forgási tehetetlenség (cikk) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
OneClass. (2020, október 6.). OneClass: Kezdve a képlet a tehetetlenségi nyomaték egy rúd . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ és Jewett, JW (1999). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics: 2: Vol. Volume I (5th Edition). McGraw Hill.
Snapsolve. (nd). Üreges vastag gömbhéj tehetetlenségi nyomatéka . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
