ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों और मात्राओं की गणना के लिए सूत्र

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Tabla de Contenidos

एक गोले के क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के सूत्र हैं

  • सतह = 4πr 2
  • आयतन = (4/3)πr 3

2. शंकु के क्षेत्रफल और आयतन की गणना

बिल्ली
आधार त्रिज्या r और ऊँचाई h का शंकु

एक शंकु एक गोलाकार आधार वाला एक पिरामिड है, जिसकी झुकी हुई भुजाएँ शंकु की धुरी पर एक केंद्रीय बिंदु पर मिलती हैं, आधार के तल के लंबवत एक रेखा जो परिधि के केंद्र से होकर गुजरती है जो शंकु के आधार का गठन करती है, जैसा कि आप ऊपर चित्र में देख सकते हैं। इसकी सतह के क्षेत्रफल या इसके आयतन की गणना करने के लिए, आधार r की त्रिज्या और भुजा s की लंबाई ज्ञात होनी चाहिए । यदि भुजा की लंबाई s का मान ज्ञात नहीं है , तो इसकी गणना शंकु h की ऊँचाई को जानकर की जा सकती है (ऊपर चित्र देखें)।

एस = √ (आर 2 + एच 2 )

शंकु के कुल सतह क्षेत्र की गणना आधार के क्षेत्रफल और पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के योग के रूप में की जा सकती है।

  • आधार क्षेत्र: πr 2
  • पार्श्व क्षेत्र: πrs
  • कुल क्षेत्रफल = πr  + πrs

शंकु के आयतन की गणना करने के लिए, आपको केवल आधार की त्रिज्या और ऊँचाई की आवश्यकता होती है।

  • आयतन = 1/3 πr 2 h

3. एक सिलेंडर की सतह क्षेत्र और मात्रा की गणना

सिलेंडर
आधार त्रिज्या r और ऊँचाई h वाला बेलन

एक शंकु की तुलना में एक सिलेंडर के लिए सतह और आयतन की गणना आसान होती है। सिलेंडर का एक गोलाकार आधार होता है और रेखाएं जो घुमाए जाने पर पार्श्व सतह उत्पन्न करती हैं, आधार के समानांतर और लंबवत होती हैं। इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल या आयतन की गणना करने के लिए केवल त्रिज्या r  और ऊँचाई h की आवश्यकता होती है ।

शंकु के मामले में, सतह का क्षेत्रफल उन सतहों का योग है जो इसे बनाते हैं; ऊपरी आधार और निचले आधार (जो बराबर हैं) के क्षेत्रफल और पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का योग।

  • सतह = 2πr 2  + 2πrh
  • आयतन = πr 2h

4. एक आयताकार प्रिज्म की सतह और आयतन की गणना

आयताकार आयता
भुजाओं a, b और c का आयताकार प्रिज्म

तीन आयामों में खुला एक आयत एक आयताकार प्रिज्म बन जाता है; या सिर्फ एक डिब्बा। जब एक आयताकार प्रिज्म की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो प्रिज्म एक घन बन जाता है। इसलिए सतह क्षेत्र और आयतन दोनों की गणना एक ही सूत्र से की जाती है। इसके लिए प्रिज्म के तीनों पक्षों के परिमाण को जानना आवश्यक है; ए, बी और सी, ऊपरी आकृति में।

  • क्षेत्र = 2(एबी) + 2(बीसी) + 2(एसी)
  • वॉल्यूम = एबीसी

यदि हमारे पास भुजा a वाला घन है , तो पिछले सूत्र बन जाते हैं

  • एक घन का क्षेत्रफल = 6a 2
  • घन का आयतन = a 3

5. वर्गाकार आधार वाले पिरामिड के क्षेत्रफल और आयतन की गणना

वर्ग आधार पिरामिड
भुजा b ऊँचाई h का वर्गाकार आधार पिरामिड

इस मामले में हम एक वर्गाकार आधार और उसके फलकों पर समबाहु त्रिभुजों वाले पिरामिड के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को देखते हैं। गणना के लिए आधार b के वर्ग की भुजा और ऊँचाई h जानना आवश्यक है, यह आधार के वर्ग के केंद्र से शीर्ष तक की दूरी है, जैसा कि ऊपर की आकृति में दिखाया गया है। और s प्रत्येक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई होगी जो पिरामिड के चेहरों को बनाती है, जिसकी गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है।

एस = √ ((बी/2) 2 + एच 2 )

जैसा कि पिछले मामलों में, सतह का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल और चेहरों के चार समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है।

  • सतह = 2bs + b 2
  • वॉल्यूम = (1/3) बी 2 एच

6. समद्विबाहु त्रिकोणीय प्रिज्म के सतह क्षेत्र और आयतन की गणना

चश्मे
भुजा b लंबाई l का समद्विबाहु त्रिभुजाकार प्रिज्म

ऊपर की आकृति के अनुसार, सतह के क्षेत्रफल और समद्विबाहु त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन की गणना के लिए सूत्रों को लागू करने के लिए तीन मापदंडों की आवश्यकता होती है; समद्विबाहु त्रिभुज का आधार b , त्रिभुज की ऊँचाई h और प्रिज्म की लंबाई l । परिभाषाएँ समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं के साथ पूरी होती हैं। त्रिभुज की भुजाओं की गणना त्रिभुज के अन्य आंकड़ों से निम्न सूत्र से की जा सकती है।

एस = √ ((बी/2) 2 + एच 2 )

सतह क्षेत्र और आयतन की गणना के सूत्र इस प्रकार हैं।

  • क्षेत्रफल = बीएच + 2 एल एस + एल बी
  • आयतन = (1/2) बीएच एल

यदि आप एक ऐसे प्रिज्म के सतह क्षेत्र और आयतन की गणना करना चाहते हैं जो एक समद्विबाहु त्रिकोणीय नहीं है, तो आप निम्नलिखित प्रक्रिया को लागू कर सकते हैं। आप आधार का क्षेत्रफल A और परिमाप P निर्धारित कर सकते हैं और निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं।

  • सतह = 2ए + पी एल
  • वॉल्यूम = ए एल

7. एक वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल और लंबाई की गणना

गोलाकार क्षेत्र
त्रिज्या r और कोण θ का गोलाकार क्षेत्र

ऊपरी आंकड़ा कोण θ द्वारा परिभाषित त्रिज्या r के एक वृत्त के क्षेत्र को दर्शाता है , जिसे डिग्री या रेडियन में व्यक्त किया जा सकता है। वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल और चाप की लंबाई की गणना करने के लिए, यह आवश्यक है कि कोण θ को रेडियन में व्यक्त किया जाए, इसलिए यदि इसे डिग्री में व्यक्त किया जाता है, तो निम्न सूत्र का उपयोग करके रूपांतरण किया जाना चाहिए।

रेडियन में कोण θ = (डिग्री में कोण θ ) π /180

वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई की गणना निम्न सूत्रों से की जाती है।

  • क्षेत्रफल = (θ/2) r 2  θ रेडियन में
  • चाप L = θr   θ रेडियन में

एक वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि एक त्रिज्यखंड का एक विशेष मामला है, जो तब होता है जब कोण θ 2 π के बराबर होता है । तो, एक वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि की गणना निम्नानुसार की जाती है।

  • एक वृत्त का क्षेत्रफल = π r 2 
  • परिधि = 2 π आर

8. दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना

अंडाकार
अर्ध-अक्षों का दीर्घवृत्त a और b

एक दीर्घवृत्त, जिसे एक अंडाकार के रूप में भी जाना जाता है और जिसे एक लम्बी वृत्त के रूप में पहचाना जा सकता है, उन बिंदुओं का समूह है, जिनकी दो निश्चित बिंदुओं की दूरी को foci कहा जाता है। ऊपर की आकृति में, foci को दो बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है। एक दीर्घवृत्त को उसके दो अर्ध-अक्षों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है; सेमीमेजर एक्सिस और सेमीमिनर एक्सिस बी । दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र से की जाती है।

  • क्षेत्र = πab

9. त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिमाप की गणना

त्रिकोण
त्रिकोण आधार बी ऊंचाई एच

त्रिभुज सबसे सरल ज्यामितीय आकृतियों में से एक है और इसकी प्रत्येक भुजा a, b और c की लंबाई जानकर परिधि की गणना करना आसान है । 

  • परिधि = ए + बी + सी

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, इसके एक पक्ष की लंबाई की आवश्यकता होती है, b  उदाहरण के लिए ऊपर की आकृति में, और उस पक्ष के अनुरूप ऊँचाई h  , विपरीत शीर्ष लंबवत से खींचे गए खंड की लंबाई के रूप में निर्धारित की जाती है तरफ। बी । त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है

  • क्षेत्र = (1/2) बीएच

10. समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल और परिमाप की गणना

चतुर्भुज
आधार b ऊँचाई h का समांतर चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं, जैसा कि ऊपर की आकृति में दिखाया गया है। चूँकि सम्मुख भुजाएँ समान्तर हैं, सम्मुख भुजाओं की लम्बाई बराबर होगी। आकृति के मामले में, वे लंबाई a और b की भुजाएँ हैं । समांतर चतुर्भुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है।

  • समांतर चतुर्भुज का परिमाप = 2a + 2b

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए ऊँचाई h की आवश्यकता होती है ; दो समांतर भुजाओं के बीच की दूरी। क्षेत्र की गणना ऊंचाई और उस ऊंचाई के अनुरूप पक्ष के साथ की जा सकती है,  आंकड़े के मामले में बी ।

  • समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = बीएच

एक आयत समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है; जब ऊँचाई h भुजा a के बराबर होती है या जो समान होती है, जब आसन्न भुजाएँ लंबवत होती हैं, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है और परिमाप और क्षेत्रफल के सूत्र इस प्रकार होते हैं।

  • आयत का परिमाप = 2a + 2b 
  • आयत का क्षेत्रफल = ab

बदले में, वर्ग समांतर चतुर्भुज और आयत का एक विशेष मामला है; जब भुजाएँ a और b बराबर हों और आसन्न भुजाएँ लंबवत हों। भुजा a वाले वर्ग की परिधि और क्षेत्रफल के सूत्र इस प्रकार हैं।

  • एक वर्ग का परिमाप = 4a 
  • एक आयत का क्षेत्रफल = a 2

11. ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्रफल और परिधि की गणना

स्रोत चित्र देखें
प्रमुख आधार बी, लघु आधार बी और ऊंचाई एच के साथ ट्रेपेज़ॉइड

एक ट्रैपेज़ॉइड एक चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ होती हैं जो समानांतर होती हैं। इसलिए, ऊपरी आकृति b , B , c और d में इसकी चारों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है और इसकी परिधि की गणना करने के लिए चारों मानों को जानना आवश्यक है। एक ट्रेपेज़ॉइड की परिधि की गणना चार मानों को जोड़कर की जाती है।

  • परिधि = बी + बी + सी + डी

एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, ऊँचाई h को जानना आवश्यक है  जिसे ऊपरी आकृति में देखा जा सकता है, और यह दो समानांतर पक्षों के बीच की दूरी है।

  • क्षेत्र = (1/2) (बी + बी) एच

12. एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल और परिधि की गणना

भुजा r का नियमित षट्भुज
भुजा r का नियमित षट्भुज

छह समान भुजाओं वाला बहुभुज एक नियमित षट्भुज होता है। प्रत्येक भुजा r की लंबाई षट्भुज के केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी के बराबर है। अंतःत्रिज्या ( ऊपरी आकृति में) षट्भुज के केंद्र से एक तरफ की सबसे छोटी दूरी है; षट्भुज बनाने वाले प्रत्येक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है। एक नियमित षट्भुज की परिधि की गणना इस प्रकार की जाती है

  • परिधि = 6r

जबकि एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है

  • क्षेत्रफल = (3√3/2)r 2

13. एक नियमित अष्टभुज के क्षेत्रफल और परिमाप की गणना

नियमित अष्टकोना
नियमित अष्टकोना

एक नियमित अष्टकोण एक बहुभुज है जिसमें आठ समान भुजाएँ होती हैं। यदि अष्टभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई r है , तो नियमित अष्टकोण की परिधि की गणना इस प्रकार की जाती है

  • परिधि = 8r

जबकि एक नियमित अष्टभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है

  • क्षेत्रफल = 2(1+√2)r 2

झरना

वेनिंगर, मैग्नस जे. मॉडल्स ऑफ़ पॉलीहेड्रा कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1974।

Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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