मानक विचलन की गणना करना सीखें

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

Tabla de Contenidos

मानक विचलन, जिसे ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा) या अक्षर S द्वारा दर्शाया जाता है , एक डेटा श्रृंखला की परिवर्तनशीलता का एक उपाय है। अधिक सटीक रूप से, यह जनसंख्या माध्य के संबंध में एक नमूना या जनसंख्या के डेटा के औसत विचलन के माप का प्रतिनिधित्व करता है, इस प्रकार यह दर्शाता है कि केंद्रीय प्रवृत्ति मान के आसपास डेटा कैसे फैला हुआ है।

एक उच्च मानक विचलन इंगित करता है कि, औसतन, डेटा दोनों दिशाओं में माध्य से दूर है (डेटा बहुत फैला हुआ है), जबकि एक छोटा मानक विचलन इसके विपरीत इंगित करता है।

मानक विचलन की गणना हमेशा परिवर्तनशीलता के एक अन्य माप के वर्गमूल के रूप में की जाती है, जिसे भिन्नता कहा जाता है। उपलब्ध डेटा (नमूना या जनसंख्या) के प्रकार के आधार पर भिन्नता की गणना करने के कई तरीके हैं , जिसके परिणामस्वरूप मानक विचलन की गणना करने के एक से अधिक तरीके हैं।

दोनों ही मामलों में थोड़े भिन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जिनका वर्णन अगले भाग में किया गया है। इसके बाद यह बताया गया है कि उनमें से प्रत्येक को चरण दर चरण और “हाथ से” कैसे गणना की जाए। यह यह भी बताता है कि इस महत्वपूर्ण सांख्यिकीय चर की गणना करने के लिए एक्सेल या Google पत्रक जैसे सांख्यिकीय कार्यों और स्प्रेडशीट के साथ कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें।

मानक विचलन दो प्रकार के होते हैं

सांख्यिकी में डेटा श्रृंखला के दो प्रकार के वर्णनात्मक उपाय होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि जनसंख्या के सभी डेटा उपलब्ध हैं या केवल एक नमूने के। जनसंख्या का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले उपायों को जनसंख्या पैरामीटर कहा जाता है और आमतौर पर ग्रीक अक्षरों के साथ प्रदर्शित किया जाता है। इस बीच, नमूने का वर्णन करने वाले पैरामीटर को आंकड़े कहा जाता है और आमतौर पर लोअरकेस अक्षरों के साथ प्रदर्शित किया जाता है।

इस दृष्टि से मानक विचलन दो प्रकार के होते हैं:

  • जनसंख्या मानक विचलन , जो ग्रीक अक्षर σ (लोअरकेस सिग्मा) द्वारा दर्शाया गया जनसंख्या पैरामीटर है।
  • नमूना मानक विचलन , जो एक सांख्यिकीय पैरामीटर है जिसे एस अक्षर द्वारा दर्शाया गया है।

दोनों प्रकार के मानक विचलन की गणना के सूत्र नीचे दिए गए हैं।

जनसंख्या मानक विचलन σ की गणना करने के सूत्र

जनसंख्या मानक विचलन की गणना करने का सूत्र

इन समीकरणों में x i प्रत्येक व्यक्तिगत डेटा आइटम के मान का प्रतिनिधित्व करता है, μ जनसंख्या माध्य है, और n जनसंख्या में डेटा आइटम की कुल संख्या है।

सूत्र नमूना मानक विचलन एस की गणना करने के लिए

नमूना मानक विचलन की गणना करने के लिए सूत्र

इन समीकरणों में x i नमूने में प्रत्येक अलग-अलग डेटा आइटम के मान का प्रतिनिधित्व करता है, ¯x नमूना माध्य है, और n नमूने में डेटा आइटम की कुल संख्या है।

जिस तरह से दो मानक विचलन की गणना की जाती है, उसमें एकमात्र वास्तविक अंतर यह है कि एक मामले में इसे n से विभाजित किया जाता है, जबकि दूसरे मामले में इसे n – 1 से विभाजित किया जाता है । उत्तरार्द्ध नमूना माध्य और जनसंख्या माध्य के बीच के अंतर को ठीक करना है, जो आमतौर पर समान नहीं होते हैं।

किस सूत्र का प्रयोग करना चाहिए?

किस सूत्र का उपयोग करना है, यह तय करने में विचार करने वाली एकमात्र बात यह है कि जिस डेटा के लिए मानक विचलन की गणना की जानी है, वह जनसंख्या में सभी डेटा का प्रतिनिधित्व करता है या केवल एक नमूने का प्रतिनिधित्व करता है। यह आमतौर पर कथन से स्पष्ट होता है (यदि कोई सांख्यिकीय समस्या हल हो रही है) या डेटा प्राप्त करने के तरीके से।

सुझाव: जब संदेह हो, तो यह मान लेना सबसे सुरक्षित है कि यह एक नमूना है, क्योंकि आपके पास शायद ही किसी आबादी के लिए सभी डेटा हों।

σ या S के लिए पहले (बाईं ओर वाला) या दूसरा (दाईं ओर वाला) सूत्र का उपयोग करने के लिए, दोनों मामलों में दिखाए गए दो समीकरण समान परिणाम देते हैं। हालाँकि, दाईं ओर सूत्र का उपयोग करना अधिक व्यावहारिक है, भले ही यह अधिक जटिल लग सकता है। कारण बहुत सरल है: बाईं ओर के सूत्रों की तुलना में दाईं ओर के सूत्रों के साथ मानक विचलन की गणना करने के लिए कम चरणों की आवश्यकता होती है।

“हाथ से” मानक विचलन की गणना कैसे करें

नीचे हम प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करते हुए, मानक विचलन की गणना करने के लिए किए जाने वाले चरणों को प्रस्तुत करते हैं।

संकट

एक सर्विस स्टेशन पर ईंधन टैंक को भरने में लगने वाले 15 कारों के नमूने का समय निर्धारित किया गया था। सेकंड में मापा गया डेटा नीचे प्रस्तुत किया गया है:

71 65 48 76 80
64 42 55 80 66
53 49 70 67 42

मानक विचलन निर्धारित करें।

समाधान: इस मामले में, बयान निर्दिष्ट करता है कि डेटा एक नमूने के अनुरूप है, इसलिए मानक (नमूना) विचलन निर्धारित करने के लिए हम जिस समीकरण का उपयोग करेंगे वह होगा:

नमूना मानक विचलन की गणना करने के लिए सूत्र एक का उदाहरण

इस सूत्र को लागू करने के लिए, हमें केवल डेटा के योग (∑X i ), डेटा के वर्गों के योग (∑X i 2 ) और डेटा की कुल संख्या (n) की गणना करने की आवश्यकता है। यह निम्नलिखित चरणों के माध्यम से आसानी से पूरा किया जाता है:

चरण 1: डेटा को लंबवत रूप से व्यवस्थित करें

मानक विचलन की गणना करना आसान है यदि आपने अपने डेटा को लंबवत सूची में व्यवस्थित किया है, क्योंकि यह अगले चरणों को आसान बनाता है। यह सख्ती से जरूरी नहीं है, लेकिन यह प्रत्येक डेटा आइटम को एक संख्या के साथ पहचानने में भी मदद करता है, क्योंकि यह आसानी से डेटा आइटम्स की कुल संख्या (एन) प्रदान करता है जो सूत्र का उपयोग करने के लिए जरूरी है। डेटा को किसी भी तरह से ऑर्डर करने की आवश्यकता नहीं है।

# शी _ एक्स आई 2
1 71  
2 65  
3 48  
4 76  
5 80  
6 64  
7 42  
8 55  
9 80  
10 66  
ग्यारह 53  
12 49  
13 70  
14 67  
पंद्रह 42  

चरण 2: प्रत्येक डेटा के वर्ग की गणना करें

अगला कदम प्रत्येक व्यक्तिगत डेटा आइटम को स्क्वायर करना है और उसके बाद परिणाम को उसके बगल में एक कॉलम में लिखना है।

# शी _ एक्स आई 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
ग्यारह 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
पंद्रह 42 1764

चरण 3: सभी मूल डेटा का योग करें

हम उन सभी मानों को जोड़ते हैं जो उस कॉलम में दिखाई देते हैं जिसे हम X i के रूप में पहचानते हैं और उस कॉलम के अंत में परिणाम लिखते हैं।

चरण 4: डेटा के सभी वर्गों को जोड़ें और परिणाम को कॉलम के नीचे लिखें

हम उन सभी मानों को जोड़ते हैं जो कॉलम में दिखाई देते हैं जिन्हें हम X i 2 के रूप में पहचानते हैं और परिणाम को उक्त कॉलम के अंत में लिखते हैं। चरण 3 और 4 करने के बाद, तालिका इस तरह दिखेगी:

# शी _ एक्स आई 2
1 71 5041
2 65 4225
3 48 2304
4 76 5776
5 80 6400
6 64 4096
7 42 1764
8 55 3025
9 80 6400
10 66 4356
ग्यारह 53 2809
12 49 2401
13 70 4900
14 67 4489
पंद्रह 42 1764
डेटा की संख्या (एन) डेटा का योग ( ∑X i ) वर्गों का योग ( ∑X i 2 )
पंद्रह 928 59750

चरण 5: मानक विचलन सूत्र लागू करें

अंतिम चरण केवल संबंधित सूत्र में तालिका के अंत में मानों को बदलने के लिए है:

मानक विचलन की गणना करने के लिए सूत्र में मान बदलें

हाथ से मानक विचलन की गणना का परिणाम

सांख्यिकीय कैलक्यूलेटर के साथ मानक विचलन की गणना कैसे करें

अधिकांश वैज्ञानिक और वित्तीय कैलकुलेटरों में केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी उपायों की गणना और आंकड़ों में उपयोग किए जाने वाले फैलाव की सुविधा के लिए विशेष कार्य होते हैं। कैलकुलेटर के मॉडल की परवाह किए बिना प्रक्रिया हमेशा समान होती है:

चरण 1 – सांख्यिकी मोड दर्ज करें

कैलकुलेटर में आमतौर पर सांख्यिकीय कार्यों के लिए एक विशेष मोड होता है। इसे आमतौर पर मोड बटन दबाकर एक्सेस किया जाता है , जिसके बाद आमतौर पर STAT , SD ( मानक विचलन के लिए ) या कुछ इसी तरह की स्क्रीन पर दिखाई देता है।

चरण 2 – मेमोरी को साफ़ करें

पुराने कैलकुलेटर पर यह प्रदर्शित नहीं होता है कि कैलकुलेटर की मेमोरी में पहले से ही डेटा संग्रहीत है या नहीं, इसलिए शुरू करने से पहले मेमोरी को साफ़ करना हमेशा एक अच्छा विचार है। ऐसा करने के लिए, CLR या MCL कुंजी दबाएं और फिर MODE विकल्प चुनें (यह केवल सांख्यिकी मोड में संग्रहीत डेटा मिटा देगा)। कई मामलों में इस चरण के बाद सांख्यिकी मोड में फिर से प्रवेश करना आवश्यक होता है।

चरण 3: सभी डेटा दर्ज करें

DT , DATA कुंजी या इसी तरह के बीच में दबाकर एक-एक करके सभी डेटा क्रमिक रूप से दर्ज किए जाते हैं।

चरण 4: परिणाम प्राप्त करें

अंतिम चरण बस कैलकुलेटर से मानक विचलन के लिए पूछ रहा है। जहां परिणाम स्थित हैं, मॉडल और कैलकुलेटर के ब्रांडों के बीच बहुत भिन्न होता है। कुछ में आपको SHIFT कुंजी दबानी होती है जिसके बाद ऊपर S-VAR लिखा होता है , अन्य में यह भिन्न होता है। कैलकुलेटर के मैनुअल को देखने की सलाह दी जाती है।

एक बार जब हमें सही मेनू मिल जाता है, तो हमें यह चुनना होगा कि हमें किन दो मानक विचलनों की आवश्यकता है। यदि यह जनसंख्या डेटा है, तो हम उस विकल्प का चयन करते हैं जो σ या σ(n) कहता है। यदि यह नमूना डेटा है, तो हम उस विकल्प का चयन करते हैं जो σ(n-1) या S कहता है।

Microsoft® Excel™ में मानक विचलन की गणना कैसे करें

मानक विचलन की गणना करने का सबसे आसान तरीका एक्सेल या Google पत्रक जैसी स्प्रैडशीट्स के माध्यम से है। इन कार्यक्रमों में पहले से ही विभिन्न सांख्यिकीय चरों की गणना करने के लिए सभी प्रोटोकॉल हैं जिनकी हमें आवश्यकता हो सकती है। यह दो सरल चरणों में किया जाता है:

चरण 1: डेटा पेस्ट करें या जोड़ें

यह डेटा को सीधे कॉपी करने जितना आसान है, एक-एक करके अलग-अलग सेल में (कॉलम, रो या मैट्रिसेस के रूप में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)। हमारे उदाहरण के मामले में:

एक्सेल जैसी स्प्रेडशीट में मानक विचलन की गणना कैसे करें

चरण 2: हमारे लिए आवश्यक मानक विचलन का सूत्र लिखें

यह उपयोग की जा रही स्प्रैडशीट और उस पर सेट की गई भाषा पर निर्भर करता है। Microsoft® Excel™, स्पैनिश संस्करण के मामले में, मानक विचलन के सूत्र हैं:

नमूना मानक विचलन (एस): = STDEV.M (डेटा 1; डेटा 2;…; डेटा n)
जनसंख्या मानक विचलन (σ): = STDEV.P (डेटा 1; डेटा 2;…; डेटा n)

आपको व्यक्तिगत डेटा दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है, केवल उन कक्षों का चयन करें जिनमें डेटा पहले ही चिपकाया जा चुका है। हमारे उदाहरण में, डेटा सेल B1 से सेल F3 तक की सीमा में है, जिसे B2:F3 के रूप में लिखा गया है।

एक्सेल जैसी स्प्रेडशीट में मानक विचलन की गणना कैसे करें - चरण 2

अंत में, ENTER कुंजी दबाई जाती है और तैयार है! मानक विचलन प्राप्त होता है।

संदर्भ

  • एस्पिनोज़ा, सीआई, और एचेकोपर, एएल (2020)। चरण-दर-चरण उदाहरणों के साथ एमएस एक्सेल का उपयोग करते हुए सांख्यिकीय अनुप्रयोग (स्पेनिश संस्करण) (पहला संस्करण )। लीमा, पेरू: लुइस फेलिप एरिज़मेंडी एचेकोपर और डुओ नेगोसियोस एसएसी।
  • वेबस्टर, ए। (2001)। सांख्यिकी व्यापार और अर्थव्यवस्था के लिए लागू (स्पेनिश संस्करण) । टोरंटो, कनाडा: इरविन प्रोफेशनल पब्लिशिंग।
  • देवेस्ता (देवेस्ता समारोह) । माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस सपोर्ट। https://support.microsoft.com/es-es/office/desvesta-funci%C3%B3n-desvesta-5ff38888-7ea5-48de-9a6d-11ed73b29e9d से लिया गया ।

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados