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जड़ता का घूर्णी क्षण या, बस, घूर्णी जड़ता, किसी भी वस्तु का एक अदिश भौतिक मात्रा है जिसमें द्रव्यमान होता है, और यह मापता है कि इसे घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घुमाना कितना कठिन है। यह रैखिक जड़त्व का घूर्णी समतुल्य है और, जैसे, यह एक मात्रा है जो किसी वस्तु की गति को बदलने में कठिनाई को व्यक्त करती है, चाहे वह आराम में हो या गति में, अंतर के साथ, इस मामले में, यह कोणीय के बारे में है वेग।
घूर्णन गति के वर्णन में इस मात्रा का बहुत महत्व है क्योंकि यह हमें पिंडों के व्यवहार में अंतर को समझने की अनुमति देता है, जो समान बाहरी आकार और द्रव्यमान होने के बावजूद, टोक़ बलों के अधीन होने पर अलग-अलग व्यवहार करते हैं। जो उन्हें बनाने की प्रवृत्ति रखते हैं। घुमाना। यह अंतर घूर्णन की धुरी के चारों ओर पिंड के द्रव्यमान के वितरण में अंतर से उत्पन्न होता है। उपरोक्त का तात्पर्य है कि एक ही पिंड में घूर्णन के अक्ष के सापेक्ष अपनी स्थिति के आधार पर घूर्णी जड़त्व के विभिन्न क्षण हो सकते हैं, इस प्रकार जड़त्व के क्षण की गणना करने के लिए विभिन्न सूत्रों को जन्म देते हैं।
उपरोक्त कहने के बाद, यह स्पष्ट है कि जड़त्व के क्षण को खोजने के लिए मौजूदा वस्तुओं और रोटेशन के अक्षों के संभावित आकार के रूप में कई सूत्र हैं। हालाँकि, नियमित ज्यामितीय आकृतियों के कुछ विशेष मामले हैं जो कुल्हाड़ियों के चारों ओर घूमते हैं जो व्यवहार में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। निम्नलिखित अनुभागों में, हम इन निकायों के जड़त्व के घूर्णी क्षण को निर्धारित करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण सूत्र देखेंगे।
एक बिंदु कण की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
एक बिंदु कण की जड़ता का क्षण इस भौतिक मात्रा की मूल परिभाषा से मेल खाता है। यह अभिव्यक्ति घूर्णी गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति से आती है जब इसे कोणीय वेग, w के संदर्भ में लिखा जाता है।
मान लीजिए कि हमारे पास m द्रव्यमान का एक कण केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घूमता है, जैसा कि निम्न है:
इस कण की गतिज ऊर्जा, किसी भी अन्य गतिमान कण की तरह, इसके द्रव्यमान और इसकी गति (इसकी गति का परिमाण) के बीच आधे उत्पाद द्वारा निर्धारित की जाती है, जो कि 1/2 mv 2 है । हालाँकि, यदि इस कण का वर्णन करने वाला एकमात्र आंदोलन धुरी के चारों ओर घूमना है (कोई अनुवाद नहीं है), तो हम कण की रैखिक गति को इसकी कोणीय गति के कार्य के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, v = rω लिख सकते हैं। ऐसा करने से, गतिज ऊर्जा, जो इस मामले में विशेष रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा है, को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
जहाँ कण के जड़त्व आघूर्ण, I को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
इस अभिव्यक्ति में, m बिंदु कण का द्रव्यमान है और r घूर्णन की त्रिज्या है या, जो समान है, घूर्णन के अक्ष से कण तक की दूरी है।
बिंदु कणों के संग्रह की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
अब मान लीजिए कि हमारे पास एक अक्ष के चारों ओर घूमने वाला एक भी कण नहीं है, लेकिन हमारे पास n कणों से बनी एक प्रणाली है, प्रत्येक एक विशेष द्रव्यमान के साथ, m i, और प्रत्येक एक दूरी r के साथ घूम रहा है । , जैसे कि नीचे दिखाया गया तीन-कण प्रणाली।
यदि हम इस प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा की गणना करना चाहते हैं, तो हमें केवल तीन कणों में से प्रत्येक की गतिज ऊर्जा को जोड़ना होगा। यदि हम इस विचार को n कणों के सामान्य मामले में विस्तारित करते हैं और मान लेते हैं कि वे सभी एक ही कोणीय वेग से चलते हैं (क्योंकि वे एक साथ घूमते हैं), तो सिस्टम की कुल घूर्णी गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाएगी:
जहाँ से यह अनुसरण करता है कि n कणों की एक प्रणाली की जड़ता का कुल क्षण जो एक ही अक्ष के चारों ओर एक साथ घूमते हैं, प्रत्येक अपने स्वयं के द्रव्यमान और अपने स्वयं के परिभ्रमण के त्रिज्या के साथ दिया जाता है:
यह सूत्र बिंदु कणों और किसी भी आकार के गोलाकार कणों के लिए काम करता है, जब तक कि रोटेशन की धुरी गोले के बाहर है। यदि यह स्थिति पूरी हो जाती है, तो त्रिज्या अक्ष और गोले के केंद्र के बीच की दूरी से मेल खाती है और द्रव्यमान गोले के कुल द्रव्यमान से मेल खाता है।
कठोर निकायों की जड़ता के क्षण का अभिन्न सूत्र
जड़ता के क्षण के लिए उपरोक्त सूत्र बिंदु और असतत कणों द्वारा गठित प्रणालियों पर लागू होता है। हालाँकि, इसे कठोर पिंडों तक बढ़ाया जा सकता है जिनमें द्रव्यमान का निरंतर वितरण होता है, जैसा कि लगभग मैक्रोस्कोपिक पिंडों के साथ होता है।
इन मामलों में, जड़ता के क्षण की गणना में शरीर को छोटे द्रव्यमान तत्वों (Δm i ) में विभाजित करना शामिल है, उनमें से प्रत्येक रोटेशन की धुरी से r i की दूरी पर स्थित है , और फिर पिछले समीकरण को लागू करता है। हालाँकि, यदि हम द्रव्यमान तत्व के आकार को उस सीमा तक धकेलते हैं जहाँ यह एक अतिसूक्ष्म तत्व या द्रव्यमान अंतर (dm) बन जाता है, तो योग अभिन्न अंग बन जाता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
यह किसी भी कठोर पिंड की जड़ता के क्षण को खोजने के लिए सामान्य अभिव्यक्ति है, चाहे उसका आकार, या उसका द्रव्यमान वितरण कुछ भी हो। ज्यादातर मामलों में, एकीकरण करने के लिए, बड़े पैमाने पर तत्व, डीएम को वॉल्यूम डिफरेंशियल, डीवी द्वारा गुणा किए गए शरीर के घनत्व के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है । यह कठोर शरीर की संपूर्ण मात्रा पर एकीकरण करने की अनुमति देता है, भले ही बड़े पैमाने पर वितरण एक समान न हो (जब तक यह ज्ञात हो कि यह स्थिति के आधार पर कैसे भिन्न होता है)।
इस मामले में, जड़ता के क्षण की अभिन्न अभिव्यक्ति बन जाती है:
इसके बाद, हम विभिन्न कठोर पिंडों के लिए पिछले एक्सप्रेशन को एकीकृत करने का परिणाम प्रस्तुत करेंगे, जैसे कि छल्ले, सिलेंडर और गोले, आदि। नीचे वर्णित सभी मामलों में, माना जाने वाले निकायों के आयाम और द्रव्यमान को बड़े अक्षरों में दर्शाया जाता है, ताकि उन्हें एकीकरण चर से अलग किया जा सके।
अपने केंद्रीय अक्ष के बारे में त्रिज्या R की एक पतली समान वलय की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
पिछले समीकरण को एकीकृत करते समय सबसे सरल मामलों में से एक एक समान वलय है जो समरूपता के केंद्र के चारों ओर घूमता है। निम्नलिखित आंकड़ा इस मामले को दर्शाता है।
विशेष मामले में जिसमें अंगूठी की मोटाई इसकी त्रिज्या की तुलना में नगण्य है, हम इसे मोटाई के बिना परिधि के साथ वितरित द्रव्यमान के रूप में मान सकते हैं, ताकि सभी द्रव्यमान तत्व अनिवार्य रूप से एक ही त्रिज्या में हों, इस मामले में, आर। इन स्थितियों को देखते हुए, त्रिज्या अभिन्न को छोड़ देता है, केवल अंतर द्रव्यमान, डीएम का अभिन्न अंग छोड़ देता है, जो कि केवल अंगूठी का द्रव्यमान है, एम। परिणाम है:
इस अभिव्यक्ति में, सीएम इंगित करता है कि यह द्रव्यमान के केंद्र के बारे में जड़ता का क्षण है।
अपने केंद्र के चारों ओर घूमते हुए R त्रिज्या के एक ठोस गोले की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
त्रिज्या R और समान घनत्व के एक ठोस गोले के मामले में, जो इसके किसी भी व्यास (एक धुरी जो इसके केंद्र से होकर गुजरती है) के चारों ओर घूमती है, जैसे कि नीचे दिखाया गया है, पिछले अभिन्न को अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है, जिनमें से हैं एक गोलाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करना।
इस मामले में एकीकरण का परिणाम है:
इसके केंद्र के बारे में आंतरिक त्रिज्या R 1 और बाहरी त्रिज्या R 2 के एक गोलाकार खोल की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
यदि एक ठोस गोले के बजाय यह एक खोखला गोला या मोटी दीवारों वाला गोलाकार खोल है, तो हमें दो त्रिज्याओं, बाहरी और आंतरिक पर विचार करना चाहिए। इन्हें निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है।
इस मामले में, समाधान यह है कि गोलाकार खोल को त्रिज्या R2 के एक गोले के रूप में माना जाए जिसमें से उसी सामग्री का एक गोला उसके केंद्र से हटा दिया गया हो जिसकी त्रिज्या R1 है। बड़े गोले का द्रव्यमान निर्धारित करने के बाद और मूल खोल के घनत्व के माध्यम से निकाले गए छोटे गोले का, दोनों क्षेत्रों की जड़ता को प्राप्त करने के लिए घटाया जाता है:
अपने केंद्र के बारे में त्रिज्या R के एक पतले गोलाकार खोल की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
इस घटना में कि गोलाकार खोल की मोटाई इसकी त्रिज्या की तुलना में नगण्य है या, क्या समान है, कि आर 1 व्यावहारिक रूप से आर 2 के बराबर है , हम जड़ता के क्षण की गणना कर सकते हैं जैसे कि यह द्रव्यमान का एक सतह वितरण था, यह सब केंद्र से R की दूरी पर स्थित है।
इस मामले में हमारे पास दो विकल्प हैं। सबसे पहले इंटीग्रल को स्क्रैच से हल करना है। दूसरा पिछले परिणाम को लेना है, जो कि मोटे गोलाकार खोल का है, और सीमा प्राप्त करना है जब R1, R2 की ओर झुकता है। नतीजा इस प्रकार है:
L लम्बाई की एक पतली छड़ के द्रव्यमान केंद्र से लम्बवत् अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र
जब हमारे पास एक पतली पट्टी होती है, संक्षेप में, हम इसे द्रव्यमान के रैखिक वितरण के रूप में सोच सकते हैं, भले ही इसकी प्रोफ़ाइल के आकार की परवाह किए बिना (यानी, चाहे वह एक बेलनाकार, वर्ग या किसी अन्य आकार की पट्टी हो)। इन मामलों में, केवल एक चीज मायने रखती है कि आटा बार की लंबाई के साथ समान रूप से वितरित किया जाता है।
इस मामले में, जड़ता का क्षण इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
L लम्बाई की एक पतली छड़ के एक सिरे से लम्बवत् अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का सूत्र
यह ऊपर जैसा ही मामला है, लेकिन एक छोर से लंबवत अक्ष के चारों ओर घूमते हुए पूरे बार के साथ:
चूँकि छड़ का द्रव्यमान औसतन घूर्णन अक्ष से अधिक दूरी पर होता है, इसलिए जड़त्व आघूर्ण अधिक होगा। वास्तव में, यह पिछले मामले से चार गुना अधिक है, जैसा कि निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दिखाया गया है:
ध्यान दें कि इस मामले में अक्ष द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरती है, इसलिए जड़त्व के क्षण के सीएम सबस्क्रिप्ट को छोड़ दिया गया है।
त्रिज्या आर के एक ठोस बेलनाकार पट्टी की केंद्रीय धुरी के बारे में जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
इस मामले को एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके और सिलेंडर पर विचार करते हुए बहुत ही सरल तरीके से हल किया जाता है जैसे कि यह समान लंबाई के संकेंद्रित बेलनाकार गोले द्वारा बनाया गया हो, लेकिन विभिन्न त्रिज्याओं के साथ। तब त्रिज्या r = 0 से r = R में समाकलित हो जाती है।
इस प्रक्रिया का परिणाम एक बेलनाकार पट्टी की जड़ता का सूत्र है, जो है:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि, चूंकि यह परिणाम सिलेंडर की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है, उसी अभिव्यक्ति का उपयोग गोलाकार डिस्क के मामले में किया जा सकता है।
आंतरिक त्रिज्या R 1 और बाहरी त्रिज्या R 2 के केंद्रीय अक्ष के बारे में एक खोखले सिलेंडर की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
यह मामला मोटे गोलाकार खोल के समान है। यह तब लगाया जाता है जब खोल की मोटाई, या इसके बाहरी और आंतरिक त्रिज्या के बीच का अंतर परिमाण के समान क्रम में होता है और इसलिए, हम यह नहीं मान सकते हैं कि द्रव्यमान एक सतह पर केंद्रित है। इसके विपरीत, हमें विचार करना चाहिए कि यह खोल की मोटाई के साथ द्रव्यमान का त्रि-आयामी वितरण है।
जैसा कि मोटे गोलाकार खोल के मामले में, आर 1 के आंतरिक त्रिज्या और आर 2 के बाहरी त्रिज्या के साथ एक खोखले सिलेंडर की जड़ता का क्षण प्रत्यक्ष एकीकरण द्वारा या सिलेंडर से जड़ता के क्षण को घटाकर पाया जा सकता है। इन दो जड़त्वों में से प्रत्येक के लिए पिछले खंड के सूत्र का उपयोग करके, एक ठोस सिलेंडर की जड़ता के क्षण के केंद्रीय छेद को खोलते समय वापस ले लिया गया था, जिसमें खोल के समान घनत्व होता है।
इन दोनों रणनीतियों में से किसी एक का परिणाम समान है और नीचे प्रस्तुत किया गया है:
जैसा कि पिछले मामले में, चूंकि यह परिणाम सिलेंडर की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है, हम इसका उपयोग केंद्र में एक छेद के साथ एक गोलाकार डिस्क की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए कर सकते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, वॉशर या ए ब्लू – रे डिस्क।
इसकी केंद्रीय अक्ष के बारे में त्रिज्या आर के एक पतले बेलनाकार खोल की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
यदि हमारे पास एक खोखला बेलन है, जैसा कि नीचे दी गई आकृति में दिखाया गया है, जिसमें बेलन की त्रिज्या की तुलना में बेलनाकार खोल की मोटाई बहुत कम है, तो हम मान सकते हैं कि द्रव्यमान केवल त्रिज्या R की सतह पर वितरित है .
जैसा कि अन्य मामलों में, हम क्षेत्रीय द्रव्यमान घनत्व का उपयोग करके प्रत्यक्ष एकीकरण कर सकते हैं, या हम उस सीमा में मोटे बेलनाकार खोल के परिणाम का मूल्यांकन कर सकते हैं जहां R1 R2 की ओर जाता है। परिणाम है:
फिर से हम ध्यान दें कि यह परिणाम लंबाई से स्वतंत्र है। इसका मतलब है कि यह एक पतली घेरा पर समान रूप से लागू होता है। वास्तव में, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि यह एक पतली अंगूठी के अनुरूप अनुभाग में प्राप्त एक ही परिणाम है।
अपने केंद्र के माध्यम से लंबवत अक्ष के बारे में एक नियमित आयताकार प्लेट की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र
अंत में, एक आयताकार प्लेट के मामले पर विचार करें जो अपने द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली अपनी किसी भी सतह के लम्बवत् धुरी के चारों ओर घूमती है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।
प्रत्यक्ष एकीकरण का परिणाम है:
जैसा कि पिछले मामलों में, यह परिणाम प्लेट की ऊंचाई या मोटाई से स्वतंत्र है, इसलिए यह कागज की शीट पर समान रूप से लागू होता है जैसा कि यह एक ठोस सीमेंट ब्लॉक पर होता है।
संदर्भ
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Serway, RA, Beichner, RJ, और Jewett, JW (1999)। आधुनिक भौतिकी के साथ वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी: 2: खंड खंड I (पांचवां संस्करण)। मैकग्रा हिल।
Snapsolve। (रा)। खोखले मोटे गोलाकार खोल की जड़ता का क्षण । https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
